Université de Haute Alsace
FST- L2 Math. - S4
Année universitaire 2005-2006
TD de Mathématiques N0 2
(Intégrales généralisées)
Exercice 1 :
Montrer les égalités suivantes :
Z +∞
dx
2
= ln √ ,
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
3
0
Z
+∞
1
ln x
dx = ln 2,
(1 + x)2
Exercice 2 :Z
On pose I =
Z
+∞
0
Z
+∞
0
Z
dx
π
= ,
2
4+x
4
+∞
e−
√
x
dx = 2,
0
ln(1 + x2 )
dx = π.
x2
π
2
ln(sin x)dx.
Z π
Z π
2
2
1
1
ln(cos x)dx, puis I = 2
ln( sin 2x)dx.
1) Montrer que I =
2
0
Z0 π
2
ln(sin 2x)dx.
2) Montrer que I =
0
0
3) Déduire des questions précédentes que I = − π2 ln 2.
Exercice 3 :
On considère les intégrales suivantes :
Z +∞
dx
√
I=
,
(x2 + 1) x2 + 4
0
Z
+∞
J=
1
x ln(x)
dx.
(1 + x2 )2
Montrer que I et J sont convergentes et calculer leur valeurs. (Indication, pour I poser
¡
¢0
u
1
x = 2 tan(t) et pour J poser t = x2 et remarquer que ln( 1+u
) = u(u+1)
).
Exercice 4 :
Z
1
1) Etudier, suivant la valeur du réel α, la convergence de
0
1
dx.
α
xZ
b
dt
converge si
(t − a)α
t
x+1
dx. Conclure.
x2 + 1
2) Soit a et b deux nombres réels tels que a < b. Montrer que
a
et seulement si α < 1.
Exercice 5 :
Z
+∞
Etudier la nature de l’intégrale
Exercice 6 :
−∞
x+1
dx. Calculer lim
t−→+∞
x2 + 1
Etudier la nature des intégrales suivantes :
Z +∞
Z +∞
sin x
dx
√
I1 =
dx,
I
=
,
2
x2
x(x + 1)
π/2
0
Z
I5 =
I9 =
0
+∞
I3 =
0
sin x
x
3
2
−t
Z
dx,
+∞
I4 =
cos x2 dx,
1
Z 1
Z +∞
Z 1
ln x ln (1 − x)
x arctan x
dx
e−x sin x
√
dx, I6 =
dx, I7 =
dx, I8 =
,
4
2
x
x
(1 + x )
sin x
0
0
Z +π 0
1 − cos x3
dx
dx.
, , I10 =
sin x
sin x2
0
+∞
Z0 1
Z
Z
1
Exercice 7 : (Intégrales de Bertrand en +∞)
Z
+∞
On s’intéresse ici à la convergence de l’integrale Iα,β =
2
1) Montrer que si 0 < α < 1, Iα,β diverge.
xα
1
avec α > 0.
lnβ x
2) Montrer que si α > 1, Iα,β converge.
3) Pour la suite on suppose α = 1. Etudier la nature de Iα,β (on pourra distinguer les
cas β < 1, β = 1 et β > 1).
Z
+∞
Application : Etudier la nature de l’integrale suivant I =
1
ln t
dt.
1 + t2
Exercice 8 : (La fonction Gamma)
Z +∞
1) Montrer que l’intégrale Γ(x) =
tx−1 e−t dt converge si et seulement si x > 0.
0
2) Montrer que ∀x ∈ R∗+ , Γ(x + 1) = xΓ(x). Calculer Γ(n) pour tout n ∈ N∗
Z 1
3) Calculer
(ln x)n dx.
0
¶
µ
Z +∞
1
−tx
.
4) Montrer que pour tout x > 0 on a :
e dt = Γ 1 +
x
0
µ ¶
1
5) Calculer Γ
, puis montrer que l’on a :
2
µ
¶
1
1 × 3 × . . . × (2n − 1) √
Γ n+
=
π.
2
2n
Z
+∞
(Indication :
Exercice 9 :
0
2
eu du =
Z
π
).
2
Z +∞
sin2 x
sin x
Soientα ∈ R, Iα =
dx et Jα =
dx.
α
x
xα
0
0
1) Montrer que Iα est convergente si et seulement si 1 < α < 3.
+∞
2) Montrer que Jα est convergente si et seulement si 0 < α < 2. Que peut-on dire de
l’absolue convergenceZde Jαµdans
ce cas ? ¶
+∞ Z +∞
sin x
3) Montrer que K =
dx dt est convergente.
xZ
0
t
+∞
4) Etudier la convergence de Lα =
sin(xα )dx (lorsque α 6= 0, on pourra poser
y = xα ).
0
2