Intégrales impropres et séries
Tewfik Sari
L2 Math
Chapitre 1
Rappels sur l’intégration
1.1
Intégrale de Riemann des fonctions en escalier
Soit [a, b] un intervalle fermé et borné de R. Une subdivision de [a, b] et une suite fine et strictement
croissante de points de [a, b] telle que :
a = x0 < x1 < · · · < xn = b.
Définition 1 Soit E un espace normé. Soit f : [a, b] → E. On dit que f est une fonction en escalier, s’il exitse
un subdivision σ = {x0 , x1 , · · · , xn } de [a, b], telle que f soit constante sur chacun des intervalles ouverts
]xi , xi+1 [, pour 0 ≤ i ≤ n − 1. Une telle subdivision est dite associée à f .
Définition 2 Soit f : [a, b] → E une fonction en escalier. Soit σ = {x0 , x1 , · · · , xn } une subdivision associée
à f et soit ci = f|]x ,x [ . On appelle intégrale de f sur [a, b] la somme notée
i
i+1
b
Z
f (x)dx =
a
n−1
X
(xi+1 − xi )ci .
(1.1)
i=0
Exercice Montrer que l’intégrale d’une fonction en escalier f ne dépend pas de la subdivision σ associée à f
qui est utilisée pour la calculer par la formule (1.1).
Proposition 1 (Propriétés de l’intégrale) Notons par E([a, b], E) l’ensemble des fonctions en escalier sur
[a, b].
Relation de Chasles. Pour tout f ∈ E([a, b], E) et tout c ∈ [a, b] on a
Z b
Z b
Z c
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
a
a
c
Linéarité. Pour tous f et g dans E([a, b], E) et tous réels λ et µ on a
Z b
Z b
Z b
(λf + µg)(x)dx = λ
f (x)dx + µ
g(x)dx.
a
a
a
Croissance. Soient f et g dans E([a, b], R). Si pour tout x ∈ [a, b], f (x) ≤ g(x) alors
Z b
Z b
f (x)dx ≤
g(x)dx.
a
a
Rb
Par conséquent, si f ≥ 0 sur [a, b] alors a f (x)dx ≥ 0.
Majoration. Pour tout f ∈ E([a, b], E) on a
Z b
Z b
≤
f
(x)dx
kf (x)kdx.
a
a
1
2
CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L’INTÉGRATION
Inégalité de Cauchy-Schwartz. Pour tous f et g dans E([a, b], R) on a
Z b
Z b
1/2 Z b
1/2
2
2
f (x)g(x)dx ≤
|f (x)| dx
|g(x)| dx
.
a
a
a
Exercice Démontrer les résultats de cette proposition.
1.2
Intégration des fonctions continues par morceaux
Dans la section précédente on a montré comment intégrer les fonctions en escalier, qui sont des cas particuliers de fonctions bornées. Dans cette section nous allons intégrer les fonctions continues par morceaux, en
les approchant par des fonctions en escalier.
Définition 3 Une fonction f : [a, b] → E est dite continue par morceaux si et seulement s’il existe une
subdivision s = (a0 , · · · , an ) de [a, b] telle que pour tout i ∈ {0, · · · , n − 1} la restriction f |]ai ,ai+1 [ soit
continue et admette une limite à gauche en ai et une limite à droite en ai+1 .
Théorème 1 Soit f : [a, b] → E une fonction continue par morceaux.
– Il existe une suite (fn ) de fonctions en escaliers fn : [a, b] → E qui converge uniformément vers f sur
[a, b].
– Si E est complet, alors pour toutes les suites
(fn ) de fonctions en escaliers sur [a, b] convergeant uniRb formément vers f sur [a, b], la suite a fn converge dans E vers une même limite, appelée l’intégrale
de f sur [a, b] et notée
Z
Z b
Z b
Z b
f=
f=
f (t)dt = lim
fn (t)dt.
[a,b]
a
n→∞ a
a
Proposition 2 (Propriétés de l’intégrale) Notons CM([a, b], E) l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b].
Relation de Chasles. Pour tout f ∈ CM([a, b], E) et tout c ∈ [a, b] on a f ∈ CM([a, c], E) et f ∈
CM([c, b], E) et
Z b
Z c
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
a
a
c
Linéarité de l’intégrale. Pour tous f, g ∈ CM([a, b], E) et tous réels λ et µ on a λf + µg ∈ CM([a, b], E) et
Z b
Z b
Z b
(λf + µg)(x)dx = λ
f (x)dx + µ
g(x)dx.
a
a
a
Croissance. Pour tous f, g ∈ CM([a, b], R), si pour tout x ∈ [a, b], f (x) ≤ g(x) alors
Z b
Z b
f (x)dx ≤
g(x)dx.
a
a
Rb
Par conséquent, si f ≥ 0 sur [a, b] alors a f (x)dx ≥ 0.
Majoration. Pour tout f ∈ CM([a, b], E) on a kf k ∈ CM([a, b], R) et
Z b
Z b
f (x)dx
kf (x)kdx.
≤
a
a
Inégalité de Cauchy-Schwartz. Pour tous f, g ∈ CM([a, b], R) on a f g ∈ CM([a, b], R) et
Z b
Z b
1/2 Z b
1/2
2
2
f (x)g(x)dx ≤
|f (x)| dx
|g(x)| dx
.
a
a
a
3
CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L’INTÉGRATION
Exercice Démontrer cette proposition.
Proposition 3 Soit f continue sur [a, b] telle que f ≥ 0 sur [a, b]. Alors
Z
b
f (x)dx = 0 ⇒ f = 0 sur [a, b].
a
1.3
Sommes de Riemann
Définition 4 Soit f : [a, b] → E une fonction. Soit σ = {x0 , x1 , · · · , xn }, telle que a = x0 < x1 < · · · <
xn = b, une subdivision de [a, b] et soit ξ = {ξ0 , ξ1 , · · · , ξn−1 }, telle que ξi ∈ [xi , xi+1 ], i = 0, · · · , n − 1, une
suite de points. On appelle somme de Riemann de f associée à σ et ξ la somme notée
R(f, σ, ξ) =
n−1
X
(xi+1 − xi )f (ξi ).
i=0
Théorème 2 Si la fonction f : [a, b] → E est continue par morceaux sur [a, b] alors, pour tout ε > 0 il existe
δ > 0 tel que pour toute subdivision σ = {x0 , x1 , · · · , xn } et toute suite de points ξ = {ξ0 , ξ1 , · · · , ξn−1 } on a
Z b
f (x)dx < ε.
xi+1 − xi < δ et xi ≤ ξi ≤ xi+1 pour 0 ≤ i ≤ n − 1 ⇒ R(f, σ, ξ) −
a
Exercice Démontrer ce théorème.
Chapitre 2
Intégrales généralisées
2.1
Position du problème
Dans le chapitre 1 on a rappelé la définition de l’intégrale (si elle existe) d’une fonction bornée sur un
intervalle borné. Dans ce chapitre on va étendre la notion d’intégrale (si elle existe) à des fonctions non bornées
ou des intervalles non bornés (ou les deux). Plus précisément, on veut géneraliser la notion d’intégrale et définir
l’intégrale généralisée (si elle existe)
Z
f (x)dx
(2.1)
I
où I est un intervalle quelconque de R et f une fonction continue et éventuellement non bornée sur I, ou non
définie en des points isolés de I. On dit que (2.1) est une intégrale généralisée ou intégrale impropre. Comme
on veut conserver l’additivité de l’intégrale (Relation de Chasles) on décomposera TOUJOURS l’intégrale (2.1)
en une somme d’intégrales de la forme
Z b
f (x)dx, avec a < b ≤ +∞ et f : [a, b[→ R continue,
a
ou bien de la forme
Z
b
f (x)dx, avec − ∞ ≤ a < b et f :]a, b] → R continue.
a
Par exemple on posera
Z
+∞
−∞
dx
1 − x2
Z −1
Z 0
dx
dx
dx
+
+
2
2
2
−∞ 1 − x
−2 1 − x
−1 1 − x
Z 1
Z 2
Z +∞
dx
dx
dx
+
+
+
,
2
2
1 − x2
0 1−x
1 1−x
2
Z
−2
=
ca l’intégrale considérée est “impropre” en ±∞ et en ±1. L’intégrale sur ] − ∞, +∞[ n’aura de sens que si
chacune des six intégrales dont elle est la somme existe.
Comme la situation sur ]a, b] est analogue à celle sur [a, b[, nous allons dans la suite définir les intégrales
généralisées de f sur [a, b[, avec a < b ≤ +∞. On examine d’abord le cas b = +∞, puis le cas où b < +∞ et
f est continue sur [a, b[ et non bornée.
2.2
Intégrale sur un intervalle non borné
Soit f : [a, +∞[→ R une fonction
continue. Par conséquent f est intégrable sur tout intervalle [a, x] avec
Rx
x > a, de sorte que le nombre a f (t)dt est bien défini.
R +∞
Rx
Définition 5 On dit que l’intégrale généralisée (ou impropre) a f (t)dt existe (ou converge) si limx→+∞ a f (t)dt
exite et est finie. Dans ce cas on note
Z +∞
Z x
f (t)dt = lim
f (t)dt.
a
x→+∞ a
4
5
CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Si cette limite n’existe pas ou bien est infinie on dira que l’intégrale diverge.
Exercice Déterminer la nature (convergente ou divergente) des intégrales généralisées suivantes
Z +∞
Z +∞
Z +∞
Z +∞
Z +∞
dt
dt
dt
dt
,
,
,
,
dt.
2
1 + t2
1+t
t2
0
1
−∞ 1 + t
−∞
0
On a le résultat suivant qui est une conséquence directe de la linéarité de la limite.
R +∞
R +∞
R +∞
Proposition 4 Si a f (t)dt et a b(t)dt convergent, alors pour tous nombres réels λ et µ, a (λf +
µg)(t)dt converge et on a
Z +∞
Z +∞
Z +∞
(λf + µg)(t)dt = λ
f (t)dt + µ
g(t)dt.
a
2.2.1
a
a
Fonctions positives
Théorème 3 (Critère de comparaison) Si 0 ≤ f ≤ g sur [a, +∞[ alors
Z +∞
Z +∞
g(t)dt converge ⇒
f (t)dt converge,
a
a
Z
+∞
+∞
Z
f (t)dt diverge ⇒
f (t)dt diverge,
a
a
Rx
Comme une fonction croissante (ici a f (t)dt) et bornée a une limite et qu’une fonction croissante et qui
n’a pas de limite tend vers +∞, on a le résultat.
Exercice Rédiger les détails de la démonstration.
Théorème 4 (Critère d’équivalence) Si f, g ≥ 0 pour t assez grand et si f ∼ g quand t → +∞ (c’est à dire
(t)
limt→+∞ fg(t)
= 1), alors
Z
+∞
Z
g(t)dt converge ⇔
a
+∞
f (t)dt converge.
a
Exercice Démontrer ce théorème.
On utilise ces deux théorèmes pour comparer la fonction à des fonctions de référence données dans la
proposition suivante
Proposition 5 (Fonctions de comparaison)
Intégrales de Riemann :
Z +∞
dt
converge si et seulement si α > 1.
tα
1
Intégrales de Bertrand :
Z +∞
1
dt
tα (ln t)β
converge si et seulement si α > 1 ou α = 1 et β > 1.
Exercice Démontrer cette proposition.
6
CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
2.2.2
Fonctions de signe quelconque
Rx
D’après le critère de Cauchy d’existence de la limite de la fonction
a
f (t)dt on a
Proposition 6 (Critère de Cauchy) Soit f : [a, +∞[→ R une fonction continue. Alors
Z 00
Z +∞
x
f (t)dt converge ⇔ ∀ε > 0∃c > a∀x0 , x00 ∈ [c, +∞[ f (t)dt < ε.
x0
a
R +∞
R +∞
R +∞
Définition 6 On dit que a f (t)dt est absolument convergente si a |f (t)|dt converge. On dit que a f (t)dt
est semi convergente si elle est convergente mais pas absolument convergente.
Théorème 5 La convergence absolue d’une intégrale implique sa convergence.
Pour démontrer ce résultat, il suffit de constater que
Z 00
Z 00
x
x
f
(t)dt
≤
|f
(t)|dt
.
x0
x0
et d’utiliser le critère de Cauchy.
Exercice Rédiger les détails de la démonstration.
2.3
Fonction non bornée sur un intervalle borné
Soit f : [a, b[→ R une fonction
R xcontinue. Par conséquent f est intégrable sur tout intervalle [a, x] avec
a < x < b, de sorte que le nombre a f (t)dt est bien défini.
Définition 7 On dit que l’intégrale généralisée (ou impropre)
exite et est finie. Dans ce cas on note
Z
b
Z
f (t)dt = lim
a
x→b a
Rb
a
f (t)dt existe (ou converge) si limx→b
Rx
a
f (t)dt
x
f (t)dt.
Si cette limite n’existe pas ou bien est infinie on dira que l’intégrale diverge.
Exercice Déterminer la nature (convergente ou divergente) des intégrales généralisées suivantes
Z 1
Z 1
Z 1
Z +∞
Z +∞
dt
dt
dt
dt
dt
√ ,
,
,
,
.
2
1+t
t2
t
0 t
0
0 t
−1
0
On a le résultat suivant qui est une conséquence directe de la linéarité de la limite.
Proposition 7 Si
converge et on a
Rb
a
f (t)dt et
Rb
a
Z
b(t)dt convergent, alors pour tous nombres réels λ et µ,
b
Z
(λf + µg)(t)dt = λ
a
b
Z
f (t)dt + µ
a
b
g(t)dt.
a
Rb
a (λf
+ µg)(t)dt
7
CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
2.3.1
Fonctions positives
Théorème 6 (Critère de comparaison) Si 0 ≤ f ≤ g sur [a, b[ alors
b
Z
b
Z
g(t)dt converge ⇒
a
f (t)dt converge,
a
b
Z
Z
f (t)dt diverge ⇒
a
b
f (t)dt diverge,
a
Rx
Comme une fonction croissante (ici a f (t)dt) et bornée a une limite et qu’une fonction croissante et qui
n’a pas de limite tend vers +∞, on a le résultat.
Exercice Rédiger les détails de la démonstration.
Théorème 7 (Critère d’équivalence) Si f, g ≥ 0 pour t proche de b et si f ∼ g quand t → b (c’est à dire
(t)
limt→b fg(t)
= 1), alors
Z b
Z b
g(t)dt converge ⇔
f (t)dt converge.
a
a
Exercice Démontrer ce théorème.
On utilise ces deux théorèmes pour comparer la fonction à des fonctions de référence données dans la
proposition suivante
Proposition 8 (Intégrales de Riemann) Soit a < b alors (attention, l’intégrale est impropre en a)
Z
a
b
dt
converge si et seulement si α < 1.
(t − a)α
Exercice Démontrer cette proposition.
2.3.2
Fonctions de signe quelconque
D’après le critère de cauchy d’existence de la limite de la fonction
Rx
a
f (t)dt on a
Proposition 9 (Critère de Cauchy) Soit f : [a, b[→ R une fonction continue. Alors
Z 00
Z b
x
f (t)dt converge ⇔ ∀ε > 0∃c ∈]a, b[∀x0 , x00 ∈ [c, b[ f (t)dt < ε.
0
a
x
Rb
Rb
Rb
Définition 8 On dit que a f (t)dt est absolument convergente si a |f (t)|dt converge. On dit que a f (t)dt est
semi convergente si elle est convergente mais pas absolument convergente.
Théorème 8 La convergence absolue d’une intégrale implique sa convergence.
Chapitre 3
Séries
Etant donnée une suite un dans R ou C, ou plus généralement dans un espace vectoriel E, on appelle série
de terme général un , la suite
u0 , u 0 + u1 , u 0 + u1 + u2 , · · · , u 0 + u1 + · · · + un , · · ·
P
P
c’est à dire la suite ( nk=0 uk )n∈N . On note un cette suite.
3.1
Rappels sur les suites
Définition 9 On dit qu’une suite (un ) de nombres réels (ou complexes) est convergente s’il existe l ∈ R ou C,
appelé la limite de la suite, tel que limn→+∞ |un − l| = 0. On écrit alors
lim un = l ⇔ lim |un − l| = 0 ⇔ ∀ > 0∃N ∀n(n > N ⇒ |un − l| < ).
n→+∞
n→+∞
Proposition 10 [Condition nécessaire et suffisante de convergence] La suite (un ) converge si et seulement
si c’est une suite de Cauchy, c’est à dire
∀ > 0∃N ∀p, q(q, p > N ⇒ |up − uq | < .
Définition 10 On dit qu’une suite (un ) d’un espace normé (E, k) est convergente s’il existe l ∈ E, appelé la
limite de la suite, tel que limn→+∞ kun − lk = 0. On écrit alors
lim un = l ⇔ lim kun − lk = 0 ⇔ ∀ > 0∃N ∀n(n > N ⇒ kun − lk < ).
n→+∞
n→+∞
Proposition 11 [Condition nécessaire et suffisante de convergence] Dans un espace complet, la suite (un )
converge si et seulement si c’est une suite de Cauchy, c’est à dire
∀ > 0∃N ∀p, q(q, p > N ⇒ kup − uq k < .
3.2
Séries dans R ou C
3.2.1
Convergence et convergence absolue
Soit (un ) une suite de nombres réels (ou complexes).
Définition 11 On dit que la série de terme général un (en abrégé la série
converge. Dans ce cas on note
∞
n
X
X
uk = lim
uk .
k=0
n→+∞
k=0
Si cette limite n’existe pas ou bien est infinie on dira que la série diverge.
8
P
un ) converge si la suite
Pn
k=0 uk
9
CHAPITRE 3. SÉRIES
Comme un =
Pn
k=0 uk
−
Pn−1
k=0
uk , on a la proposition suivante
Proposition 12 [Condition nécessaire de convergence] Si la série
P
un converge alors limn→+∞ un = 0.
Le critère de convergence de Cauchy pour les suites donne la CNS de convergence suivante pour les séries
P
Proposition
Pn13 [Condition nécessaire et suffisante de convergence] La série un converge si et seulement
si la suite k=0 uk est de Cauchy, ce qui s’écrit
X
X
q
un converge ⇔ ∀ > 0∃N ∀p, q(q > p > N ⇒ uk < .
k=p Définition 12 [Convergence absolue] On dit que la série
converge.
P
un converge absolument si la série
P
|un |
Proposition 14 La convergence absolue implique la convergence.
Ce résultat est une conséquence du critère de Cauchy et de la propriété
q
q
X
X
uk ≤
|uk |.
k=p k=p
Exercice Déterminer la nature (convergente ou divergente) des séries suivantes
X
X 2n − 1
rn ,
2n + 1
,
X1
,
n
X
1
.
n(n + 1)
On a le résultat suivant qui est une conséquence directe de la linéarité de la limite.
Proposition 15 Si
et on a
P
un et
P
vn convergent, alors pour tous nombres réels λ et µ,
∞
X
(λun + µvn ) = λ
n=0
3.2.2
∞
X
un + µ
n=0
∞
X
P
(λun + µvn ) converge
vn .
n=0
Séries à termes réels positifs
Théorème 9 (Critère de comparaison) Si 0 ≤ un ≤ vn alors
X
X
vn converge ⇒
un converge,
X
un diverge ⇒
X
vn diverge,
Exercice Rédiger les détails de la démonstration.
Théorème 10 (Critère d’équivalence) Si un , vn ≥ 0 pour n assez grand et si un ∼ vn quand n → +∞ (c’est
à dire limn→+∞ uvnn = 1), alors
X
Exercice Démontrer ce théorème.
un converge ⇔
X
vn converge.
10
CHAPITRE 3. SÉRIES
Théorème 11 (Comparaison avec une intégrale) Soit n0 un entier positif. Soit
f : [n0 , +∞[→ R+
une fonction continue, décroissante et telle que limt→+∞ f (t) = 0. Alors la série
R +∞
seulement si l’intégrale impropre n0 f (t)dt converge.
P
n≥n0
f (n) converge si et
P REUVE . Notons un = f (n) pour n ≥ n0 . Comme f est décroissante, uk ≤ f (t) ≤ uk−1 pour t ∈ [k − 1, k].
D’où
Z
k
f (t)dt ≤ uk−1
uk ≤
k−1
Par conséquent, si on note vn =
Rn
n−1 f (t)dt,
on a, en utilisant le critère de comparaison 9
X
X
un converge ⇔
vn converge.
Il suffit de remarquer alors que (montrer le)
X
Z
+∞
vn converge ⇔
f (t)dt converge.
n0
Ce qui achève la démonstration.
On utilise les théorèmes 9 et 10 pour comparer la série à des séries de référence données dans la proposition
suivante
Proposition 16 Série géométrique : Soit a et r des nombres réels (ou complexes) alors
X
arn converge si et seulement si |r| < 1.
Série de Riemann : Soit α un nombre réel alors
X 1
converge si et seulement si α > 1.
nα
Série de Bertrand : Soit α et β des nombres réel alors
X
1
nα (ln n)β
converge si et seulement si α > 1 ou α = 1 et β > 1.
Exercices
1. Démontrer cette proposition.
P 1
2. Démontrer que si α ∈ C et Reα > 1 alors
nα converge.
Théorème 12 [Test de Cauchy] Soit
P
un une série à termes positifs et soit
λ = lim (un )1/n
a) si λ < 1 la série converge,
alors b) si λ > 1 la série diverge,
c) si λ = 1 on ne peut rien conclure.
P
Théorème 13 [Test de d’Alembert] Soit un une série à termes positifs et soit
λ = lim
alors
a) si λ < 1 la série converge,
b) si λ > 1 la série diverge,
c) si λ = 1 on ne peut rien conclure.
un+1
un
11
CHAPITRE 3. SÉRIES
Exercices
1. Démontrer ces deux théorèmes.P
2. Application : nature de la série un avec un =
n!
nn .
Proposition 17 Soit un une suite de nombres réels positifs tels que limn→+∞
1/n
et λ = +∞ sont permis aussi) alors limn→+∞ (un )
un+1
un
1/n
et on a limn→+∞ (un )
= λ existe (les cas λ = 0
= λ.
Exercices
1. Démontrer cette proposition.
2. Application : calculer lim
n→+∞
3.2.3
(n!)2
(2n + 1)!
1/n
.
Produit de Cauchy des séries
Définition
P 13 On appelle produit de Cauchy des séries
série wn définie par
wn =
n
X
P
un et
P
un dont les éléments sont dans R ou C, la
uk vn−k = u0 vn + u1 vn−1 + · · · + un v0 =
Théorème 14 Si
un et
P
up vq .
p+q=n
k=0
P
X
P
un sont absolument convergentes alors wn est absolument convergente et on a
! ∞
!
∞
∞
X
X
X
wn =
un
vn .
n=0
n=0
n=0
Exercices
1. Démontrer ce théorème.
P z
2. Application : Exponentielle complexe. Démontrer que la série
n! est absolument convergente pour tout
z ∈ C. On note par
∞
X
z
z
z2
zn
z
exp (z) = e =
=1+ +
+ ··· +
+ ···
n!
1!
2!
n!
n=0
sa somme et on l’appelle l’exponentielle du nombre complexe z. Montrer que pour tous z1 , z2 ∈ C, on a
ez1 +z2 = ez1 ez2 .
3.2.4
Séries semi convergentes
Théorème 15 (Séries
Soit an une suite décroissante de nombres réels positifs, telle que limn→+∞ an =
P alternées)
n
0. Alors la série (−1) an est convergente et on a
∞
n
X
X
k
k (−1) ak ≤ an+1 .
(−1) ak −
k=0
Exercices
1. Démontrer ce théorème.
2. Application : Série de Riemann. Démontrer que
k=0
X (−1)n
nα
converge si et seulement si α > 0.
ThéorèmeP
16 (Règle d’Abel) Soient an et bn des suites
P de nombres réels ou complexes telles
P que limn→+∞ an =
0, la série |an − an+1 | converge et la suite Bn = nk=0 bk est bornée. Alors la série an bn converge.
12
CHAPITRE 3. SÉRIES
Corollaire 1 Soit an et une suite décroissante de nombres
PSoit bn une suite
Pn réels telle que limn→+∞ an = 0.
de nombres réels ou complexes telle que la suite Bn = k=0 bk soit bornée. Alors la série an bn converge.
Exercices
1. Démontrer ce théorème ainsi que son corollaire.
2. Application : Séries trigonométriques. Soit an une suite
nombres réels positifs, dćroissante et qui tend
P de int
vers 0. Démontrer que pour tout t 6= 0 (mod 2π), la série an e converge.
3.3
Séries dans les espaces normés
Soit (E, k · k) un espace normé et soit (un ) une suite d’éléments de E.
P
P
Définition 14 On dit que la série de terme général un (en abrégé la série un ) converge si la suite nk=0 uk
converge. Dans ce cas on note
∞
n
X
X
uk = lim
uk .
k=0
n→+∞
k=0
Si cette limite n’existe pas on dira que la série diverge.
P
P
Comme un = nk=0 uk − n−1
k=0 uk , on a la proposition suivante
Proposition 18 [Condition nécessaire de convergence] Si la série
P
un converge alors limn→+∞ un = 0.
Le critère de convergence de Cauchy pour les suites donne la CNS de convergence suivante pour les séries
P
Proposition 19 [Condition nécessaire
un
Pn et suffisante de convergence] Si E est complet, alors la série
converge si et seulement si la suite k=0 uk est de Cauchy, ce qui s’écrit
q
X
X un converge ⇔ ∀ > 0∃N ∀p, q(q > p > N ⇒ uk < .
k=p Définition 15 [Convergence absolue] On dit que la série
converge.
P
un converge absolument si la série
P
kun k
Le résultat suivant est une conséquence du critère de Cauchy et de la propriété
q
q
X X
≤
kuk k.
u
k
k=p k=p
Proposition 20 Si E est complet, alors la convergence absolue implique la convergence.
On a le résultat suivant qui est une conséquence directe de la linéarité de la limite.
Proposition 21 Si
et on a
P
un et
P
vn convergent, alors pour tous nombres réels λ et µ,
∞
X
n=0
(λun + µvn ) = λ
∞
X
n=0
un + µ
∞
X
P
(λun + µvn ) converge
vn .
n=0
On considère maintenant une algèbre normée (E, k·k), c’est à dire une algèbre munie d’une norme vérifiant
en plus des propriétés des norme l’inégalité
∀(x, y) ∈ E 2 , kxyk ≤ kxkkyk.
13
CHAPITRE 3. SÉRIES
Définition
16 On appelle produit de Cauchy des séries
P
wn définie par
wn =
n
X
P
un et
P
un dont les éléments sont dans E, la série
uk vn−k = u0 vn + u1 vn−1 + · · · + un v0 =
X
up vq .
p+q=n
k=0
P
P
Théorème
un et
un sont absolument convergentes
P 17 Soit (E, k · k) une algèbre normée complète. Si
alors wn est absolument convergente et on a
!
! ∞
∞
∞
X
X
X
vn .
wn =
un
n=0
n=0
n=0
Exercices
1. Démontrer ce théorème.
2. Application : Exponentielle d’une matrice. On munit l’ensemble E des matrice
P A carrée d’une norme matricelle qui en fait une algèbre normée (donc
complète).
Démontrer
que
la
série
n! est absolument convergente
PA
pour tout A ∈ E. Montrer que la série
n! est convergente. On note par
exp (A) = eA =
∞
X
A A2
An
A
=1+ +
+ ··· +
+ ···
n!
1!
2!
n!
n=0
sa somme et on l’appelle l’exponentielle de la matrice A. Montrer que pour toutes matrices A et B qui commutent, on a eA+B = eA eB .
Théorème 18 (Règle d’Abel) Soit (E,
Pk · k) une algèbre normée complète. Soient
Pan et bn des suites dans E
telles P
que limn→+∞ an = 0, la série kan − an+1 k converge et la suite Bn = nk=0 bk est bornée. Alors la
série an bn converge.
Exercice Démontrer ce théorème.
Chapitre 4
Suites et séries de fonctions
4.1
Convergence d’une suite
Soit fn : X → E une suite de fonction d’un ensemble X vers un espace normé E.
Définition 17 [Convergence simple] On dit que la suite (fn ) converge simplement vers la fonction f : X → E
si pour tout x ∈ X la suite fn (x) converge vers f (x). On écrit alors
fn −→ f
⇔ ∀x ∈ X lim fn (x) = f (x)
n→+∞
⇔ ∀x ∈ X ∀ > 0 ∃n0 ∀n(n > n0 ⇒ kfn (x) − f (x)k < ).
Définition 18 [Convergence uniforme] On dit que la suite (fn ) converge uniformément vers la fonction f :
X → E si la suite supx∈X kfn (x) − f (x)k converge vers 0. On écrit alors
unif
fn −→ f
⇔
lim sup kfn (x) − f (x)k = 0
n→+∞ x∈X
⇔ ∀ > 0 ∃n0 ∀x ∈ X ∀n(n > n0 ⇒ kfn (x) − f (x)k < ).
Proposition 22 [Condition nécessaire et suffisante de convergence] On suppose que l’espace E est complet.
La suite fn est convergente si et seulement si pour tout x ∈ X la suite fn (x) est de Cauchy, c’est à dire
∀x ∈ X ∀ > 0 ∃n0 ∀p, q(q > n0 , p > n0 ⇒ kfp (x) − fq (x)k < ).
La suite fn est uniformément convergente si et seulement si elle est uniformément de Cauchy, c’est à dire
∀ > 0 ∃n0 ∀x ∈ X ∀p, q(q > n0 , p > n0 ⇒ kfp (x) − fq (x)k < ).
4.2
Convergence d’une série
Soit fn := X → E une suite de fonction d’un ensemble X vers un espace normé E.
P
DéfinitionP
19 On dit que la série
fn converge simplement (resp. uniformément) si la suite des sommes
partielles nk=0 fk est simplement (resp. uniformément) convergente. On note
+∞
X
k=0
fk = lim
n→+∞
n
X
fk .
k=0
P
Proposition 23 [Condition nécessaire de convergence] Si la série
fn converge simplement (resp. uniformément) alors la suite fn converge simplement (resp. uniformément) vers 0.
14
15
CHAPITRE 4. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Proposition
que l’espace E est complet.
P 24 [Condition nécessaire et suffisante de convergence] On suppose
Pn
La série
fn est convergente si et seulement si pour tout x ∈ X la suite k=0 fk (x) est de Cauchy, c’est à
dire
X
q
∀x ∈ X ∀ > 0 ∃n0 ∀p, q(q > p > n0 ⇒ fk (x)
< ).
k=p+1
Pn
La série fn est uniformément convergente si et seulement si la suite k=0 fk (x) est uniformément de Cauchy,
c’est à dire
q
X
< ).
∀ > 0 ∃n0 ∀x ∈ X ∀p, q(q > p > n0 ⇒ f
(x)
k
k=p+1
P
Proposition 25 [Condition suffisante de convergence uniforme] Si l’espace E est complet et si la série
fn
P
est normalement convergente, c’est à dire s’il existe une série de nombre réels positifs convergente an telle
que kfn (x)k ≤ an pour tout x ∈ X, alors elle est uniformément convergente.
4.3
Propriétés de la limite d’une suite de fonctions
Théorème 19 Soit fn : X → E une suite de fonctions définies sur une partie X d’un espace métrique à
unif
valeurs dans un espace normé E. Soit a un point adhérant à X. Si fn −→ f et si ln = limx→a fn (x) existe
alors les limites limx→a f (x) et limn→+∞ ln existent et sont égales. En d’autres termes
lim lim fn (x) = lim lim fn (x).
x→a n→+∞
n→+∞ x→a
Ce résultat reste vrai si a = +∞ et fn :]0, +∞[→ E.
Corollaire 2 Soit fn : X → E une suite de fonctions définies sur une partie X d’un espace métrique à valeurs
unif
dans un espace normé E. Si fn −→ f et si les fonctions fn sont continues sur X alors la fonction f est continue
sur X.
unif
Théorème 20 Soit fn : X → E une suite de fonctions définies sur [a, b] à valeurs dans R. Si fn −→ f et si
Rb
Rb
les fn sont intégrables sur [a, b], alors f est inégrable sur [a, b] et on a a f (t)dt = limn→∞ a fn (t)dt. En
d’autres termes
Z b
Z b
lim fn (t)dt = lim
fn (t)dt.
a n→+∞
n→+∞ a
Théorème 21 Soit fn : X → E une suite de fonctions de classe C 1 , définies sur un intervalle I de R à valeurs
unif
dans R. Si fn −→ f et fn0 −→ g alors f est de classe C 1 et on a f 0 = g. En d’autres termes
0
lim fn = lim (fn )0 .
n→+∞
4.4
n→+∞
Propriétés de la somme d’une série de fonctions
Théorème 22 Soit fn : X → E une suite de fonctions définies sur une P
partie X d’un espace métrique à
valeurs dans un espace normé E. Soit a un pointP
adhérant à X. Si la sérieP fn converge uniformément et si
+∞
ln = limx→a fn (x) existe alors la limite limx→a +∞
n=0 fn (x) et la somme
n=0 ln existent et sont égales. En
d’autres termes
+∞
+∞
X
X
lim
fn (x) =
lim fn (x).
x→a
n=0
n=0
Ce résultat reste vrai si a = +∞ et fn :]0, +∞[→ E.
x→a
16
CHAPITRE 4. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS
Corollaire 3 Soit fn : X → P
E une suite de fonctions définies sur une partie X d’un espace métrique à valeurs
dans un espace
normé E. Si fn converge uniformément et si les fonctions fn sont continues sur X alors la
P
f
fonction +∞
n=0 n est continue sur X.
P
Théorème 23 Soit fn : X → E une suite de fonctions définies sur [a,
b]
à
valeurs
dans
R.
Si
fn converge
P
uniformément et si les fn sont intégrables sur [a, b], alors la fonction +∞
f
est
inégrable
sur
[a,
b] et on a
n
n=0
Z bX
+∞
fn (t)dt =
a n=0
+∞ Z
X
b
fn (t)dt.
n=0 a
Théorème 24 Soit fP
de classe C 1 , définies sur un intervalle I de R à valeurs
n : X → E une suite de fonctions P
dans
fn est convergente et la série
fn0 est uniformément convergente alors la fonction
P+∞R. Si la série
1
n=0 fn est de classe C et on a
!0 +∞
+∞
X
X
fn =
(fn )0 .
n=0
4.5
n=0
La fonction ζ de Riemann
On considère la fonction
+∞
X
1
ζ(s) =
ns
n=1
définie sur U = {s ∈ C : Re(s) > 1}.
1. Montrer que la fonction ζ est continue sur U .
2. Montrer que la fonction ζ est dérivable sur ]1, +∞[ et que sa dérivée est
0
ζ (s) = −
+∞
X
ln n
n=1
ns
.
3. Montrer que la fonction ζ est convexe sur ]1, +∞[ (c’est à dire ζ 00 (s) > 0 pour tout s > 1).
4. Calculer lims→1 ζ(s) et lims→+∞ ζ(s) et dessiner le graphe de la fonction ζ.
Chapitre 5
Séries entières
P
Une série entière est une série
fn de fonctions définie sur C de la forme fn (z) = an z n , où an est une
suite de nombres réels ou complexes.
5.1
Rayon de convergence
Soit
P
an z n une série entière. Soit R = sup(A) où
A = {r ≥ 0 : la suite an rn est bornée}.
Théorème 25 Pour
Ptout z ∈ C on a
1. |z| < R ⇒ P an z n est absolument convergente,
2. |z| > R ⇒
an z n est divergente.
P
Le nombre R est appelé le rayon de convergence de la série an z n . Noter que R ≥ 0 ou bien R = +∞.
Le disque D(0, R) = {z ∈ C : |z| < R} s’appelle le disque de convergence de la série. Si R = +∞
alors D(0, R) = C. Les critère de Cauchy et de d’Alembert de convergence de séries à termes réels positifs
fournissent des formules pour calculer le rayon de convegrence d’une série entière.
1
Proposition 26 Si L =
limn→+∞ |an | n existe alors R = 1/L.
Si L = limn→+∞ an+1
an existe alors R = 1/L.
5.2
Convergence uniforme
P
P
Théorème 26 Soit an (z) une série entière de rayon de convergence R > 0. Soit r ∈]0, R[. Alors an (z)
est normalement (donc uniformément) convergente sur le disque fermé {z ∈ C : |z| ≤ r}.
En général il n’y
P a pas de convergence uniforme sur tout le disque de convergence, comme le montre la
série géométrique z n , de rayon de convergence R = 1, qui ne converge pas uniformément sur D(0, 1) car la
suite z n ne tend pas uniformément vers 0 sur D(0, 1).
5.3
Série dérivée d’une série entière
Définition 20 La série dérivée de la série entière
P
an z n est la série
P
(n + 1)an+1 z n .
Proposition 27 Une série entière et sa série dérivée ont le même rayon de convergence.
17
18
CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES
5.4
Propriétés de la somme d’une série entière
Soit
P
an z n une série entière de rayon de convergence R > 0. Soit
f (z) =
+∞
X
an z n
n=0
définie pour z ∈ D(0, R).
Théorème 27 La fonction f est continue sur D(0, R).
Théorème 28 Pour tout intervalle [a, b] ⊂] − R, R[ on a
!
Z b X
+∞
+∞
X
an
bn+1 − an+1 .
an xn dx =
n+1
a
n=0
Corollaire 4 La fonction f (x) =
C, où C est une constante.
n=0
P+∞
Théorème 29 La fonction f (x) =
n
n=0 an x
P+∞
admet comme primitives sur ]−R, R[ les fonctions
n
n=0 an x
P+∞
an n+1
+
n=0 n+1 x
est dérivable sur ] − R, R[ et on a
f 0 (x) =
+∞
X
(n + 1)an+1 xn .
n=0
P+∞
n
∞ sur ] − R, R[ et pour tout entier n on a
Corollaire 5 La fonction f (x) =
n=0 an x est de classe C
(n)
f (0) = n!an . Par conséquent, pour tout x ∈] − R, R[, on a
f (x) =
+∞ (n)
X
f (0)
n=0
n!
xn .
(5.1)
La série (5.1) s’appelle la série de Taylor de f en 0.
5.5
Fonctions développables en séries entières
Soit D un voisinage ouvert de 0 dans R et soit f : D → R.
Définition 21 La fonction f est dite développable en série entière (DSE) en 0 s’il existe une série entière
P
an xn et un réel R > 0 tel que ] − R, R[⊂ D et
f (x) =
+∞
X
an xn ,
pour tout x ∈] − R, R[.
n=0
Proposition 28 Une condition nécessaire
que f soit DSE en 0 est que f soit de classe C ∞ en 0. Dans ce
P pour
n
cas les colleficients de la série entière an x dont f est la somme sont donnés par
f (n) (0)
.
n!
Par conséquent une fonction qui est DSE en 0 est la somme de sa série de Taylor dans un voisinage de 0.
an =
Cette condition n’est pas suffisante. En effet la fonction
−1/t2
e
si t 6= 0
f (x) =
0
si t = 0
est de classe C ∞ en 0 et pour tout entier n on a f (n) (0) = 0 (montrer le), mais f n’est égale à la somme de sa
P
f (n) (0) n
série de Taylor +∞
n=0
n! x , dans aucun voisinage de 0, car la fonction f ne s’annulle qu’en 0, alors que la
somme de sa série de taylor est nulle.
19
CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES
Théorème 30 La fonction f est DSE en 0 si et seulement si il existe R > 0 tel que
1. f est de classe C ∞ sur ] − R, R[.
2. pour tout x ∈] − R, R[ on a
!
n
X
f (k) (0) k
lim
f (x) −
x
= 0.
n→+∞
k!
k=0
Corollaire 6 Pour que la fonction f soit DSE en 0 il suffit qu’il existe R > 0 tel que
1. f soit est de classe C ∞ sur ] − R, R[.
2. Il existe M > 0 tel que pour tout x ∈] − R, R[ et pour tout n ∈ N on ait
|f (n) (x)| ≤ M.
Pour démontrer ce corollaire il suffit d’utiliser la formule de Taylor avec reste intégral
Z x
Z
n
X
(x − t)n (n+1)
f (k) (0) k
xn+1 1
(1 − v)n f (n+1) (xv)dv.
f (x) −
x =
f
(t)dt =
k!
n!
n!
0
0
k=0
On a donc
Z
n
X
f (k) (0) k |x|n+1
|x|n+1 1
(1 − v)n dv = M
x ≤M
.
f (x) −
k!
(n)! 0
(n + 1)!
k=0
P
|x|n+1
. Par le critère de d’Alembert la série un converge, donc limn→+∞ un = 0.
Soit un = (n+1)!
5.6
Développement en série entière des fonctions usuelles
+∞
ex = 1 + x +
sin x = x −
x3
3!
X xn
xn
x2
+ ··· +
+ ··· =
,
2!
n!
n!
+ · · · + (−1)n
cos x = 1 −
x2n+1
(2n + 1)!
+ ··· =
x2n
x2
+ · · · + (−1)n
+ ··· =
2!
(2n)!
shx = x +
x2n+1
x3
+ ··· +
+ ··· =
3!
(2n + 1)!
n=0
+∞
X
(−1)n
n=0
+∞
X
(−1)n
n=0
+∞
X
n=0
∀x ∈ R
x2n+1
,
(2n + 1)!
x2n
,
(2n)!
x2n+1
,
(2n + 1)!
+∞
X
x2n
chx = 1 +
+ ··· +
+ ··· =
,
2!
(2n)!
(2n)!
x2
x2n
∀x ∈ R
∀x ∈ R
∀x ∈ R
∀x ∈ R
n=0
α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n) n
x + ··· +
x + ···
2!
n!
+∞
X
α(α − 1) · · · (α − n) n
=
x ,
∀x ∈] − 1, 1[
n!
(1 + x)α = 1 + αx +
n=0
+∞
X
1
= 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + · · · =
(−1)n xn ,
1+x
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · =
1−x
ln (1 + x) = x −
x2
xn
+ · · · + (−1)n−1
+ ··· =
2
n
n=0
+∞
X
n=0
+∞
X
n=0
∀x ∈] − 1, 1[
xn ,
∀x ∈] − 1, 1[
(−1)n−1
xn
,
n
∀x ∈] − 1, 1[
20
CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES
5.7
Exponentielle complexe
Pour tout z ∈ C on définit ez par
+∞
ez = 1 + z +
X zn
z2
zn
+ ··· +
+ ··· =
.
2!
n!
n!
n=0
On a
e0 = 1,
ez1 +z2 = ez1 ez2 .
∀z1 , z2 ∈ C,
Par conséquent
∀z ∈ C,
ez 6= 0,
et
1
= e−z .
ez
Théorème 31 La fonction z 7→ ez est un homomorphisme surjectif et non injectif du groupe additif C dans le
groupe multiplicatif C∗ .
Cet homomorphisme de groupe n’est pas injectif car ez+2iπ = ez . Par ailleurs on a
∀z ∈ C ∀w ∈ C∗
ez = w ⇔ z = ln |w| + i(Argw + 2kπ)
où Arg(w) est l’argument du nombre complexe non nul w, c’est à dire l’unique réel tel que −π ≤ Arg(w) < π
et
w = |w|eiArg(w) .
Exercice Démontrer que l’application
z = x + iy 7→ ez = ex (cos y + i sin y)
est un difféomorphisme de U = {(x, y) ∈ R2 : |y| < π} dans V = R2 \ {(u, 0) : v ≤ 0}.
L’application z 7→ ez est donc bijective de U dans V . Sa reciproque est appelée la fonction logarithme. Elle
est définie de V dans U par
Logw = ln |w| + iArgw.
Chapitre 6
Séries de Fourier
6.1
Coefficients de Fourier
Soit cn une suite de nombres complexes. On note par
X
cn eint la série
n∈Z
X
X
cn eint = c0 +
cn eint + c−n e−int .
n≥1
n∈Z
Comme on a
e−int = cos(nt) − i sin(nt),
eint = cos(nt) + i sin(nt),
on peut écrire aussi
X
cn eint =
a0 X
+
(an cos(nt) + bn sin(nt))
2
n≥1
n∈Z
avec
bn = i(cn − c−n )
an = cn + c−n ,
pour tout n ≥ 0.
Ces dernières équations sont équivalentes à
cn =
an − ibn
,
2
Proposition 29 Supposons que la série
an + ibn
2
c−n =
P
n∈Z cn
eint
pour tout n ≥ 0.
soit uniformément convergente. Soit f (t) =
+∞
X
n=−∞
sa somme. Alors on a
2π
1
f (t)e−int dt.
2π 0
En notation trigonométrique on a : si f (t) est la somme d’une série uniformément convergente
a0 X
+
(an cos(nt) + bn sin(nt)) ,
f (t) =
2
Z
cn =
n≥1
alors on a
Z
1 2π
an =
f (t) cos(nt)dt,
π 0
Pour la démonstration on pose
f (t)eimt =
1
bn =
π
+∞
X
Z
2π
f (t) sin(nt)dt.
0
cn ei(n−m)t .
n=−∞
Comme la série converge uniformément on peut intégrer terme à terme. On obtient
Z 2π
Z 2π
+∞
X
f (t)eimt dt =
cn
ei(n−m)t dt = 2πcm .
0
0
n=−∞
21
cn eint
22
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Définition 22 Soit f : R → C une fonction 2π-péridoique et continue par morceaux. On appelle coefficients
de Fourier de f les nombres complexes
Z 2π
1
cn (f ) =
f (t)e−int dt,
n ∈ Z,
2π 0
ou bien les nombres complexes
Z
1 2π
f (t) cos(nt)dt,
an (f ) =
π 0
1
bn (f ) =
π
Z
2π
n ∈ N.
f (t) sin(nt)dt,
0
La série de Fourier de la fonction f est la série
X
cn (f )eint =
a0 (f ) X
(an (f ) cos(nt) + bn (f ) sin(nt)) .
+
2
n≥1
n∈Z
Exercices Démontrer les propriétés suivantes
1. Si f : R → R alors an (f ) et bn (f ) sont réels et c−n (f ) = cn (f ).
2. Les an , bn et cn sont linéaires en f :
an (λf + µg) = λan (f ) + µan (g),
bn (λf + µg) = λbn (f ) + µbn (g),
cn (λf + µg) = λcn (f ) + µcn (g).
3. On peut remplacer l’intervalle d’intégration [0, 2π] par n’importe quel intervalle de longueur 2π, par
exemple par l’intervalle [−π, π].
Rπ
4. Si f est paire alors an (f ) = π2 0 f (t) cos(nt)dt
R πet bn (f ) = 0.
5. Si f est impaire alors an (f ) = 0 et bn (f ) = π2 0 f (t) sin(nt)dt.
6.2
Convergence de la série de Fourier
La série de Fourier
X
cn (f )eint d’une fonction f est-elle convergente ? Si oui, sa somme est-elle égale à
n∈Z
la fonction f . La réponse est donnée par le théorème suivant
Théorème 32 [Théorème de Dirichlet]. Si f est de classe C 1 par morceaux alors la série de Fourier de f est
simplement convergente et on a
+∞
X
int
cn (f )e
n=−∞
=
f (t)
f (t+0)+f (t−0)
2
Si de plus f est continue alors la série de Fourier
X
si f est continue en t
si f n’est pas est continue en t
cn (f )eint est normalement, donc uniformément conver-
n∈Z
gente et sa somme est égale à f (t).
On a aussi le résultat suivant qui est vrai même si la fonction f est seulement continue par morceaux.
Théorème 33 [Formule de Parseval]. Si f est continue par morceaux on a
+∞
X
n=−∞
+∞
|cn (f )|2 =
|a0 (f )|2 1 X 1
+
|an (f )|2 + |bn (f )|2 =
4
2
2π
n=1
Z
π
−π
|f (t)|2 dt.
23
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
6.3
Fonctions T -périodiques
Définition 23 Soit f : R → C une fonction T -péridoique et continue par morceaux. On appelle coefficients de
Fourier de f les nombres complexes
1
cn (f ) =
T
Z
T
2π
f (t)e−in T t dt,
n ∈ Z,
0
ou bien les nombres complexes
2
an (f ) =
T
Z
0
T
2π
f (t) cos n t dt,
T
2
bn (f ) =
T
Z
0
T
2π
f (t) sin n t dt,
T
n ∈ N.
La série de Fourier de la fonction f est la série
X
t
in 2π
T
cn (f )e
a0 (f ) X
2π
2π
=
an (f ) cos n t + bn (f ) sin n t
+
.
2
T
T
n≥1
n∈Z
Le théorème de Dirichlet est vrai. La formule de Parseval devient
+∞
X
+∞
1
|a0 (f )|2 1 X +
|an (f )|2 + |bn (f )|2 =
|cn (f )| =
4
2
T
n=−∞
2
n=1
Z
0
T
|f (t)|2 dt,
Chapitre 7
Intégrales généralisées dépendant d’un
paramètre
7.1
Convergence simple et convergence uniforme
Soit f : [a, b[×I → R, (t, x) 7→ f (t, x), une fonction, avec a < b ≤ +∞ et I un intervalle de R.
On supposeR que pour tout x ∈ I la fonction t 7→ f (t, x) est continue par morceaux sur [a, b[, de sorte que
c
l’intégrale a f (t, x)dt a un sens pour tout c ∈ [a, b[. On se propose d’étudier la limite, lorsqu’elle existe, de
cette intégrale lorsque c tend vers b.
Rb
Définition 24 On dit que
l’intégrale
généralisée
(ou
impropre)
a f (t, x)dt converge simplement sur I si pour
Rc
tout x ∈ I limc→b,c<b a f (t, x)dt exite et est finie. Dans ce cas on note
Z b
Z c
F (x) =
f (t, x)dt = lim
f (t, x)dt.
c→b,c<b a
a
Par conséquent
Z b
F (x) converge simplement sur I ⇔ lim f (t, x)dt = 0.
c→b,c<b c
Rb
On dit que l’intégrale généralisée a f (t, x)dt converge uniformément sur I si
Z b
lim sup f (t, x)dt = 0.
c→b,c<b x∈I
7.2
c
Continuité, intégration et dérivabilité
Théorème 34 Soit f : [a, b[×I → R une fonction continue sur (a, b[×I. Si l’intégrale
Rb
formément convergente sur I alors la fonction F (x) = a f (t, x) est continue sur I.
Rb
a
Théorème 35 Soit f : [a, b[×[c, d] → R une fonction continue sur (a, b[×I. Si l’intégrale
uniformément convergente sur [c, d] alors on a
Z d Z b
Z b Z d
f (t, x)dt dx =
f (t, x)dx dt.
c
a
a
f (t, x) est uni-
Rb
a
f (t, x)dt est
c
Théorème 36 Soit f : [a, b[×I → R une fonction continue sur (a, b[×I. On suppose que la dérivées partielle
Rb
∂f
: [a, b[×I → R est continue sur (a, b[×I. Si l’intégrale a f (t, x) est convergente sur I et si l’intégrale
∂x
R b ∂f
Rb
a ∂x (t, x)dt est uniformément convergente sur I alors la fonction F (x) = a f (t, x) est dérivable sur I et on
a
Z b
∂f
F 0 (x) =
(t, x)dt.
a ∂x
24
CHAPITRE 7. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES DÉPENDANT D’UN PARAMÈTRE
7.3
25
Convergence dominée
Rb
Une condition suffisante (et pas nécessaire) pour que l’intégrale a f (t, x)dt soit uniformément convergente
sur I est que |f (t, x)| soit majorée, pour tout x ∈ I, par une fonction g(t) qui soit intégrable sur [a, b[, c’est à
Rb
dire telle que l’intégrale a g(t)dt converge. En effet dans ce cas on a
Z b
Z b
lim sup f (t, x)dt ≤ lim
g(t)dt = 0.
c→b,c<b
c→b,c<b
x∈I
c
c
Par conséquent on a
Rb
Proposition 30 S’il existe g : [a, b[→ R telle que a g(t)dt converge et pour tout x ∈ I on a |f (t, x)| ≤ g(t)
Rb
alors a f (t, x)dt est uniformément convergente sur I.
Théorème 37 Soit f : [a, b[×I → R une fonction continue sur (a, b[×I. S’il existe g : [a, b[→ R telle que
Rb
Rb
a g(t)dt converge et pour tout x ∈ I on a |f (t, x)| ≤ g(t) alors la fonction F (x) = a f (t, x) est continue
sur I.
Théorème 38 Soit f : [a, b[×[c, d] → R une fonction continue sur (a, b[×I. S’il existe g : [a, b[→ R telle que
Rb
a g(t)dt converge et pour tout x ∈ I on a |f (t, x)| ≤ g(t) alors on a
Z
d Z b
Z b Z
f (t, x)dt dx =
c
a
a
d
f (t, x)dx dt.
c
Théorème 39 Soit f : [a, b[×I → R une fonction continue sur (a, b[×I. On suppose que la dérivées partielle
Rb
∂f
sur I et s’il existe
:
[a,
b[×I
→
R
est
continue
sur
(a,
b[×I.
Si
l’intégrale
∂x
a f (t, x) est convergente
Rb
∂f
g : [a, b[→ R telle que a g(t)dt converge et pour tout x ∈ I on a ∂x (t, x) ≤ g(t) alors la fonction
Rb
F (x) = a f (t, x) est dérivable sur I et on a
0
b
Z
F (x) =
a
7.4
∂f
(t, x)dt.
∂x
La fonction Γ d’Euler
On considère la fonction
Z
+∞
Γ(x) =
e−t tx−1 dt
0
définie pour x > 0. Comme cette intégrale est impropre en 0 et en +∞, sa convergence équivaut à la convergence des deux intégrales
Z 1
Z +∞
−t x−1
F1 (x) =
e t dt,
F2 (x) =
e−t tx−1 dt.
0
1
1. Montrer que l’intégrale F1 est convergente si et seulement si x > 0.
2. Montrer que l’intégrale F2 est convergente pour tout x ∈ R.
3. Montrer que la fonction Γ est continue.
4. Montrer que la fonction Γ est dérivable et que sa dérivée est
Z +∞
0
Γ (x) =
e−t (ln t)tx−1 .
a
5. Montrer que pour tout x > 0 on a Γ(x+1) = xΓ(x) et en déduire que pour tout n ∈ N on a Γ(n+1) = n!.
Chapitre 8
Equations différentielles
8.1
Méthodes classiques d’intégration
8.2
Théorème de Cauchy-Lipshitz
8.3
Systèmes linéaires
8.4
Equations linéaires d’ordre n
26
Table des matières
1
Rappels sur l’intégration
1.1 Intégrale de Riemann des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Intégration des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3
2
Intégrales généralisées
2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . .
2.2 Intégrale sur un intervalle non borné . . . .
2.2.1 Fonctions positives . . . . . . . . .
2.2.2 Fonctions de signe quelconque . . .
2.3 Fonction non bornée sur un intervalle borné
2.3.1 Fonctions positives . . . . . . . . .
2.3.2 Fonctions de signe quelconque . . .
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4
4
4
5
6
6
7
7
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8
8
8
8
9
11
11
12
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14
14
14
15
15
16
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17
17
17
17
18
18
19
20
3
4
5
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Séries
3.1 Rappels sur les suites . . . . . . . . . . . . .
3.2 Séries dans R ou C . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Convergence et convergence absolue .
3.2.2 Séries à termes réels positifs . . . . .
3.2.3 Produit de Cauchy des séries . . . . .
3.2.4 Séries semi convergentes . . . . . . .
3.3 Séries dans les espaces normés . . . . . . . .
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Suites et séries de fonctions
4.1 Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . .
4.2 Convergence d’une série . . . . . . . . . . . .
4.3 Propriétés de la limite d’une suite de fonctions .
4.4 Propriétés de la somme d’une série de fonctions
4.5 La fonction ζ de Riemann . . . . . . . . . . .
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Séries entières
5.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Série dérivée d’une série entière . . . . . . . . . . .
5.4 Propriétés de la somme d’une série entière . . . . . .
5.5 Fonctions développables en séries entières . . . . . .
5.6 Développement en série entière des fonctions usuelles
5.7 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . .
27
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TABLE DES MATIÈRES
28
6
Séries de Fourier
6.1 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Convergence de la série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Fonctions T -périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
22
23
7
Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre
7.1 Convergence simple et convergence uniforme .
7.2 Continuité, intégration et dérivabilité . . . . . .
7.3 Convergence dominée . . . . . . . . . . . . . .
7.4 La fonction Γ d’Euler . . . . . . . . . . . . . .
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24
24
24
25
25
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26
26
26
26
26
8
Equations différentielles
8.1 Méthodes classiques d’intégration
8.2 Théorème de Cauchy-Lipshitz . .
8.3 Systèmes linéaires . . . . . . . . .
8.4 Equations linéaires d’ordre n . . .
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