‫بسمه تعالی‬
‫دانشکده مهندسی کامپيوتر‬
‫مدرس‪ :‬دکتر ربيعی‬
‫صفحه ‪ 1‬از ‪3‬‬
‫درس سيگنال ها و سيستم ها‬
‫موعد تحويل‪ 6 :‬آبان ‪1331‬‬
‫تمرين شماره ‪4‬‬
‫پاييز ‪1331‬‬
‫استاد حل تمرین مرتبط (برای پاسخ به ابهام ها) ‪ :‬خانم جوادی ؛ ‪[email protected]‬‬
‫‪.1‬‬
‫تاکنون دو نوع رابطه برای محاسبه ضرایب سری فوریهی یک سيگنال حقيقی یادگرفتيم‪ :‬نوع مثلثاتی و نوع مختلط نمایی؛ رابطه سنتز و آناليز برای هریک از انواع مذکور را‬
‫بنویسيد و نشان دهيد که این دو رابطه معادل هستند (ارتباط پارامترهای دو نوع را با هم طوری مشخص کنيد که با داشتن یکی بتوان دیگری را استخراج کرد)‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫ثابت کنيد )𝑡( 𝑚‪ 𝑢𝑛 (𝑡) ∗ 𝑢𝑚 (𝑡) = 𝑢𝑛+‬که )𝑡(𝛿 = )𝑡( ‪ 𝑢0‬و ‪ : *( 𝑛, 𝑚 ∈ ℤ‬کانولوشن)‬
‫فرض کنيد )‪ x(t‬یک سيگنال متناوب با دوره تناوب ‪ 5‬باشد که ضرایب سری فوریه آن در شکل زیر رسم شده اند‪.‬‬
‫الف) ‪ x0‬را بدون به دست آوردن )‪ x(t‬محاسبه کنيد‪.‬‬
‫ب) انتگرال زیر را بدون به دست آوردن )‪ x(t‬به دست آورید‪:‬‬
‫𝑡𝑑 ‪∫ |𝑥 (𝑡 − 2)|2‬‬
‫𝑇‬
‫‪.4‬‬
‫یک سيستم ‪ LTI‬گسسته در زمان با پاسخ ضربه زیر را در نظر بگيرید‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫|𝑛|) ( = ]𝑛[‪ℎ‬‬
‫‪2‬‬
‫نمایش سری فوریه خروجی ]‪ y[n‬را به ازای ورودی زیر بيابيد‪.‬‬
‫∞‪+‬‬
‫)𝑘‪∑ 𝛿(𝑛 − 4‬‬
‫= ]𝑛[𝑥‬
‫∞‪𝑘= −‬‬
‫‪.5‬‬
‫فرض کنيد )‪x(t‬و )‪ y(t‬دو سيگنال متناوب با ضرایب سری فوریه ‪ ak‬و ‪ bk‬و دوره تناوب برابر باشند‪ .‬ثابت کنيد‪:‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫∗𝑘𝑏 𝑘𝑎 ∑ = 𝑡𝑑 )𝑡( ∗ 𝑦)𝑡(𝑥 ∫‬
‫𝑇 𝑇‬
‫∞‪𝑘=−‬‬
‫‪.6‬‬
‫فرض کنيد )‪ x(t‬متناوب با دوره تناوب ‪ T‬است‪ .‬شکل آن در بازه ی ‪ 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇/4‬رسم شده است‪ .‬اگر ‪ x‬فرد باشد و تنها شامل هارمونيک های فرد باشد (یعنی‬
‫)‪ )x(t – T/2) = -x(t‬شکل آن را رسم کنيد‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫اگر دونيمه ی یک پریود یک سيگنال‪ ،‬مشابه هم باشد با این تفاوت که یکی قرینه دیگریست‪ ،‬می گویيم که "تقارن نيم موج" دارد‪ .‬اگر یک سيگنال با دوره تناوب اصلی ‪T‬‬
‫شرط فوق را براورده کند چنين رابطه ای درمورد آن برقرار است‪:‬‬
‫)‪x(t – T/2) = -x(t‬‬
‫نشان دهيد برای چنين سيگنال حقيقی هارمونيک های زوج از بين می روند و ضرایب هارمونيک فرد از فرمول های زیر به دست می آیند‪:‬‬
‫𝑇‬
‫‪4 2‬‬
‫𝑡𝑑 )𝑡 ‪𝑎𝑛 = ∫ 𝑥(𝑡)cos(𝑛𝜔0‬‬
‫‪𝑇 0‬‬
‫𝑇‬
‫‪.8‬‬
‫‪4 2‬‬
‫𝑡𝑑 )𝑡 ‪𝑏𝑛 = ∫ 𝑥(𝑡)sin(𝑛𝜔0‬‬
‫‪𝑇 0‬‬
‫با توجه به اطالعات صورت پرسش قبل سری فوریه سيگنال زیر را محاسبه کنيد‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫مشخصات زیر درباره یک سيگنال داده شده است‪ x(t) .‬را پيدا کنيد‪.‬‬
‫‪𝑇=3‬‬
‫‪𝑎𝑘 = 𝑎𝑘+2‬‬
‫𝑘‪𝑎𝑘 = 𝑎−‬‬
‫‪0.5‬‬
‫∫‬
‫‪𝑥(𝑡)𝑑𝑡 = 1‬‬
‫‪−0.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪∫ 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 = 2‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪ .11‬برای دو شکل موج زیر ضرایب سری فوریه را بيابيد‬
‫‪ .11‬برای شکل موج زیر دوره تناوب اصلی‪ ،‬فرکانس اصلی‪ ،‬و ضرایب سری فوریه را بيابيد‪.‬‬
‫‪ .12‬برای شکل موج زیر ضرایب سری فوریه را محاسبه نموده و مقدار (‪ )magnitude‬و فاز (‪ )phase‬را رسم کنيد‪.‬‬