‫ﻧﻈﺮﯾﻪی زﺑﺎنﻫﺎ و ﻣﺎﺷﯿﻦﻫﺎ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل اول ‪٩۴-٩٣‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬دﮐﺘﺮ ﻣﻮﻗﺮ‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﻧﻬﻢ‬
‫ﺗﺸﺨﯿﺺﭘﺬﯾﺮی‪ ،‬ﻗﺪرت ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗ و ﭘﯿﭽﯿﺪﮔ زﻣﺎﻧ‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ :‬ﻫﯿﭻوﻗﺖ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪.١‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺴﺌﻠﻪی زﯾﺮ ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫}‪= {< M, w > | M is a TM and M halts on input w‬‬
‫‪HALTT M‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٢‬ﮐﺎﺷ ﮐﺎری‬
‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻋﺎﻣﯿﺎﻧﻪ‪:‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای ﮐﺎﺷ ﮐﻪ ﻫﺮ ﮐﺎﺷ ﺑﻪ ﭼﻬﺎر ﺑﺨﺶ رﻧ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ )ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ(‪ ،‬دارﯾﻢ‪ .‬آﯾﺎ اﻣ ﺎن ﭘﻮﺷﺎﻧﺪن‬
‫رﺑﻊ اول ﺻﻔﺤﻪای ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ ﺑﺎ اﯾﻦ ﮐﺎﺷ ﻫﺎ وﺟﻮد دارد ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ رﻧ ﮔﻮﺷﻪﻫﺎی ﻣﺠﺎور در دو ﮐﺎﺷ ﻣﺠﺎور ﯾ ﺴﺎن‬
‫ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫ﻧﻤﻮﻧﻪای از ﮐﺎﺷ ﻫﺎ‬
‫ﻧﻤﻮﻧﻪای از ﮐﺎﺷ ﮐﺎری‬
‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻓﺮﻣﺎل‪:‬‬
‫‪T: a finite set of tile types, along with a special corner tile c ∈ T.‬‬
‫‪t = (n, e, s, w)∀t ∈ T‬‬
‫‪f (i, j)e = f (i, j + ١)w‬‬
‫‪f (i, j)n = f (i + ١, j)s, ∀i, j ⩾ ٠‬‬
‫‪f (٠, ٠) = c‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪ {< T, c >: there is a tiling f : N × N → T with f (٠, ٠) = c} :‬ﺗﺼﻤﯿﻢ ﻧﺎﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‬
‫)راﻫﻨﻤﺎﯾ از ﺗﺼﻤﯿﻢﻧﺎﭘﺬﯾﺮی ‪ Halting‬اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ(‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪.٣‬‬
‫‪١‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪای ﻏﯿﺮﺗﺼﻤﯿﻢﭘﺬﯾﺮ از ) ∗‪ L(١‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪.۴‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﺑ اﺳﺘﻔﺎده ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺘ از ﻣﺎﺷﯿﻦ ) ‪ (DF A, P DA, T M‬ﮔﻔﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﻪ ازای ﻫﯿﭻ ورودی ﺑﻪ آن وارد‬
‫ﻧﻤ ﺷﻮﯾﻢ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ } ‪ {< D, q >| D is a DFA containing a useless state q‬ﺗﺼﻤﯿﻢﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ } ‪ {< P, q >| P is a PDA containing a useless state q‬ﺗﺼﻤﯿﻢﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ج( ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ } ‪ {< M, q >| M is a TM containing a useless state q‬ﺗﺼﻤﯿﻢﭘﺬﯾﺮ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۵‬ﺑﺎزی ﻣﻮش و ﮔﺮﺑﻪ‬
‫ﺑﺎزی ﻣﻮش و ﮔﺮﺑﻪ ﯾ ﺑﺎزی دوﻧﻔﺮه اﺳﺖ ﮐﻪ روی ﯾ ﮔﺮاف دﻟﺨﻮاه اﻧﺠﺎم ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺎزﯾ ﻨﺎن‪ ،‬ﻣﻮش و ﮔﺮﺑﻪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻧﻮﺑﺖ‬
‫از ﯾ ﮔﺮه ﺑﻪ ﮔﺮه ﻣﺠﺎور آن ﻣ روﻧﺪ‪ .‬ﮔﺮﺑﻪ در ﺻﻮرﺗ ﺑﺮﻧﺪه ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﺎ ﻣﻮش در ﯾ ﮔﺮه ﻗﺮار ﮔﯿﺮد‪ .‬ﯾ ﮔﺮه ﺑﻪ‬
‫ﻧﺎم ﭼﺎﻟﻪ در ﮔﺮاف ﻫﺴﺖ ﮐﻪ اﮔﺮ ﻣﻮش داﺧﻞ آن ﺷﻮد‪ ،‬ﻣ ﺑﺮد‪ .‬ﺑﺎزی در ﺻﻮرﺗ ﺑﻪ ﺗﺴﺎوی ﻣ اﻧﺠﺎﻣﺪ ﮐﻪ ﻣﻮش و ﮔﺮﺑﻪ‬
‫ﻫﻢ زﻣﺎن وارد ﭼﺎﻟﻪ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪HAPPYCAT = {< G, c, m, h >| G, c, m and h are respectively a graph, positions of cat,‬‬
‫}‪mouse and hole, such that cat has the winning strategy‬‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ‪HAPPYCAT ∈ P :‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪.۶‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ‪ P = N P‬اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ﺑﺮای ﻫﺮ زﺑﺎن ‪ L‬ﮐﻪ ﻋﻀﻮ ‪ P‬ﺑﺎﺷﺪ و ‪ ، L ̸= ∅ ،L ̸= Σ‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ‪N P ،L‬‬
‫ﮐﺎﻣﻞ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪٢‬‬