Espaces métriques, espaces vectoriels normés
Tewfik Sari
L2 Math
i
Avertissement : ces notes sont la rédaction, progressive et provisoire, d’un résumé du cours d’espaces métriques de d’espaces vectoriels normés du L2 Math. Les étudiants sont invités à les
compléter en rédigeant soigneusement toutes les démonstrations.
Chapitre 1
Distances et normes
1.1
Définitions
Définition 1 Soit E un ensemble. On appelle distance sur E toute application
d : E 2 → R+ ,
telle que
(D1)
(D2)
(D3)
(x, y) 7→ d(x, y),
∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) = d(y, x).
∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
∀(x, y, z) ∈ E 3 , d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Un espace métrique est un couple (E, d) où E est un ensemble et d une distance sur E.
Proposition 1 Soit (E, d) un espace métrique. On a
(D3’) ∀(x, y, z) ∈ E 3 , d(x, y) ≥ |d(x, z) − d(y, z)|.
Exemple. Soit E un ensemble. L’application d : E 2 → R+ définie par
1 si x 6= y
d(x, y) =
0 si x = y
est une distance sur E, appelée la distance triviale.
Définition 2 Soit E un espace vectoriel sur K (K = R ou C). On appelle norme sur E toute application
k k : E → R+ ,
x 7→ kxk,
telle que
(N1) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, kλxk = |λ| kxk.
(N2) ∀x ∈ E, kxk = 0 ⇔ x = 0.
(N3) ∀(x, y) ∈ E 2 , kx + yk ≤ kxk + kyk.
Un espace vectoriel normé (EVN) est un couple (E, k k) où E est un espace vectoriel et k k une norme sur E.
Proposition 2 Soit (E, k k) un EVN. On a
(N3’) ∀(x, y) ∈ E 2 , kx − yk ≥ | kxk − kyk |.
Proposition 3 (Distance associée à une norme) Soit (E, k k) un EVN. L’application
d : E × E → R+ définie par d(x, y) = kx − yk,
est une distance sur E, appelée la distance associée à la norme k k. Elle vérifie, en plus des conditions (D1),
(D2) et (D3) de la définition 1, les propriétés suivantes :
(D4) ∀λ ∈ K, ∀(x, y) ∈ E 2 , d(λx, λy) = |λ|d(x, y).
(D5) ∀(x, y, z) ∈ E 3 , d(x + z, y + z) = d(x, y).
1
2
CHAPITRE 1. DISTANCES ET NORMES
Proposition 4 Soit (E, d) un espace métrique. On suppose que E est un espace vectoriel sur K et que la
distance d vérifie aussi les conditions (D4) et (D5) de la proposition 3. Alors l’application k k : E × E → R+
définie par kxk = d(0, x) est une norme sur E. La distance associée à cette norme est la distance d.
Remarque. La distance triviale d : R2 → R+ définie pour tous x et y dans R par d(x, y) = 1 si x 6= y et
d(x, x) = 0 n’est associée à aucune norme sur R car elle ne vérifie pas la condition (D4).
1.2
Exemples
Normes et distances usuelles sur Kn . Soit n ∈ N∗ . Les applications
k k1 , k k2 , k k∞ , : Kn → R+ ,
définies, pour tout x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Kn , par
kxk1 =
n
X
|xk |,
n
X
kxk2 =
k=1
!1
2
|xk |2
kxk∞ = max |xk |,
,
1≤k≤n
k=1
sont des normes sur Kn . Les distances associées à ces normes sont définies par
d1 (x, y) =
n
X
|xk − yk |,
d2 (x, y) =
n
X
!1
2
|xk − yk |2
d∞ (x, y) = max |xk − yk |.
,
1≤k≤n
k=1
k=1
La distance d1 est appelée la distance de Manhattan. La distance d2 est appelée la distance euclidienne usuelle
(si K = R). .
Normes de Hölder sur Kn . Soient n ∈ N∗ et p ∈ [1, +∞[. L’application
n
+
k kp : K → R ,
n
X
x = (x1 , · · · , xn ) 7→ kxkp =
!1
p
p
|xk |
,
k=1
est une norme sur Kn . Pour tout x ∈ Kn on a
lim kxkp = kxk∞ .
p→+∞
Norme usuelles sur C([a, b], K). Soient a et b des nombres réels tels que a < b. L’ensemble C([a, b], K) des
fonctions continues sur [a, b] à valeur dans K est un K-espace vectoriel. Les applications
k k1 , k k2 , k k∞ , : C([a, b], K) → R+ ,
définies, pour toute fonction continue f : [a, b] → K, par
Z
kf k1 =
b
Z
|f (x)|dx,
kf k2 =
a
b
12
|f (x)| dx
,
2
kf k∞ = sup |f (x)|,
a
x∈[a,b]
sont des normes sur C([a, b], K).
Normes de Hölder sur C([a, b], K). Soit p ∈ [1, +∞[. L’application
+
k kp : C([a, b], K) → R ,
Z
f 7→ kf kp =
a
est une norme sur C([a, b], K). Pour tout f ∈ C([a, b], K) on a
lim kf kp = kf k∞ .
p→+∞
b
p1
|f (x)| dx
,
p
3
CHAPITRE 1. DISTANCES ET NORMES
1.3
Suites dans un espace métrique
Soit (E, d) un espace métrique. Une suite dans E est une application
u : N → E,
n 7→ u(n) = un ,
que l’on note aussi (un )n∈N .
Définition 3 On dit qu’une suite (un )n∈N de E converge vers un élément l ∈ E, et on note lim un = l, si et
n→∞
seulement si la suite numérique d(un , l) converge vers 0. Ainsi
lim un = l ⇔ lim d(un , l) = 0 ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n ≥ N ⇒ d(un , l) ≤ ε).
n→∞
n→∞
Proposition 5 (Unicité de la limite) Si une suite de E converge vers les éléments l1 et l2 de E alors l1 = l2 .
Chapitre 2
Voisinages, ouverts, fermés
2.1
Boules et voisinages dans un espace métrique
Soit (E, d) un espace métrique.
Définition 4 Soient a ∈ E et r > 0. On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r la partie suivante de E
B(a, r) = {x ∈ E : d(a, x) < r}.
On appelle boule fermée de centre a et de rayon r la partie suivante de E
Bf (a, r) = {x ∈ E : d(a, x) ≤ r}.
On appelle sphère de centre a et de rayon r la partie suivante de E
S(a, r) = {x ∈ E : d(a, x) = r}.
Exemples. Les boules B1 (0, r), B2 (0, r) et B∞ (0, r) de centre 0 et de rayon r > 0 dans R2 , muni des distances
d1 , d2 et d∞ , sont représentées par :
0
@
6
@
@
@r-
6
'$
0
√r
6
0
r
&%
@
@
B1 (0, r)
B2 (0, r)
B∞ (0, r)
Définition 5 Soient a ∈ E et V ⊂ E. On dit que V est un voisinage de a s’il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ V .
On note par V(a) l’ensemble des voisinages de a.
Proposition 6 (Propriétés des voisinages) Soient a ∈ E et V un voisinage de a. Alors a ∈ V et toute partie de
E qui contient V est aussi un voisinage de a. Par ailleurs, pour tous voisinages V1 , ..., Vn de a, leur intersection
V1 ∩ · · · ∩ Vn est aussi un voisinage de a.
Proposition 7 (Séparation) Soient a ∈ E et b ∈ E tels que a 6= b. Alors il existe un voisinage U de a et un
voisinage V de b tels que U ∩ V = ∅. On dit qu’un espace métrique est séparé.
4
CHAPITRE 2. VOISINAGES, OUVERTS, FERMÉS
2.2
5
Ouverts et fermés dans un espace métrique
Soit (E, d) un espace métrique.
Définition 6 On dit qu’une partie U ⊂ E est un ouvert de E si U est un voisnage de chacun de ses points,
c’est à dire
U ouvert de E ⇔ ∀x ∈ U, U ∈ V(x) ⇔ ∀x ∈ U, ∃r > 0, B(x, r) ⊂ U.
On dit que U est un fermé de E si son complémentaire E \ U est un ouvert de E.
Exemples. Toute boule ouverte de E est un ouvert de E. En effet, pour tout x ∈ B(a, r) on a B(x, r −
d(a, x)) ⊂ B(a, r).
Toute boule fermée de E est un fermé de E. En effet, pour tout x ∈
/ B(a, r) on a B(x, d(a, x)−r) ⊂ E\B(a, r).
Proposition 8 (Propriétés des ouverts) Soit (E, d) un espace métrique.
(i) ∅ et E sont des ouverts de E.
(ii) Toute réunion d’ouverts de E est un ouvert de E.
(iii) Toute intersection finie d’ouverts de E est un ouvert de E.
Proposition 9 (Propriétés des fermés) Soit (E, d) un espace métrique.
(i) ∅ et E sont des fermés de E.
(ii) Toute intersection de fermés de E est un fermé de E.
(iii) Toute réunion finie de fermés de E est un fermé de E.
L’ensemble O = {U ⊂ E : U ouvert de E} des ouverts d’un espace métrique (E, d) est appelé la topologie
de (E, d). Soit (E, k k) un EVN. Soit d la distance associée à la norme k k. La topologie de l’espace métrique
(E, d) est appelée aussi la topologie de l’ EVN (E, k k).
2.3
Normes équivalentes
Définition 7 Soit E un K-espace vectoriel. Soient k k et k k0 deux normes sur E. On dit que k k et k k0 sont
équivalentes et on note k k ∼ k k0 , si et seulement si il existe des constantes α > 0 et β > 0 telles que pour
tout x ∈ E on ait
αkxk ≤ kxk0 ≤ βkxk.
Proposition 10 La relation k k ∼ k k0 est une relation d’équivalence (c’est à dire une relation réflexive,
symétrique et transitive) sur l’ensemble des normes sur E.
Exemple. Les normes usuelles sur Kn sont équivalentes car pour tout x ∈ Kn on a
√
kxk∞ ≤ kxk1 ≤ nkxk∞ ,
kxk∞ ≤ kxk2 ≤ nkxk∞
Remarque. Deux normes k k et k k0 sont équivalentes sur E si et seulement si les ensembles de nombres réels
{
kxk
kxk0
:
x
∈
E
\
{0}},
et
{
: x ∈ E \ {0}},
kxk0
kxk
sont bornés. Par conséquent, s’il existe une suite (xn )n∈N dans E \ {0} telle que
kxn k0
kxn k0
= 0 ou lim
= +∞,
n→∞ kxn k
n→∞ kxn k
lim
alors les normes k k et k k0 ne sont pas équivalentes.
6
CHAPITRE 2. VOISINAGES, OUVERTS, FERMÉS
Exemple. Les normes k k1 et k k∞ sur C([0, 1], R) ne sont pas équivalentes. En effet, soit (fn )n≥1 la suite dans
C([0, 1], R) définie par
n(1 − nx) si x ∈ [0, n1 ]
fn (x) =
0
si x ∈] n1 , 1]
On a kfn k1 =
1
2
et kfn k∞ = n. Par conséquent
lim
n→∞
kfn k∞
= +∞.
kfn k
Proposition 11 Soit E un K-espace vectoriel. Soient k k et k k0 deux normes sur E. Alors toute suite qui
converge vers 0 dans (E, k k), converge aussi vers 0 dans (E, k k0 ), si et seulement si il existe α > 0 tel que
pour tout x ∈ E on ait kxk0 ≤ αkxk.
Par conséquent deux normes ont les mêmes suites convergentes vers 0 si et seulement si elles sont équivalentes.
Théorème 1 Soit E un K-espace vectoriel. Soient k k et k k0 deux normes sur E. Soient O et O0 les topologies
des EVN (E, k k) et (E, k k0 ). On a
k k ∼ k k0 ⇔ O = O 0 .
2.4
Intérieur, adhérence
Soit (E, d) un espace métrique. Soit A ⊂ E.
Définition 8 1. On appelle intérieur de A, et on note A◦ , la réunion des parties ouvertes de E incluses dans
A. Les éléments de A◦ sont appelés les points intérieurs à A.
2. On appelle adhérence de A, et on note A, l’intersection des parties fermées de E contenant A. Les éléments
de A sont appelés les points adhérents à A.
3. On appelle frontière de A, et on note Fr(A), la partie Fr(A) = A \ A◦ . Les éléments de Fr(A) sont appelés
les points frontière de A.
Comme A◦ est une réunion d’ouverts, c’est un ouvert. En réalité, A◦ est le plus grand (au sens de l’inclusion)
ouvert contenu dans A. Comme A est une intersection de fermés, c’est un fermé. En réalité, A est le plus petit
(au sens de l’inclusion) fermé contenant A. Comme Fr(A) est une intersection de deux fermés (montrer le !)
c’est un fermé.
Théorème 2 Pour toute partie A de E et tout x ∈ E on a
E \ A◦ = E \ A,
E \ A = (E \ A)◦ .
A ouvert ⇔ A = A◦ ,
A fermé ⇔ A = A.
x ∈ A◦ ⇔ A est un voisinage de x.
x ∈ A ⇔ Tout voisinage de x rencontre A.
Proposition 12 Pour toutes parties A et B de E on a
A = A,
A ⊂ B ⇒ A ⊂ B,
(A◦ )◦ = A◦ .
A ⊂ B ⇒ A◦ ⊂ B ◦ .
A ∪ B = A ∪ B,
(A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦
A ∩ B ⊂ A ∩ B,
(A ∪ B)◦ ⊃ A◦ ∪ B ◦
Proposition 13 (Caractérisation de l’adhérence en termes de suites) Soit (E, d) un espace métrique. Soit
x ∈ E et A ⊂ E. Pour que x ∈ A il faut et il suffit qu’il existe une suite d’éléments de A qui converge vers x.
7
CHAPITRE 2. VOISINAGES, OUVERTS, FERMÉS
Exemple Dans un EVN, l’adhérence d’une boule ouverte de rayon non nul est la boule fermée de même rayon.
De même l’intérieur d’une boule fermée est la boule ouverte de même rayon. On a donc :
B(a, r) = Bf (a, r),
et
Bf (a, r)◦ = B(a, r)
Cette propriété est fausse en général dans un espace métrique quelconque (donner un contre exemple).
Théorème 3 Soit (E, d) un espace métrique. Soit A ⊂ E. Pour que la partie A soit fermée il faut et il suffit
que pour toute suite convergente d’éléments de A, la limite appartienne à A.
Chapitre 3
Suites, limites, continuité
3.1
Suites
3.1.1
Convergence
Soit (E, k k) EVN. Soit (un ) une suite dans E. Rappelons (voir Section 1.3) la notion de convergence.
Définition 9 On dit qu’une suite (un )n∈N de E converge vers un élément l ∈ E, et on note lim un = l, si et
n→∞
seulement si la suite numérique kun − lk converge vers 0. Ainsi
lim un = l ⇔ lim kun − lk = 0 ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n ≥ N ⇒ kun − lk ≤ ε).
n→∞
n→∞
Proposition 14 (Unicité de la limite) Si une suite de E converge vers les éléments l1 et l2 de E alors l1 = l2 .
Soient (E1 , k k1 ) et (E2 , k k2 ) deux EVN. L’application
k k : E1 × E2 → R+ , définie par kxk = max(kx1 k1 , kx2 k2 )
pour tout x = (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 , est une norme sur E1 × E2 . L’espace (E1 × E2 , k k) est appelé l’EVN
produit des EVN (E1 , k k1 ) et (E2 , k k2 ).
Proposition 15 (Suites à valeur dans un produit) Soit (un ) = (u1,n , u2,n ) une suite dans (E1 × E2 , k k).
Soit l = (l1 , l2 ) ∈ E1 × E2 . Alors
lim un = l ⇔ lim u1,n = l1 et lim u2,n = l2 .
n→∞
n→∞
n→∞
Proposition 16 (Propriétés des suites convergentes) Soit (E, k k) un EVN. Soient (un ), (vn ) deux suites dans
E. Soit (λn ) une suite dans K. Alors
1. lim un = l ⇒ lim kun k = klk
n→∞
n→∞
2. lim un et lim vn existent ⇒ lim (un + vn ) = lim un + lim vn .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
3. lim λn et lim un existent ⇒ lim (λn un ) = lim λn lim un .
n→∞
3.1.2
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Valeurs d’adhérence, points d’accumulation
Soit (E, d) espace métrique. Soit (xn ) une suite dans E.
Définition 10 On appelle suite extraite (ou sous-suite) de la suite (xn ) toute suite de la forme (xσ(n) ) avec
σ : N → N,
n 7→ σ(n)
strictement croissante. On dit que a est une valeur d’adhérence de la suite (xn ) et on note a ∈ V A(xn ) si et
seulement si a = limn→+∞ xσ(n) , où (xσ(n) ) est une suite extraite de la suite (xn ).
8
9
CHAPITRE 3. SUITES, LIMITES, CONTINUITÉ
Proposition 17 Soit (E, d) un espace métrique. Soit (xn ) une suite dans E. Soit a ∈ E. Alors
a ∈ V A(xn ) ⇐⇒ ∀ε > 0 ∀N ∃n ∈ N (n ≥ N &d(un , a) < ε).
Définition 11 Soit (E, d) un espace métrique. Soit A ⊂ E. Soit a ∈ E. On dit que a est un point d’accumulation de A si et seulement si tout voisinage de a rencontre A en un point différent de a. On note par A0
l’ensemble des points d’accumulation de A. Ainsi on a
a ∈ A0 ⇐⇒ ∀V ∈ V(a) V ∩ (A r {a}) 6= ∅.
Proposition 18 Soit (E, d) un espace métrique. Soit A ⊂ E. Soit a ∈ E. Alors
a ∈ A0 ⇐⇒ Il existe xn ∈ A r {a} tel que a = lim xn .
n→+∞
Exercice Soit A ⊂ E. On dit que a ∈ A est un point isolé de A si et seulement si il existe r > 0 tel que
B(x, r) ∩ A = {a}. On note A∗ l’ensemble des points isolés de A. Montrer que
A∗ ∪ A0 = A
3.2
A∗ ∩ A0 = ∅.
et
Limites, continuité
Soient (E, dE ) et (F, dF ) des espaces métriques. Soit X ⊂ E. Soit
f : X → F,
x 7→ f (x),
une fonction de X dans F .
3.2.1
Notion de limite
Définition 12 Soient a ∈ X et l ∈ F . On dit que la fonction f tend vers l quand x tend vers a et on note
lim f (x) = l si et seulement si pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel que pour tout x ∈ X la condition
x→a
dE (x, a) < η implique dF (f (x), l) < ε. Ainsi
lim f (x) = l ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ X (dE (x, a) < η ⇒ dF (f (x), l) < ε) .
x→a
En d’autres termes on a aussi
lim f (x) = l ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃η > 0 f (BE (a, η) ∩ X) ⊂ BF (l, ε).
x→a
Remarque Considérons la fonction g : X → R définie par g(x) = dF (f (x), l). D’après la définition
précédente
lim g(x) = 0 ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ X (dE (x, a) < η ⇒ dR (g(x), 0) < ε) .
x→a
Comme g(x) ≥ 0 on a dR (g(x), 0) = g(x). Par conséquent on a
lim f (x) = l ⇐⇒ lim dF (f (x), l) = 0
x→a
x→a
Proposition 19 (Caractérisation de la limite en termes de voisinages) On a
lim f (x) = l ⇐⇒ ∀V ∈ VF (l) ∃U ∈ VE (a) f (U ∩ X) ⊂ V.
x→a
Théorème 4 (Caractérisation de la limite avec les suites) On a
lim f (x) = l ⇐⇒ Pour toute suite xn dans X lim xn = a ⇒ lim f (xn ) = l .
x→a
n→∞
n→∞
10
CHAPITRE 3. SUITES, LIMITES, CONTINUITÉ
Soient (F1 , d1 ) et (F2 , d2 ) deux espaces métriques. L’application
d : (F1 × F2 )2 → R+ , définie par d(x, y) = max(d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 ))
pour tout x = (x1 , x2 ) et y = (y1 , y2 ) dans F1 × F2 , est une distance sur F1 × F2 . L’espace (F1 × F2 , d) est
appelé l’espace métrique produit des espaces métriques (F1 , d1 ) et (F2 , d2 ).
Proposition 20 (Fonctions à valeurs dans un produit) Soit f = (f1 , f2 ) une fonction
f : X → F1 × F2 ,
x 7→ f (x) = (f1 (x), f2 (x)).
Soit l = (l1 , l2 ) ∈ F1 × F2 . Alors
lim f (x) = l ⇔ lim f1 (x) = l1 et lim f2 (x) = l2 .
x→a
x→a
x→a
Théorème 5 (Encadrement des limites) Soit X une partie d’un espace métrique (E, d). Soient f, g, h : X →
R telles que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) pour tout x ∈ X ∩ V , avec V ∈ VE (a), a ∈ X. Alors
lim f (x) = lim h(x) = l =⇒ lim g(x) = l.
x→a
x→a
x→a
Théorème 6 (Composition des fonctions) Soient E, F et G des espaces métriques. Soit f : X ⊂ E → F et
g : Y ⊂ F → G telles que f (X) ⊂ Y . Soient a ∈ X, b ∈ Y et l ∈ G. Alors on a
lim f (x) = b et lim g(y) = l =⇒ lim g ◦ f (x) = l.
x→a
x→a
y→b
Pour démontrer ce résultat on va utiliser la caractérisation de la limite en termes de voisinages (Proposition
19). Soit V ∈ VG (l). Comme limy→b g(y) = l, il existe W ∈ VF (b) tel que g (W ∩ Y ) ⊂ V . Comme
limx→a f (x) = b, il existe U ∈ VE (a) tel que f (U ∩ X) ⊂ W . On a aussi f (U ∩ X) ⊂ f (X) ⊂ Y , donc
f (U ∩ X) ⊂ W ∩ Y . Par conséquent g ◦ f (U ∩ X) ⊂ g (W ∩ Y ) ⊂ V .
Proposition 21 (Propriétés des limites des fonctions à valeurs dans un EVN) Soit (E, d) un espace métrique. Soit (F, k k) un EVN. Soient f, g : X ⊂ E → F des fonctions. Alors
1. lim f (x) = l ⇒ lim kf (x)k = klk
x→a
x→a
2. lim f (x) et lim g(x) existent ⇒ lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x).
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
3. lim f (x) existe ⇒ lim λf (x) = λ lim f (x).
x→a
3.2.2
x→a
x→a
Continuité en un point
Définition 13 Soit a ∈ X. On dit que la fonction f est continue en a si et seulement si f (x) tend vers f (a)
quand x tend vers a. Ainsi
f continue en a ⇔
lim f (x) = f (a)
x→a
⇔ ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ X (dE (x, a) < η ⇒ dF (f (x), f (a)) < ε) .
En d’autres termes on a aussi
f continue en a ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃η > 0 f (BE (a, η) ∩ X) ⊂ BF (f (a), ε).
Proposition 22 (Caractérisation de la continuité en termes de voisinages) On a
f continue en a ⇐⇒ ∀V ∈ VF (f (a)) ∃U ∈ VE (a) f (U ∩ X) ⊂ V.
Théorème 7 (Caractérisation de la continuité avec les suites) On a
f continue en a ⇐⇒ Pour toute suite xn dans X lim xn = a ⇒ lim f (xn ) = f (a) .
n→∞
n→∞
11
CHAPITRE 3. SUITES, LIMITES, CONTINUITÉ
Proposition 23 (Fonctions à valeur dans un produit) Soit f = (f1 , f2 ) une fonction
f : X → F1 × F2 ,
x 7→ f (x) = (f1 (x), f2 (x)).
Alors
f continue en a ⇔ f1 et f2 sont continues en a.
Théorème 8 (Composition des fonctions) Soient E, F et G des espaces métriques. Soient f : X ⊂ E → F
et g : Y ⊂ F → G telles que f (X) ⊂ Y . Si f est continue en a ∈ X, et si g est continue en b = f (a) ∈ Y
alors g ◦ f est continue en a.
Proposition 24 Soit (E, d) un espace métrique. Soit (F, k k) un EVN. Soient f, g : X ⊂ E → F des fonctions.
Alors
1. f continue en a ⇒ kf k continue en a
2. f et g continues en a ⇒ f + g continue en a.
3. f continue en a ⇒ λf continue en a.
3.2.3
Continuité sur un ensemble, continuité uniforme
Définition 14 On dit que la fonction f : X ⊂ E → F est continue sur X si et seulement si f est continue en
tout point x ∈ X. On note par C(X, F ) l’ensemble des fonctions continues de X dans F .
Proposition 25 Soit f : E → F . Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
1. f est continue sur X.
2. L’image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E.
3. L’image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E.
Remarque L’image directe d’une partie ouverte [resp. fermée] par une application continue peut ne pas être
ouverte [resp. fermée]. Donner des exemples.
Bien entendu, lorsque l’ensemble d’arrivée F est un EVN sur K, d’après la proposition 24, on obtient que
la somme de deux fonctions continues de X dans F est une fonction continue de X dans F , et le produit d’une
fonction continue par un scalaire est une fonction continue. Par conséquent l’ensemble C(X, F ) est un espace
vectoriel sur K.
La continuité d’une fonction sur un ensemble X se traduit par la propriété
f continue sur X ⇔ ∀x ∈ X f continue en a
⇔ ∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀y ∈ X (dE (x, y) < η ⇒ dF (f (x), f (y)) < ε) .
Le nombre η > 0 dont l’existence est affirmée ici dépend en général de ε mais aussi de x. Lorsqu’il ne dépend
pas de x ∈ X, on dit que la continuité est uniforme sur X. On pose alors la définition
Définition 15 On dit que la fonction f : X ⊂ E → F est uniformément continue sur X si et seulement si :
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ X ∀y ∈ X (dE (x, y) < η ⇒ dF (f (x), f (y)) < ε) .
Proposition 26 Si f est uniformément continue sur X alors f est continue sur X.
La réciproque est fausse. En effet, la fonction x → x2 est continue sur R. Soit η > 0. Posons x =
y = η1 + η2 . Alors |x − y| < η et
η2
|x2 − y 2 | = 1 +
> 1.
4
On a montré que
1
1 η
∃ε = 1 ∀η > 0 ∃x = ∃y = +
|x − y| < η et |x2 − y 2 | ≥ ε ,
η
η 2
1
η
et
ce qui montre que x → x2 n’est pas uniformément continue.
Proposition 27 (Composition des fonctions) Soient E, F et G des espaces métriques. Soient f : X ⊂ E →
F et g : Y ⊂ F → G telles que f (X) ⊂ Y . Si f est uniformément continue sur X, et si g est uniformément
continue sur Y alors g ◦ f est uniformément continue sur X.
12
CHAPITRE 3. SUITES, LIMITES, CONTINUITÉ
3.2.4
Homéomorphismes, isométries
Soient (E, dE ) et (F, dF ) des espaces métriques. Soient X ⊂ E et Y ⊂ F .
Définition 16 On dit que f : X → Y est un homéomorphisme si f est bijective et si f est continue sur X et
f −1 est continue sur Y . On dit que X est homéomorphe à Y s’il existe un homéomorphisme f : X → Y .
Proposition 28 Si f : X → Y est un homéomorphisme alors f −1 : Y → X est un homemorphisme. Si
f : X → Y et g : Y → Z sont des homéomorphismes alors g ◦ f : X → Z est un homéomorphisme.
L’application identité IdX : X → X est un homéomorphisme.
Par conséquent, la relation “être homéomorphe” est une relation d’équivalence. On déduit de cette proposition
que l’ensemble des homéomorphismes de X sur lui même est un groupe pour la composition des applications.
On a le résultat suivant, dont la démonstration est difficile
Théorème 9 (Brouwer) Soient X un ouvert de Rn et Y un ouvert de Rm , munis de leurs topologies usuelles.
Si X est homéomorphe à Y alors n = m.
Définition 17 On dit que f : X → Y est une isométrie si f est bijective et si pour tous x et y dans X on a
dF (f (x), f (y)) = dE (x, y).
Proposition 29 Si f : X → Y est une isométrie f −1 : Y → X est une isométrie. Si f : X → Y et g : Y → Z
sont des isométries alors g ◦ f : X → Z est une isométrie. L’application identité IdX : X → X est une
isométrie.
On déduit de cette proposition que l’ensemble des isométries de X sur lui même est un groupe pour la composition des applications. Toute isométrie est un homémorphisme, mais la réciproque est fausse (donner un
exemple).
3.3
3.3.1
Applications linéaires
Continuité d’une application linéaire
Soient (E, k kE ) et (F, k kF ) des EVN sur K. Soit
f : E → F,
x 7→ f (x),
une application linéaire de E dans F .
Théorème 10 Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. f est continue en 0 ∈ E
2. ∃M > 0 ∀x ∈ E kf (x)kF ≤ M kxkE .
3. f est continue sur E.
Montrons que 1 ⇒ 2. Comme f est continue en 0, il existe η > 0 tel que
∀u ∈ E (kukE ≤ η ⇒ kf (u)kF ≤ 1) .
η
η
Soit x ∈ E r {0}. Soit u = kxk
x. Comme kukE = η, on a kf (u)kF ≤ 1. Or, par linéarité f (u) = kxk
f (x).
E
E
1
1
Donc kf (x)kF ≤ η kxkE . Ainsi M = η convient.
ε
Montrons que 2 ⇒ 3. Soit ε > 0 et soit η = M
. Alors, pour tous x et y dans E, par linéarité, on a :
kx − ykE ≤ η ⇒ kf (x) − f (y)kF = kf (x − y)kF ≤ M kx − ykE ≤ M η = ε.
Par conséquent f est uniformément continue (et donc continue) sur E.
Montrons que 3 ⇒ 1. Comme f est continue sur E elle est continue en tout point de E et en particulier en
0 ∈ E.
CHAPITRE 3. SUITES, LIMITES, CONTINUITÉ
3.3.2
13
Norme d’une application linéaire
On note par L(E, F ) l’ensemble des applications linéaires continues de E dans F . D’après la proposition 24, l’ensemble C(X, F ) est un espace vectoriel sur K. Nous allons définir une norme sur cet espace. Soit
f ∈ L(E, F ). D’après la condition 2 du théorème précédent, la partie de R définie par
kf (x)kF
: x ∈ E r {0}
kxkE
est majorée. Donc elle admet une borne supérieure notée
kf k =
kf (x)kF
.
x∈Er{0} kxkE
sup
On définit ainsi (montrer le) une norme sur L(E, F ) appelée norme subordonnée aux normes k kE et k kF .
Proposition 30 Soit E un K-espace vectoriel. Soient k k et k k0 deux normes sur E. Soient O et O0 les topologies (c’est à dire l’ensemble des ouverts) des EVN (E, k k) et (E, k k0 ). Les propriétés suivantes sont
équivalentes :
1. k k ∼ k k0
2. O = O0
3. IdE : (E, k k) → (E, k k0 ) et IdE : (E, k k0 ) → (E, k k) sont continues.
Pour la démonstration, on sait déjà (voir Théorème 1) que 1 ⇔ 2. Montrons que 1 ⇔ 3. Puisque IdE est
une application linéaire de E dans E, d’après le théorème 10, la continuité des applications IdE : (E, k k) →
(E, k k0 ) et IdE : (E, k k0 ) → (E, k k) équivaut à l’existence de deux constantes M > 0 et L > 0 telles que
pour tout x dans E on ait kxk0 ≤ M kxk et kxk ≤ Lkxk0 . Par conséquent, on a
∃α =
1
∃β = M ∀x ∈ E αkxk ≤ kxk0 ≤ βkxk ⇐⇒ k k ∼ k k0 .
L
Exercice Soient E, F et G des EVN. Soient f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G). Montrer que g ◦ f ∈ L(E, G) et
kg ◦ f k ≤ kgk kf k.
Chapitre 4
Suites de fonctions
4.1
Fonctions à valeurs réelles
Soit fn : X → R une suite de fonctions définies sur un ensemble X, à valeurs dans R.
Définition 18 On dit que la suite (fn ) converge simplement sur X, si pour tout x ∈ X, la suite de nombres
réels (f (xn )) converge. On pose alors f (x) = lim fn (x) et on dit que la fonction f : X → R est la limite
n→∞
simple de la suite (fn ), ce que l’on note fn → f . Par conséquent on a
fn → f ⇐⇒ ∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃N ∀n ∈ N (n > N ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε).
Définition 19 On dit que la suite (fn ) converge uniformément sur X vers la fonction f : X → R, ce que l’on
UNIF
note fn → f , si la suite µn = sup |fn (x) − f (x)| tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Par conséquent on
a
x∈X
UNIF
fn → f ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N ∀x ∈ X ∀n ∈ N (n > N ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε)
UNIF
Proposition 31 fn → f =⇒ fn → f .
La réciproque est fausse. En effet la suite de fonctions fn (x) = xn converge simplement sur X = [0, 1[ vers la
fonction f (x) = 0. La convergence n’est pas uniforme car
sup |fn (x) − f (x)| = sup xn = 1.
x∈X
x∈[0,1[
Remarque Pour démontrer la convergence uniforme, il suffit de trouver une suite αn qui tend vers 0 quand n
tend vers l’infini et telle que ∀x ∈ X |fn (x) − f (x)| ≤ αn .
UNIF
Proposition 32 fn → f ⇐⇒ pour toute suite (xn ) dans X on a lim |fn (xn ) − f (xn )| = 0.
n→∞
4.2
Fonctions à valeurs dans un espace métrique
Soit fn : X → E une suite de fonctions définies sur un ensemble X, à valeurs dans un espace métrique
(E, d).
Définition 20 On dit que la suite (fn ) converge simplement sur X, si pour tout x ∈ X, la suite (f (xn )) de E
converge. On pose alors f (x) = lim fn (x) et on dit que la fonction f : X → E est la limite simple de la suite
n→∞
(fn ), ce que l’on note fn → f . Par conséquent on a
fn → f ⇐⇒ ∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃N ∀n ∈ N (n > N ⇒ d(fn (x), f (x)) < ε).
14
15
CHAPITRE 4. SUITES DE FONCTIONS
Définition 21 On dit que la suite (fn ) converge uniformément sur X vers la fonction f : X → E, ce que l’on
UNIF
note fn → f , si la suite µn = sup d(fn (x), f (x)) tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Par conséquent on
x∈X
a
UNIF
fn → f ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N ∀x ∈ X ∀n ∈ N (n > N ⇒ d(fn (x), f (x)) < ε)
UNIF
Proposition 33 fn → f =⇒ fn → f .
UNIF
Proposition 34 fn → f ⇐⇒ pour toute suite (xn ) dans X on a lim d(fn (xn ), f (xn )) = 0.
n→∞
4.3
4.3.1
Critère de Cauchy
Suites de Cauchy dans R ou C
Définition 22 Une suite (un ) de nombres réels ou complexes est dite une suite de Cauchy si et seulement si
∀ε > 0 ∃N ∀p ∈ N ∀q ∈ N (p > N et q > N ⇒ |up − uq | < ε)
Proposition 35 Une suite de nombres réels ou complexes est convergente si et seulement si c’est une suite de
Cauchy.
Remarque Cette propriété est fausse dans Q : il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels qui ne
converge
n pas dans Q, c’est à dire que la limite de la suite n’est pas rationnelle. Par exemple la suite un =
1 + n1 de nombre rationnels est une suite de Cauchy, car elle converge vers e ∈ R, mais le nombre réel e
n’est pas rationnel.
Définition 23 Soit fn : X → R une suite de fonctions.
1. On dit que la suite (fn ) est de Cauchy sur X, si pour tout x ∈ X, la suite de nombres réels (f (xn )) est une
suite de Cauchy, c’est à dire
∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃N ∀p ∈ N ∀q ∈ N (p > N et q > N ⇒ |fp (x) − fq (x)| < ε).
2. On dit que la suite (fn ) est uniformément de Cauchy sur X si
∀ε > 0 ∃N ∀x ∈ X ∀p ∈ N ∀q ∈ N (p > N et q > N ⇒ |fp (x) − fq (x)| < ε)
De la proposition 35 on déduit le :
Théorème 11 Soit fn : X → R une suite de fonctions. Alors
(fn ) converge simplement sur X ⇐⇒ La suite (fn ) est de Cauchy sur X.
On a aussi le
Théorème 12 Soit fn : X → R une suite de fonctions. Alors
(fn ) converge uniformément sur X ⇐⇒ La suite (fn ) est uniformément de Cauchy sur X .
UNIF
Pour la démonstration, supposons d’abord que fn → f . Soit ε > 0. Alors il existe N tel que pour tout x ∈ X
et pour tout n ∈ N on ait
ε
n > N ⇒ |fn (x) − f (x)| < .
2
Par conséquent pour tous entiers p et q on a
p > N et q > N ⇒ |fp (x) − fq (x)| ≤ |fp (x) − f (x)| + |f (x) − fq (x)| <
ε ε
+ = ε.
2 2
16
CHAPITRE 4. SUITES DE FONCTIONS
Réciproquement supposons que la suite (fn ) est uniformément de Cauchy. Alors pour tout x ∈ X la suite de
nombres réels (fn (x)) est de Cauchy. D’après la proposition 35 elle converge vers une limite que l’on note
f (x). En faisant tendre q vers l’infini dans
∀ε > 0 ∃N ∀x ∈ X ∀p ∈ N ∀q ∈ N (p > N et q > N ⇒ |fp (x) − fq (x)| < ε),
on obtient alors
∀ε > 0 ∃N ∀x ∈ X ∀p ∈ N (p > N ⇒ |fp (x) − f (x)| ≤ ε).
UNIF
Donc fn → f .
4.3.2
Espaces métriques complets
Soit (E, d) un espace métrique.
Définition 24 Une suite (un ) dans E est dite une suite de Cauchy si et seulement si
∀ε > 0 ∃N ∀p ∈ N ∀q ∈ N (p > N et q > N ⇒ d(up , uq ) < ε)
Proposition 36 Toute suite convergente dans (E, d) est une suite de Cauchy dans (E, d).
La réciproque est fausse dans (Q, | |) comme nous l’avons déjà remarqué. Ceci justifie la définition suivante
Définition 25 Un espace métrique (E, d) est dit complet si et seulement si toute suite de Cauchy dans (E, d)
est une suite convergente dans (E, d).
Exemple (R, | |) et (C, | |) sont complets. (Q, | |) n’est pas complet.
Définition 26 Soit fn : X → E une suite de fonctions.
1. On dit que la suite (fn ) est de Cauchy sur X, si pour tout x ∈ X, la suite (f (xn )) de E est une suite de
Cauchy, c’est à dire
∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃N ∀p ∈ N ∀q ∈ N (p > N et q > N ⇒ d(fp (x), fq (x)) < ε).
2. On dit que la suite (fn ) est uniformément de Cauchy sur X si
∀ε > 0 ∃N ∀x ∈ X ∀p ∈ N ∀q ∈ N (p > N et q > N ⇒ d(fp (x), fq (x)) < ε).
On a le
Théorème 13 Soit fn : X → E une suite de fonctions, avec (E, d) un espace métrique complet. Alors
(fn ) converge simplement sur X ⇐⇒ La suite (fn ) est de Cauchy sur X.
(fn ) converge uniformémentsur X ⇐⇒ La suite (fn ) est uniformément de Cauchy sur X.
4.4
Norme de la convergence uniforme
Soit (E, k k) un EVN sur K. Soit B(X, E) le K-espace vectoriel des fonctions bornées f : X → E définies
sur un ensemble X et prenant leurs valeurs dans E. Montrer que
kf k∞ = sup kf (x)k
x∈X
est une norme sur B(X, E). On a les résultats suivants
Proposition 37 Soit fn : X → E une suite de fonctions. Alors
(fn ) converge uniformément sur X ⇐⇒ (fn ) converge dans (B(X, E), k k∞ ).
(fn ) uniformément de Cauchy sur X ⇐⇒ (fn ) de Cauchy dans (B(X, E), k k∞ ).
Théorème 14 Si (E, k k) est complet alors (B(X, E), k k∞ ) est complet.
17
CHAPITRE 4. SUITES DE FONCTIONS
4.5
Propriétés des limites de suites
4.5.1
Continuité
Soit (fn ) une suite de fonctions fn : X → F définies sur X ⊂ E à valeurs dans F , avec (E, dE ) et (F, dF )
des espaces métriques. Soit x0 ∈ X. On a le
UNIF
Théorème 15 (Continuité de la limite) Si les fonctions fn sont continues en x0 et si fn → f alors la limite
f est continue en x0 .
Le résultat est faux si la convergence n’est pas uniforme. Par exemple, la suite fn (x) = xn définie sur X = [0, 1]
converge vers la fonction discontinue f , définie par f (x) = 0 si x ∈ [0, 1[ et f (1) = 1.
UNIF
Pour la démonstration il suffit de “couper les ε en trois”. En effet, soit ε > 0. Comme fn → f , il existe n0
tel que
ε
∀x ∈ X ∀n ∈ N n > n0 ⇒ dF (fn (x), f (x)) <
.
3
Fixons un entier n > n0 . Comme fn est continue en x0 , il existe δ > 0 tel que
ε
∀x ∈ X dE (x, x0 ) < δ ⇒ dF (fn (x), fn (x0 )) <
.
3
Par conséquent pour tout x ∈ X, si dE (x, x0 ) < δ, alors
dF (f (x), f (x0 )) ≤ dF (f (x), fn (x)) + dF (fn (x), fn (x0 )) + dF (fn (x0 ), f (x0 )) <
ε ε ε
+ + = ε.
3 3 3
On a démontré que
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X(dE (x, x0 ) < δ ⇒ dF (f (x), f (x0 )) < ε),
c’est à dire que f est continue en x0 .
Théorème 16 (Inversion des limites) Supposons que (F, dF ) soit un espace métrique complet. Soit a ∈ X. Si
UNIF
les limites lim fn (x) = ln existent et si fn → f alors la limite l = lim ln existe et on a lim f (x) = l. En
x→a
x→a
n→+∞
d’autres termes on a
lim
x→a
lim fn (x) = lim
lim fn (x) .
n→+∞
n→+∞
x→a
Pour la démonstration : comme la suite fn est uniformément de Cauchy on a
∀ε > 0 ∃N ∀x ∈ X ∀p ∈ N ∀q ∈ N (p > N et q > N ⇒ dF (fp (x), fq (x)) < ε).
En faisant tendre x vers a on obtient
∀ε > 0 ∃N ∀p ∈ N ∀q ∈ N (p > N et q > N ⇒ dF (lp , lq ) ≤ ε).
Par conséquent la suite (ln ) est de Cauchy dans F . Comme F est complet, elle converge vers l ∈ F . Soit ε > 0.
UNIF
Comme fn → f , il existe n0 tel que
∀x ∈ X ∀n ∈ N
n > n0 ⇒ dF (fn (x), f (x)) <
ε
.
3
Comme ln → l, il existe n1 tel que
∀n ∈ N
n > n1 ⇒ dF (ln , l) <
ε
.
3
Fixons un entier n > max(n0 , n1 ). Comme lim fn (x) = ln , il existe δ > 0 tel que
x→a
∀x ∈ X dE (x, a) < δ ⇒ dF (fn (x), ln ) <
ε
.
3
18
CHAPITRE 4. SUITES DE FONCTIONS
Par conséquent pour tout x ∈ X, si dE (x, a) < δ, alors
dF (f (x), l) ≤ dF (f (x), fn (x)) + dF (fn (x), ln )) + dF (ln , l) <
ε ε ε
+ + = ε.
3 3 3
On a démontré que
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ X(dE (x, a) < δ ⇒ dF (f (x), l) < ε),
c’est à dire que lim f (x) = l.
x→a
Exercice Soit (fn ) une suite de fonctions fn :]a, +∞[→ R. On suppose que les limites lim fn (x) = ln
x→+∞
UNIF
existent et que fn → f . Montrer que la limite l = lim ln existe et que l’on a lim f (x) = l. En d’autres
n→+∞
x→+∞
termes on a
lim
lim fn (x) = lim
lim fn (x) .
x→+∞
4.5.2
n→+∞
n→+∞
x→+∞
Intégration
Soit (fn ) une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On a le
UNIF
Théorème 17 (Intégration de la limite) Supposons que les fn soient continues sur [a, b] et fn → f alors
Z b
Z b
f (x)dx = lim
fn (x)dx. En d’autres termes on a
a
n→+∞ a
Z b
a
Z b
lim fn (x) dx = lim
fn (x)dx .
n→+∞
n→+∞
a
Comme les fn sont continues sur [a, b], par le théorème 15 la limite f est continue sur [a, b]. Donc l’intégrale
Rb
a f (x)dx existe. On a
Z b
Z b
≤
[f
(x)
−
f
(x)]
dx
|fn (x) − f (x)| dx ≤ µn (b − a),
n
a
a
UNIF
où µn = sup |fn (x) − f (x)|. Or fn → f , donc µn → 0. Par conséquent
x∈[a,b]
Z b
Z b
Z b
→ 0.
f
(x)dx
−
f
(x)dx
=
[f
(x)
−
f
(x)]
dx
n
n
a
a
a
Le théorème 17 reste vrai si l’hypothèse fn continues sur [a, b] est remplacée par l’hypothèse fn continue
par morceaux sur [a, b]. Pour s’assurer que l’intégrale de la limite ait un sens, on peut exiger que la limite f est
aussi continue par morceaux sur [a, b]. En effet, on a le
UNIF
Théorème 18 Supposons que les fn soient continues par morceaux sur [a, b] et fn → f . Supposons que la
Z b
Z b
limite f soit continue par morceaux sur [a, b]. Alors
f (x)dx = lim
fn (x)dx.
n→+∞ a
a
Le théorème n’est pas vrai si la suite de fonction ne converge pas uniformément. Par exemple la suite de
fonctions fn : [0, 1] → R définies par
0 si n1 ≤ x ≤ 1 ou x = 0,
fn (x) =
n si 0 < x < n1 .
Alors fn → 0, mais la convergence n’est pas uniforme. Par ailleurs
Z 1
Z 1
Z 1
n
fn (x) =
ndx = 1 et
f (x)dx = 0.
0
0
0
19
CHAPITRE 4. SUITES DE FONCTIONS
4.5.3
Dérivabilité
Soit (fn ) une suite de fonctions fn : I → R avec I ⊂ R un intervalle ouvert. On a le
Théorème 19 (Dérivation de la limite) Supposons que les fn soient de classe C 1 sur I, que fn → f et que
UNIF
fn0 → g. Alors f est de classe C 1 sur I et on a f 0 = g. En d’autres termes on a
0
lim fn = lim (fn )0 .
n→+∞
n→+∞
UNIF
Par ailleurs fn → f sur tout intervalle [a, b] ⊂ I.
Remarque C’est la convergence uniforme de la suite fn0 qui importe. La convergence uniforme de la suite fn
toute seule ne donne rien. En effet la suite fn (x) = sin(nx)
converge uniformément sur R vers 0, mais la suite
n
des dérivées fn0 (x) = cos(nx) n’a pas de limite. D’un autre côté, sous les hypothèses du théorème 19 on ne
peut pas espérer la convergence uniforme de la suite fn sur tout l’intervalle I, mais seulement sur les parties
fermées et bornées deI. Pour s’en convaincre, considérer la suite de fonctions fn (x) = arctan nx définies sur
R.
Pour la démonstration : soient x et x0 fixés dans I. On a
Z x
fn (x) − fn (x0 ) =
fn0 (t)dt.
x0
Par le théorème 17, quand n tend vers +∞, le deuxième membre de l’égalité tend vers
le premier terme tend vers f (x) − f (x0 ). Par l’unicité de la limite on a donc
Z x
f (x) − f (x0 ) =
g(t)dt.
Rx
x0
g(t)dt. Par hypothèse
x0
Par conséquent f 0 = g. Par le théorème 15, g est continue sur I. Donc f est de classe C 1 sur I. La convergence
est uniforme sur toute partie [a, b] ⊂ I car
Z x
Z x
0
fn (t)dt −
g(t)dt + fn (a) − f (a)
sup |fn (x) − f (x)| = sup x∈[a,b]
x∈[a,b]
a
≤ |b − a| sup
x∈[a,b]
Donc sup |fn (x) − f (x)| tend vers 0 quand n → +∞.
x∈[a,b]
a
|fn0 (x)
− g(x)| + |fn (a) − f (a)|.
Chapitre 5
Compacité et complétude
5.1
Rappels sur les proriétés des intervalles fermés et bornés
Théorème 20 (Théorème de Bolzano Weierstrass) Soit [a, b] ⊂ R un intervalle fermé et borné. Toute suite
(xn ) dans [a, b] admet une sous-suite (xσ(n) ) convergente telle que lim xσ(n) ∈ [a, b].
n→∞
a+b
Pour la démonstration on peut utiliser le principe de dichotomie : l’une au moins des moitiés [a, a+b
2 ] ou [ 2 , b]
de l’intervalle [a, b] contient une infinité de valeurs de la suite (xn ). Notons cet intervalle moitié [a1 , b1 ] et
a1 +b1
1
choisissons un élément de la suite xσ(1) ∈ [a1 , b1 ]. L’une au moins des moitiés [a1 , a1 +b
2 ] ou [ 2 , b1 ] de
l’intervalle [a1 , b1 ] contient une infinité de valeurs de la suite (xn ). Notons cet intervalle moitié [a2 , b2 ] et
choisissons un élément de la suite xσ(2) ∈ [a2 , b2 ] avec σ(2) > σ(1). En itérant ce procédé on construit une
suite d’intervalles emboités [an , bn ] et une suite (xσ(n) ) telle que σ(n + 1) > σ(n) et an ≤ xσ(n) ≤ bn . Les
suites (an ) et (an ) sont adjacentes car
an ≤ an+1 ,
bn+1 ≤ an ,
bn − an =
b−a
.
2n
Par conséquent elle convergent toutes les deux vers la même limite c ∈ [a, b]. On a alors lim xσ(n) = c.
n→∞
Théorème 21 (Fonctions continues sur un intervalle fermé et borné) Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Alors
1. f est bornée et elle atteint ses bornes.
2. f est uniformément continue sur [a, b].
5.2
Parties compactes d’un espace métrique
Définition 27 Soit (E, d) un espace métrique. Une partie A ⊂ E est dite compacte si et seulement si toute
suite dans A admet une sous-suite qui converge vers un élémnet de A.
On dit que E est compact si et seulement su E est une partie compacte de E.
Exemples Tout intervalle fermé et borné [a, b] de R est un compact dans (R, | |). L’intervalle ]0, 1] n’est pas
compact (montrer le). L’intervalle [0, +∞[ n’est pas compact (montrer le).
Exercices 1. Un EVN (E, k k), tel que E 6= {0} n’est pas compact.
2. Soit (xn ) une suite convergente dans un espace métrique (E, d). La partie
{xn : n ∈ N} ∪ { lim xn }
n→∞
est compacte.
Proposition 38 Toute partie compacte d’un espace métrique est fermée et bornée.
20
21
CHAPITRE 5. COMPACITÉ ET COMPLÉTUDE
Soit A une partie compacte de l’espace métrique E. Montrons que A est fermée. Soit (xn ) une suite convergente
d’éléments de A. Comme A est compacte, elle admet une sous-suite (xσ(n) ), qui converge vers x ∈ A. Donc
x = lim xn ∈ A. D’après le théorème 3, A est fermé.
n→∞
Montrons que A est borné. Fixons x0 dans E. Supposons A non borné, alors
∀C > 0 ∃x ∈ A d(x, x0 ) ≥ C.
En appliquant cette propriété à C = n où n est un entier, on obtient un élément xn dans A tel que d(x, x0 ) ≥ n.
Comme A est compact la suite (xn ) admet une sous-suite (xσ(n) ), qui converge vers x ∈ A. Il existe n0 tel que
pour tout n ≥ n0 on a d(xσ(n) , x) < 1. On en déduit donc que pour tout n ≥ n0 on a
d(xσ(n) , x0 ) ≤ d(xσ(n) , x) + d(x, x0 ) < 1 + d(x, x0 ),
ce qui est absurde car d(xσ(n) , x0 ) ≥ σ(n) et σ(n) tend vers l’infini quand n tend vers l’infini.
Proposition 39 Toute partie fermée d’un compact est compacte.
Soit A un compact de E et soit B un fermé de E. Supposons que B ⊂ A. Soit (xn ) une suite dans B. Puisque
B ⊂ A, (xn ) est une suite dans A. Comme A est compact, la suite (xn ) admet une sous suite qui converge vers
un élément l ∈ A. Comme B est fermée, on l ∈ B. Ainsi toute suite dans B admet une sous-suite qui converge
vers un élément de B. Donc B est compact.
Proposition 40 Le produit de deux compacts est compact.
Théorème 22 L’image d’un compact par une fonction continue est compacte.
Attention, l’image réciproque d’un compact par une fonction continue n’est pas compacte en général.
Théorème 23 Si A ⊂ E et B ⊂ F alors
A × B est compact ⇐⇒ A et B sont compacts.
5.3
Fonctions continues sur un compact
Théorème 24 Soit X une partie compacte d’un espace métrique. Soit f : X → R une fonction continue sur
X. Alors f est bornée et elle atteint ses bornes, c’est à dire qu’il existe xmin ∈ X et xmax ∈ X tels que
f (xmin ) = inf f (x),
x∈X
f (xmax ) = sup f (x).
x∈X
Théorème 25 (Théorème de Heine) Soient E et F des espaces métriques. Soit X une partie compacte de E.
Soit f : X → F une fonction continue sur X. Alors f est uniformément continue sur X.
5.4
Cas de la dimension finie
Proposition 41 Une partie de (Kn , k k∞ ) est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
Théorème 26 Soit E un K-EVN de dimension finie. Toutes les normes sur E sont équivalentes.
Théorème 27 Soit E un K-EVN de dimension finie. Une partie de E est compacte si et seulement si elle est
fermée et bornée.
Théorème 28 Soient E et F des K-EVN. Soit f : E → F une application linéaire. Si E est de dimension finie
alors f est continue.
CHAPITRE 5. COMPACITÉ ET COMPLÉTUDE
5.5
22
Complétude
Rappelons la définition d’une suite de Cauchy. Soit (E, d) un espace métrique.
Définition 28 Une suite (un ) dans E est dite une suite de Cauchy si et seulement si
∀ε > 0 ∃N ∀p ∈ N ∀q ∈ N (p > N et q > N ⇒ d(up , uq ) < ε)
Proposition 42 1. Toute suite convergente dans (E, d) est une suite de Cauchy dans (E, d).
2. Toute suite de Cauchy dans (E, d) est bornée dans (E, d).
3. Soit (un )n une suite de Cauchy admettant une sous-suite qui converge. Alors la suite (xn ) converge vers la
même limite que sa sous-suite.
Soient (E, dE ) et (F, dF ) deux espaces métriques. Rappelons que l’application
d : (E × F )2 → R+ , définie par d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = max(dE (x1 , x2 ), dF (y1 , y2 ))
est une distance sur E × F . L’espace (E × F, d) est appelé l’espace métrique produit des espaces métriques
(E, dE ) et (F, dF ).
Proposition 43 (Suites à valeur dans un produit) Soit (un ) = (xn , yn ) une suite dans (E × F, d). Alors
(xn , yn ) suite de Cauchy dans E × F ⇐⇒ (xn ) suite de Cauchy dans E et (yn ) suite de Cauchy dans F.
Définition 29 Soit (E, d) un espace métrique. Une partie A ⊂ E est dite complète si et seulement si toute suite
de Cauchy dans A est convergente vers un élémnet de A.
Par conséquent E est complet si et seulement si E est une partie complète de E. Un EVN complet est appelé
un espace de Banach.
Exercice Soient N et N 0 des normes sur E. Si N ∼ N 0 et si (E, N ) est complet alors (E, N 0 ) est complet.
Proposition 44 Toute partie complète d’un espace métrique est fermée.
Soit A une partie complète de l’espace métrique E. Montrons que A est fermée. Soit (xn ) une suite d’éléments
de A convergente vers l ∈ E. Puisque (xn ) converge, c’est une suite de Cauchy. Comme A est complète, la
suite (xn ), converge vers un élément de A. Donc l ∈ A. Ainsi toute suite convergente d’éléments de A a sa
simite dans A. Donc A est fermé.
Proposition 45 Toute partie fermée d’une partie complète est complète.
Soit A une partie complète de E et soit B un fermé de E. Supposons que B ⊂ A. Soit (xn ) une suite de Cauchy
dans B. Puisque B ⊂ A, (xn ) est une suite de Cauchy dans A. Comme A est complète, la suite (xn ) converge
vers un élément de l ∈ A. Comme B est fermée, on l ∈ B. Ainsi toute suite de Cauchy dans B converge vers
un élément de B. Donc B est complète.
Proposition 46 Toute partie compacte d’un espace métrique est complète.
Soit A une partie complacte de E. Soit (xn ) une suite de Cauchy dans A. Comme A est compacte, la suite
(xn ) admet une sous-suite qui converge vers un élément de l ∈ A. D’après la proposition 42, elle converge elle
même vers l. Ainsi toute suite de Cauchy dans A converge vers un élément de A. Donc A est complète.
La réciproque de est fausse. En effet R est complet mais non compact.
Théorème 29 Soit A une partie complète de E et B une partie complète de F . Leur produit A × B est une
partie complète de E × F .
Théorème 30 Tout EVN de dimension finie sur K = R ou C est complet.
23
CHAPITRE 5. COMPACITÉ ET COMPLÉTUDE
5.6
CNS de Cauchy d’existence d’une limite pour une fonction à valeurs dans
un espace métrique complet
Soient (E, dE ) et (F, dF ) des espaces métriques. Soit X ⊂ E. Soit
f : X → F,
x 7→ f (x),
une fonction de X dans F . Soient a ∈ X et l ∈ F . On rappelle que lim f (x) = l si et seulement si
x→a
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ X (dE (x, a) < η ⇒ dF (f (x), l) < ε) .
Théorème 31 On suppose que F est complet. Alors lim f (x) existe si et seulement si
x→a
∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ X ∀x0 ∈ X dE (x, a) < η et dE (x0 , a) < η ⇒ dF (f (x), f (x0 )) < ε .
Chapitre 6
Approximation uniforme des fonctions
6.1
Approximation uniforme des fonctions continues par morceaux par des
fonctions en escalier
Dans cette section E designe un EVN sur K = R ou C de dimension finie. On rappelle que E est complet
et que toutes les normes sur E sont équivalentes.
6.1.1
Fonctions en escalier
Soient a et b des nombres réels tels que a < b. On appelle subdivision de [a, b] tout ensemble fini (ai )0≤i≤n
de nombres réels tels que
a = a0 < a1 < · · · < an−1 < an = b.
Définition 30 Une fonction f : [a, b] → E est dite en escalier si et seulement s’il existe une subdivision
s = (a0 , · · · , an ) de [a, b] et des éléments (y0 , · · · , yn ) ∈ E n tels que
∀i ∈ {0, · · · , n − 1} ∀t ∈]ai , ai+1 [ f (t) = yi .
Définition 31 Une fonction f : [a, b] → E est dite continue par morceaux si et seulement s’il existe une
subdivision s = (a0 , · · · , an ) de [a, b] telle que pour tout i ∈ {0, · · · , n − 1} la restriction f |]ai ,ai+1 [ soit
continue et admette une limite à gauche en ai et une limite à droite en ai+1 .
Théorème 32 Soit f : [a, b] → E une fonction continue par morceaux. Il existe une suite (fn ) de fonctions en
escaliers fn : [a, b] → E qui converge uniformément vers f sur [a, b].
Proposition 47 (Théorème de Riemann-Lebesgue) Soit f : [0, 1] → C une fonction continue par morceaux.
Alors
Z
b
lim
x→+∞ a
f (t)eixt dt = 0.
ε
Soit ε > 0. D’après le théorème 32, il existe une fonction en escalier g telle que kf − gk∞ < 2(b−a)
.
Considérons une subdivision a = a0 < a1 < · · · < aN = b telle que g(t) = lk pour tout t ∈]ak , ak+1 [
et tout k ∈ {0, · · · , N − 1}. Soit x > 0. On a
Z
b
ixt
g(t)e dt =
a
N
−1 Z ak+1
X
k=0
ixt
lk e dt =
ak
N
−1
X
k=0
lk
eixak+1 − eixak
.
ix
Par conséquent
Z b
N −1
X
2
2N M
ixt g(t)e
dt
|lk | ≤
,
≤
x
x
a
k=0
24
où
M=
max
0≤k≤N −1
|lk | .
25
CHAPITRE 6. APPROXIMATION UNIFORME DES FONCTIONS
Soit A =
4N M
ε ,
alors pour tout x > A on a
2N M
x
< 2ε , et donc
Z b
Z b
Z b
2N M
ε ε
ixt ixt ixt g(t)e
dt
(f
(t)
−
g(t))e
dt
+
f
(t)e
dt
≤
< (b − a)kf − gk∞ + x < 2 + 2 = ε.
a
a
a
On a montré que
Z b
ixt
f (t)e dt < ε).
∀ε > 0 ∃A > 0 ∀x ∈ R (x > A ⇒ a
Z
C’est à dire lim
x→+∞ a
6.1.2
b
f (t)eixt dt = 0.
Integration des fonctions continues par morceaux
Définition 32 Soit e : [a, b] → E une fonction en escalier telle que pour toutP
i ∈ {0, · · · , n − 1} et pour tout
n−1
t ∈]ai , ai+1 [ on ait e(t) = yi . On appelle intégrale de f sur [a, b] l’élément i=0
(ai+1 − ai )yi de E. On le
note
Z b
Z b
Z
n−1
X
e(t)dt =
e=
(ai+1 − ai )yi .
e=
a
a
[a,b]
i=0
Théorème 33 Soit f : [a, b] → E une fonction continue par morceaux. Pour
Rtoutes les suites (fn ) de fonctions
b
en escaliers sur [a, b] convergeant uniformément vers f sur [a, b], la suite a fn converge dans E vers une
même limite, appelée l’intégrale de f sur [a, b] et notée
Z
Z
f=
[a,b]
6.2
6.2.1
b
b
Z
f=
a
Z
f (t)dt = lim
n→∞ a
a
b
fn (t)dt.
Approximation par des polynômes
Polynômes de Bernstein
Soit f : [0, 1] → C une fonction continue.
Définition 33 Le polynôme défini, pour tout x ∈ [0, 1], par
Bn (f )(x) =
n
X
k=0
Cnk f
k
xk (1 − x)n−k
n
est appelé polynôme de Bernstein associé à f .
Proposition 48 La suite Bn (f ) converge uniformément vers f sur [0, 1].
6.2.2
Théorème de Weierstrass
Théorème 34 Pour toute fonction continue f : [a, b] → C il existe une suite (Pn ) de polynômes Pn : [a, b] →
C convergeant uniformément vers f sur [a, b].
Bibliographie
[1] C. Derschamps, A. Warusfel, F. F. Ruaud, F. Moulin, J-C. Sifre, A. Miquel, Mathématiques, tout-enun. 2e année MP, Editions Dunod, Paris (2004).
[2] J.-M. Monier, Analyse MP, Dunod , Paris (2004).
[3] J. Vauthier, C. Cazes, M. Krée, P. Krée, A.- C. Vauthier, Cours de Mathématiques, Algèbre, Analyse,
Géométrie, Editions Eska, Paris (2006).
26
Table des matières
1
Distances et normes
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Suites dans un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3
2
Voisinages, ouverts, fermés
2.1 Boules et voisinages dans un espace métrique
2.2 Ouverts et fermés dans un espace métrique . .
2.3 Normes équivalentes . . . . . . . . . . . . .
2.4 Intérieur, adhérence . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
5
5
6
3
4
5
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Suites, limites, continuité
3.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Valeurs d’adhérence, points d’accumulation . . .
3.2 Limites, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Continuité sur un ensemble, continuité uniforme
3.2.4 Homéomorphismes, isométries . . . . . . . . . .
3.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Continuité d’une application linéaire . . . . . . .
3.3.2 Norme d’une application linéaire . . . . . . . . .
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8
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9
9
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11
12
12
12
13
Suites de fonctions
4.1 Fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . .
4.2 Fonctions à valeurs dans un espace métrique
4.3 Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Suites de Cauchy dans R ou C . . .
4.3.2 Espaces métriques complets . . . .
4.4 Norme de la convergence uniforme . . . . .
4.5 Propriétés des limites de suites . . . . . . .
4.5.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Intégration . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . .
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14
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Compacité et complétude
5.1 Rappels sur les proriétés des intervalles fermés et bornés
5.2 Parties compactes d’un espace métrique . . . . . . . . .
5.3 Fonctions continues sur un compact . . . . . . . . . . .
5.4 Cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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28
TABLE DES MATIÈRES
5.6
6
CNS de Cauchy d’existence d’une limite pour une fonction à valeurs dans un espace métrique
complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximation uniforme des fonctions
6.1 Approximation uniforme des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier
6.1.1 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Integration des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Approximation par des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibiographie
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