‫امتحان پايان ترم‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫جزوه بسته‬
‫مدت‪ 2:‬ساعت‬
‫‪۱313/۴/۱‬‬
‫بسمه تعالي‬
‫سوال ‪ 2( 1‬نمره)‪:‬‬
‫برای سیستم مرتبه اول زیر با پاسخ فرکانسي داده شده تقریب خط مستقیم نمودار ‪Bode magnitude‬‬
‫آن را مشخص کنید‪.‬‬
‫)‬
‫𝟏‪𝒋𝝎+𝟎.‬‬
‫𝟎𝟒‪𝒋𝝎+‬‬
‫(𝟎𝟒 = )𝝎𝒋(𝑯‬
‫صفحه ‪ 1‬از ‪۴‬‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – دانشکده مهندسي کامپيوتر‬
‫امتحان پايان ترم‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫جزوه بسته‬
‫مدت‪ 2:‬ساعت‬
‫‪۱313/۴/۱‬‬
‫سوال ‪ ۴( 2‬نمره)‪:‬‬
‫شکل زیر را در نظر بگیرید‪ .‬فیلتر های ‪ H‬و ‪ G‬همان طور که نشان داده شده اند دارای دوره نمونه برداری‬
‫‪ T‬مي باشند‪.‬‬
‫الف) ‪ w‬و ‪ u‬را بر اساس ‪ y‬و ‪ W‬و‪ U‬را براساس ‪ Y‬بیان کنید‪.‬‬
‫ب) ‪ Z‬را بر اساس ‪ X‬بیان کنید‪.‬‬
‫پ) ‪ y‬و ‪ z‬را برای ‪ T=0.1s‬و )𝒕𝝅𝟓(𝐧𝐢𝐬 ‪ 𝒙(𝒕) = 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝟓𝝅𝒕) +‬بدست آورید‪.‬‬
‫ت) فرض کنید ‪ H‬را تغییردهیم تا 𝟏 = )𝝎𝒋(𝑯 𝝎∀‪ T .‬و‪ x‬را همانند قبل بگیرید و ‪ z‬را بیابید‪.‬‬
‫صفحه ‪ 2‬از ‪۴‬‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – دانشکده مهندسي کامپيوتر‬
‫امتحان پايان ترم‬
‫جزوه بسته‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫مدت‪ 2:‬ساعت‬
‫‪۱313/۴/۱‬‬
‫سوال ‪ ۴( 3‬نمره)‪:‬‬
‫شکل زیر سیستمي را نشان مي دهد که برای مدوالسیون اندازه )‪ (AM‬سینوسي از آن استفاده مي شود‪.‬‬
‫)𝒕(𝒙 یک تابع کران دار (محدود) با ماکسیمم فرکانس 𝑴𝛚 است‪ .‬به طوری که‬
‫𝑴𝝎 > |𝝎| ‪𝑿(𝒋𝝎) = 𝟎,‬‬
‫همان طور که در شکل مشخص است سیگنال )𝒕(𝒔 که برای نمونهبرداری استفاده ميشود یک قطارضربه‬
‫تناوبي با دوره تناوب ‪ T‬و افست (فاصله) ∆ از ‪ t=0‬مي باشد‪ .‬سیستم )𝝎𝒋(𝑯 یک فیلتر میانگذر است‪.‬‬
‫الف) با 𝟎 =∆ و‬
‫𝛑‬
‫𝐓𝟐‬
‫= 𝑴𝛚 و‬
‫)𝒕 𝒄𝝎(𝐬𝐨𝐜)𝒕(𝒙 است که‬
‫𝝅𝟐‬
‫𝑻‬
‫𝝅‬
‫𝑻‬
‫= 𝒕𝝎 و‬
‫𝝅𝟑‬
‫𝑻‬
‫= 𝒉𝝎 نشان دهید که )𝒕(𝒚 متناسب با‬
‫= 𝒄𝝎‬
‫ب) اگر 𝑴𝝎 و |𝒕𝝎 و 𝒉𝝎 همانند الف باشند در حالي که ∆ الزاما صفر نباشد نشان دهید که )𝒕(𝒚‬
‫متناسب با ) 𝒕𝜽 ‪ 𝒙(𝒕)𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒄 𝒕 +‬است و 𝒄𝛚 و 𝛉 را صورت توابعي از ‪ T‬و ∆ بدست آورید‪.‬‬
‫پ) بیشترین مقدار مجاز 𝑴𝝎 نسبت به ‪ T‬تعیین کنید به طوری که )𝒕(𝒚 با ) 𝒄𝜽 ‪𝒙(𝒕)𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒄 𝒕 +‬‬
‫متناسب باشد‪.‬‬
‫صفحه ‪ 3‬از ‪۴‬‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – دانشکده مهندسي کامپيوتر‬
‫امتحان پايان ترم‬
‫صفحه ‪ 4‬از ‪۴‬‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫جزوه بسته‬
‫مدت‪ 2:‬ساعت‬
‫‪۱313/۴/۱‬‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – دانشکده مهندسي کامپيوتر‬
‫امتحان پايان ترم‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫مدت‪ 2:‬ساعت‬
‫جزوه بسته‬
‫‪۱313/۴/۱‬‬
‫سوال ‪ 3( ۴‬نمره)‪:‬‬
‫یک سیستم علي و پایدار دارای تابع تبدیل )‪ 𝑯(𝒔) (rational transfer function‬است‪ .‬این سیستم‬
‫دارای خواص زیر مي باشد‪.‬‬
‫الف) دارای پاسخ ضربه )‪ h(t‬با مقادیر طبیعي است‪.‬‬
‫ب) )𝒔(𝑯 دقیقا دو صفر )‪ (zero‬دارد که یکي از آنها در ‪ s= 1+j‬است‪.‬‬
‫پ) سیگنال )𝒕(𝒉𝟐 ‪𝒉(𝒕) +‬‬
‫𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫𝟑 ‪𝒉(𝒕) +‬‬
‫𝟐𝒅‬
‫𝟐𝒕𝒅‬
‫دارای یک ضربه و یک ‪( doublet‬مشتق ضربه) هردو با‬
‫قدرت نامشخص و یک پله واحد است‪.‬‬
‫)𝒔(𝑯 را بیابید‪.‬‬
‫صفحه ‪ 5‬از ‪۴‬‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – دانشکده مهندسي کامپيوتر‬
‫امتحان پايان ترم‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫جزوه بسته‬
‫مدت‪ 2:‬ساعت‬
‫‪۱313/۴/۱‬‬
‫سوال ‪ 2( 5‬نمره)‪:‬‬
‫در چه شرایطي برای یک سیستم پایدار و علي که حد اقل یک قطب در جایي غیر از بینهایت داشته‬
‫باشد‪ ،‬مي توان گفت ‪ H(s)=H(-s)*es+3‬؟‬
‫جواب‪ :‬با توجه به تساوی باال‪ ،‬اگر سیستم در ‪ s0‬قطب داشته باشد‪ ،‬در‪ – s0‬نیز قطب خواهد داشت در‬
‫صورتي که ‪ s0‬بینهایت نباشد‪.‬‬
‫مي دانیم وقتي یک سیستم علي و پایدار است پس تمام قطب های آن باید قسمت حقیقي منفي داشته‬
‫باشند‪ .‬اما در اینجا چون یک قطب در غیر بینهایت داریم‪ ،‬قسمت حقیقي خود آن یا منفي آن‪ ،‬مثبت مي‪-‬‬
‫شود که تناقض است‪ .‬همچنین اگر قطب قسمت حقیقي نداشته باشد‪ ،‬با علي بودن سیستم در تناقض‬
‫است‪ .‬پس در هیچ صورت نمي توان چنین تساوی را برقرار کرد‪.‬‬
‫سوال ‪ 2( 6‬نمره)‪:‬‬
‫با استفاده از شیوه تصویری نمودار اندازه پاسخ سیستم داده شده را رسم کنید‪.‬‬
‫الف)‬
‫𝟐‪𝒛−‬‬
‫𝟐‪𝟒𝟗 −‬‬
‫𝒛‬
‫𝟒𝟔‬
‫صفحه ‪ 6‬از ‪۴‬‬
‫‪𝟏+‬‬
‫= )𝒛(𝑯‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – دانشکده مهندسي کامپيوتر‬
‫سيگنال و سيستم‬
‫امتحان پايان ترم‬
‫مدت‪ 2:‬ساعت‬
‫جزوه بسته‬
‫‪۱313/۴/۱‬‬
‫سوال ‪ 3( 7‬نمره)‪:‬‬
‫یک دنباله زوج ]‪ )x[n]=x[-n]( x[n‬با تبدیل ‪ z‬گویا در نظر بگیرید‪.‬‬
‫الف) با استفاده از تعریف تبدیل ‪ z‬نشان دهید که‬
‫𝟏‬
‫) (‪X(z)=X‬‬
‫𝒛‬
‫ب)با توجه به بخش (الف) نشان دهید که اگر )‪ X(z‬در ‪ z=z0‬یک قطب (صفر) داشته باشد‪ X(z) ،‬باید در‬
‫‪ z=1/z0‬هم قطب (صفر) داشته باشد‪.‬‬
‫پ) نتیجه بند (ب) را در مورد دنبالههای زیر امتحان کنید‪.‬‬
‫(‪𝜹[𝒏 + 𝟏] + 𝜹[𝒏 − 𝟏] )1‬‬
‫𝟓‬
‫(‪𝜹[𝒏 + 𝟏] − 𝜹[𝒏] + 𝜹[𝒏 − 𝟏])2‬‬
‫𝟐‬
‫صفحه ‪ 7‬از ‪۴‬‬
‫دانشگاه صنعتي شريف – دانشکده مهندسي کامپيوتر‬