‫ﺑﺎﺳﻤﻪ ﺗﻌﺎﻟ‬
‫دادهﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎ و ﻣﺒﺎﻧ اﻟ ﻮرﯾﺘﻢﻫﺎ )‪(۴٠-٢۵۴‬‬
‫‪Data Structures and Fundamentals of Algorithms‬‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ ﻗﺪﺳ‬
‫ﻣﻮﻋﺪ ارﺳﺎل‪ ٢۵ :‬آﺑﺎن ‪١٣٩٣‬‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺷﻤﺎرهی ‪٣‬‬
‫‪ .١‬ﺧﺎﻧﻮاده درﺧﺘﺎن دودوﯾ ﺑﺎ ‪ n‬راس را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﺑﻪ ﻃﻮرﯾ ﻪ ﺑﺮای ﻫﺮ راس از درﺧﺖ ﺧﺎﺻﯿﺖ زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫اﮔﺮ ‪ n١‬و ‪ n٢‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺗﻌﺪاد راﺳﻬﺎ در زﯾﺮ درﺧﺖ ﭼﭗ و راﺳﺖ اﯾﻦ راس ﺑﺎﺷﻨﺪ راﺑﻄﻪ زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪max (n١ , n٢ ) ≤ ٢ min (n١ , n٢ ) + ١‬‬
‫آﯾﺎ ارﺗﻔﺎع اﯾﻦ درﺧﺖ )‪ O(log n‬اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳ ﺧﻮد را اﺛﺒﺎت ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬درﺧﺖ ‪ T‬داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻣ داﻧﯿﻢ ﭘﯿﺎده ﺳﺎزی اﯾﻦ درﺧﺖ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ ای اﺳﺖ ﮐﻪ اﻋﻤﺎل ) ‪LM C(node, T ) ، root(T‬‬
‫و ) ‪ RS(node, T‬ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﻓﺎﺻﻠﻪ ی دو ﮔﺮه ی ‪ q‬و ‪ p‬از اﯾﻦ درﺧﺖ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﻢ‪ .‬اﯾﻦ‬
‫ﻓﺎﺻﻠﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺗﻌﺪاد ﯾﺎل ﻫﺎی ﮐﻮﺗﺎهﺗﺮﯾﻦ ﻣﺴﯿﺮ ﺑﯿﻦ اﯾﻦ دو ﮔﺮه اﺳﺖ‪.‬‬
‫)آ( روﯾﻪ ای ﺑﺎزﮔﺸﺘ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ ﺗﺎ ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﮔﺮهﻫﺎی ‪ r‬و ‪ p‬ﻓﺎﺻﻠﻪی ﮔﺮه ی ‪ p‬از زﯾﺮ درﺧﺘ ﺑﻪ رﯾﺸﻪ ی ‪ r‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬
‫ﮐﻨﺪ و در ﺻﻮرﺗ ﮐﻪ اﯾﻦ ﮔﺮه در زﯾﺮ درﺧﺖ ﻧﺒﻮد ﻋﺪد ‪ −١‬را ﺑﺮﮔﺮداﻧﺪ‪.‬‬
‫)ب( ﺑﻪ ﮐﻤ‬
‫روﯾﻪ ی ﺑﺎﻻ‪ ،‬روﯾﻪ ای ﺑﺎزﮔﺸﺘ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ ﺗﺎ ﮐﻮﺗﺎﻫﺘﺮﯾﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪ ی ﺑﯿﻦ دو ﮔﺮه ی ‪ q‬و ‪ p‬را در درﺧﺘ ﺑﻪ‬
‫رﯾﺸﻪ ی ‪ r‬ﺑﻪ دﺳﺖ آورد‪.‬‬
‫)ج( ﻫﺮ رو روﯾﻪ را را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻫﺎی درﺧﺖ ﺗﺤﻠﯿﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٣‬درﺳﺘ ﻋﺒﺎرات زﯾﺮ را اﺛﺒﺎت ﮐﻨﯿﺪ و ﯾﺎ ﺑﺎ ﻣﺜﺎل ﻧﻘﺾ رد ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫)آ( آﯾﺎ ﻋﻤﻞ ﺣﺬف در د‪.‬د‪.‬ج ﺟﺎﺑﻪ ﺟﺎﯾ ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ؟‬
‫)ب( در ﯾ‬
‫د‪.‬د‪.‬ج ﺑﺮای ﯾ‬
‫ﻋﻨﺼﺮ ﯾ‬
‫ﻣﺴﯿﺮ از رﯾﺸﻪ ﺗﺎ ﯾ‬
‫ﺑﺮگ را ﭘﯿﻤﻮدهاﯾﻢ‪ .‬ﻋﻨﺎﺻﺮی ﮐﻪ در ﺳﻤﺖ ﭼﭗ اﯾﻦ‬
‫ﻣﺴﯿﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ A ،‬آن ﻫﺎﯾ را ﮐﻪ روی ﻣﺴﯿﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ B ،‬و ﻋﻨﺎﺻﺮی ﮐﻪ در ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﻣﺴﯿﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ C ،‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪.‬‬
‫آﯾﺎ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C‬ﻣ ﺗﻮان ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺑﻮد ﮐﻪ ‪c > b > a‬؟‬
‫‪ .۴‬در ﯾ‬
‫ارﺗﻔﺎع ﯾ‬
‫درﺧﺖ دودوﯾ ارﺗﻔﺎع ﻫﺮ راس را ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻃﻮل ﺑﻠﻨﺪﺗﺮﯾﻦ ﻣﺴﯿﺮ از آن راس ﺗﺎ ﯾ‬
‫راس ﮐﻪ ﻓﺮزﻧﺪی ﻧﺪارد را ﻧﯿﺰ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ ١‬در ﻧﻈﺮ ﻣﯿ ﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﯾ‬
‫راس ﺑﺮگ ‪ ،‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯿ ﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫درﺧﺖ ﺑﺎ ارﺗﻔﺎع ﻣﺘﻮازن را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ‬
‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯿ ﻨﯿﻢ ‪ :‬در ﻫﺮ راس‪ ،‬اﺧﺘﻼف ارﺗﻔﺎع ﻓﺮزﻧﺪ راﺳﺖ آن و ﻓﺮزﻧﺪ ﭼﭗ آن ﺣﺪاﮐﺜﺮ ‪ ١‬واﺣﺪ اﺳﺖ‪) .‬ﻣﯿﺘﻮاﻧﯿﺪ ﺑﺮای‬
‫ﻫﺮ راس ﺧﺼﯿﺼﻪای ﺑﻪ ﻧﺎم ارﺗﻔﺎع در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ (.‬اﮔﺮ ‪ i‬اﻣﯿﻦ ﻋﺪد دﻧﺒﺎﻟﻪ ﻓﯿﺒﻮﻧﺎﺗﭽ را ﺑﺎ )‪ f ib(i‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ‪ ،‬آﻧ ﺎه‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ در ﯾ‬
‫درﺧﺖ دودوﯾ ﺑﺎ ارﺗﻔﺎع ﻣﺘﻮازن ﺑﺎ ارﺗﻔﺎع ‪ h‬ﺣﺪاﻗﻞ )‪ f ib(h‬راس وﺟﻮد دارد‪(h > ٠) .‬‬
‫]راﻫﻨﻤﺎﯾ ‪[f ib(n) > ١٫ ۶n :‬‬
‫‪] .۵‬اﺧﺘﯿﺎری[ درﺧﺖ دودوﯾ ﮐﺎﻣﻞ ‪ T‬را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯿ ﻨﯿﻢ‪ :‬در اﯾﻦ درﺧﺖ ﻫﺮ راس ‪ p‬ﻣﯿﺘﻮاﻧﺪ ﺻﻔﺮ ﯾﺎ ‪٢‬‬
‫ﻓﺮزﻧﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ)ﻧﻪ ‪ ١‬ﻓﺮزﻧﺪ(‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺑﺮای ﻫﺮ راس ‪ p‬اﯾﻦ درﺧﺖ اﯾﻦ وﻳﮋﮔ ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ ﮐﻪ ﻫﻤﻪ راسﻫﺎی ﻣﻮﺟﻮد‬
‫‪١‬‬
‫در زﯾﺮدرﺧﺖ ﭼﭗ راس ‪ p‬ﻣﻘﺪاری ﮐﻤﺘﺮ از ﻣﻘﺪار راس ‪ p‬دارﻧﺪ و راسﻫﺎی ﻣﻮﺟﻮد در زﯾﺮدرﺧﺖ راﺳﺖ ‪ p‬ﻣﻘﺪاری‬
‫ﺑﯿﺸﺘﺮ از ﻣﻘﺪار راس ‪ p‬دارﻧﺪ و ﻧﯿﺰ ﺗﻤﺎم راﺳﻬﺎﯾ ﮐﻪ ﺻﻔﺮ ﻓﺮزﻧﺪ دارﻧﺪ در ﯾ‬
‫ارﺗﻔﺎع ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬ﺣﺎل درﺧﺖ ‪ T‬را ﺑﻪ ﮔﺮاف‬
‫ﺟﻬﺘﺪارﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯿ ﻨﯿﻢ‪ ،‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﮐﻪ راسﻫﺎی ‪ T‬را راسﻫﺎی ﮔﺮاف ‪ G‬در ﻧﻈﺮ ﻣﯿ ﯿﺮﯾﻢ و از ﻫﺮ راس ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ p‬ﺑﻪ‬
‫ﻓﺮزﻧﺪ راﺳﺘﺶ ﯾ‬
‫ﯾﺎل ﺟﻬﺖ دار و از ‪ p‬ﺑﻪ ﻓﺮزﻧﺪ ﭼﭙﺶ ﻧﯿﺰ ﯾ‬
‫)آ( ﺑﺮای راس ‪ ،p‬ﯾ‬
‫ﻫﻨ ﺎﻣ ﮐﻪ ﯾ‬
‫ﯾﺎل ﺟﻬﺖ دار رﺳﻢ ﻣﯿ ﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫ﭘﯿﻤﺎﯾﺶ ‪ DF S‬ﺑﺮ روی زﯾﺮ درﺧﺖ ﭼﭗ و ﺳﭙﺲ ﺑﺮ روی زﯾﺮدرﺧﺖ راﺳﺖ ‪ p‬اﻧﺠﺎم ﻣﯿﺪﻫﯿﻢ‪.‬‬
‫راس ﺑﺴﻂ داده ﺷﺪ)ﯾﻌﻨ درﺳﺖ ﻗﺒﻞ از ‪ return‬ﮐﺮدن از ﺗﺎﺑ ‪ df s‬در زﯾﺮ درﺧﺖ ﭼﭗ و راﺳﺖ‬
‫آن(آن راس را ﭼﺎپ ﻣﯿ ﻨﯿﻢ‪ .‬اوﻟﯿﻦ راﺳ ﮐﻪ ﭼﺎپ ﻣﯿﺸﻮد ﭼﯿﺴﺖ؟ آﺧﺮﯾﻦ راﺳ ﮐﻪ ﭼﺎپ ﻣﯿﺸﻮد ﭼﯿﺴﺖ؟ ﭘﺎﺳ‬
‫ﺧﻮد را ﺗﻮﺿﯿ دﻫﯿﺪ‪.‬‬
‫)ب( آﯾﺎ اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ ‪DF S‬در اﯾﻦ درﺧﺖ)ﺑﻪ ﺻﻮرﺗ ﮐﻪ در ﻗﺴﻤﺖ اﻟﻒ ﺗﻮﺿﯿ داده ﺷﺪ( راس ﻫﺎ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺻﻌﻮدی‬
‫ﯾﺎ ﻧﺰوﻟ ﭼﺎپ ﻣﯿ ﻨﺪ؟ ﭘﺎﺳ ﺧﻮد را اﺛﺒﺎت ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .۶‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ n‬زوج ﻣﺮﺗﺐ از اﻋﺪاد و ﺣﺮوف دارﯾﻢ‪ .‬ﺗﻤﺎم درﺧﺖ ﻫﺎی دودوﯾ ﺟﺴﺖوﺟﻮی ﻗﺎﺑﻞ ﺳﺎﺧﺖ ﺑﺎ اﯾﻦ ‪ n‬زوج‬
‫ﻣﺮﺗﺐ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪).‬ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺑﯿﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ در د‪.‬د‪.‬ج ﺑﺮ اﺳﺎس ﻋﺪدﺷﺎن ﺻﻮرت ﻣ ﮔﯿﺮد(‪ .‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻫﺮ د‪.‬د‪.‬ج ﯾ‬
‫رﺷﺘﻪ در ﻧﻈﺮ ﻣﯿ ﯿﺮﯾﻢ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﮐﻪ رﺋﻮس آن درﺧﺖ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﭘﯿﺶ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﭘﯿﻤﺎﯾﺶ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و ﺣﺮفﻫﺎی رﺋﻮس‬
‫در اﯾﻦ ﭘﯿﻤﺎﯾﺶ را ﭘﺸﺖ ﺳﺮ ﻫﻢ ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ ﺗﺎ ﺑﻪ ﯾ‬
‫رﺷﺘﻪ ﺑﺮﺳﯿﻢ‪ .‬اﻟ ﻮرﯾﺘﻤ ﮐﺎرا اراﺋﻪ دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻋﺪد ‪ k‬ﺑﻪ‬
‫ﻋﻨﻮان ورودی‪-k ،‬اﻣﯿﻦ رﺷﺘﻪ از اﯾﻦ رﺷﺘﻪ ﻫﺎ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورد‪.‬‬
‫‪] .٧‬ﻋﻤﻠ [ در اﯾﻦ ﺳﻮال ﻗﺮار اﺳﺖ داده ﺳﺎﺧﺘﺎری ﻃﺮاﺣ و ﭘﯿﺎده ﺳﺎزی ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ درج‪ ،‬ﺣﺬف و ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن ﻣﺠﻤﻮع‬
‫دﻧﺒﺎﻟﻪ ای از اﻋﺪاد ‪ a١ , a٢ , ..., an‬ﺷﺪه را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪) .‬ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ در اﯾﻦ ﺳﻮال ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﯿﺪ از داده ﺳﺎﺧﺘﺎر‬
‫‪ segment tree‬اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ(‪.‬‬
‫ورودی ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ :‬در ﺧﻂ اول ﻋﺪد ‪ m‬ﺗﻌﺪاد ﻋﻤﻠﯿﺎﺗ ﮐﻪ ﻗﺮار اﺳﺖ اﻧﺠﺎم ﺷﻮد آﻣﺪه اﺳﺖ و در ‪ m‬ﺧﻂ ﺑﻌﺪی ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ‬
‫ﺗﻌﺪادی دﺳﺘﻮر آﻣﺪه اﻧﺪ ﮐﻪ ﺑﺪﯾﻦ ﺻﻮرت ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬
‫)‪ insert(x, i‬ﻋﺪد ‪ x‬را در ﻣ ﺎن ‪ i‬ام دﻧﺒﺎﻟﻪ ی اﻋﺪاد درج ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫)‪ delete(i‬ﻋﻀﻮ ‪ i‬ام از دﻧﺒﺎﻟﻪ اﻋﺪاد را ﺣﺬف ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫)‪ sum(i, j‬ﻣﺠﻤﻮع اﻋﺪاد ‪ ai + ai+١ , .... + aj‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ و در ﺧﺮوﺟ ﭼﺎپ ﻣ ﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫ورودی و ﺧﺮوﺟ ﻧﻤﻮﻧﻪ‪:‬‬
‫‪stdin‬‬
‫‪stdout‬‬
‫‪17‬‬
‫)‪insert(5,1‬‬
‫‪14‬‬
‫)‪insert(10,1‬‬
‫‪9‬‬
‫)‪insert(7,2‬‬
‫)‪sum(1,2‬‬
‫)‪insert(4,3‬‬
‫)‪delete(2‬‬
‫)‪sum(1,2‬‬
‫)‪sum(2,3‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪] .٨‬ﻧﻈﺮی و ﻋﻤﻠ [ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﯾ‬
‫ﯾ‬
‫درﺧﺖ دودوﯾ ﺑﺎ ارﺗﻔﺎع ‪ h‬و ﺗﻌﺪاد ‪ ٢h‬ﮔﺮه ﺑﺮگ دارﯾﻢ ‪ .‬ﻫﺮ ﮔﺮه درﺧﺖ ﻧﯿﺰ دارای‬
‫ﻣﻘﺪار ﻣﯿﺒﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯿ ﻨﯿﻢ‪:‬‬
‫• اﮔﺮ ﮔﺮه ‪ x‬ﺑﺮگ ﺑﺎﺷﺪ ‪ α(x) ،‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﮔﺮه ‪ x‬و اﺟﺪادش ﺗﺎ رﯾﺸﻪ درﺧﺖ ‪) .‬ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه رﯾﺸﻪ‬
‫درﺧﺖ(‬
‫• اﮔﺮ ‪ x‬و ‪ y‬دو ﮔﺮه ﺑﺮگ ﻣﺠﺰا ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ α(x, y) ،‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ اﺟﺘﻤﺎع )‪ α(x‬و )‪α(y‬‬
‫• )‪ f (x, y‬ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤ ﻋﻨﺎﺻﺮ )‪ α(x, y‬را ﻣﯿﺪﻫﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( اﻟ ﻮرﯾﺘﻤ اراﺋﻪ دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﺑﺮای ﯾ‬
‫آﻧﻬﺎ ﺣﺪاﮐﺜﺮ اﺳﺖ را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﺪ و‬
‫درﺧﺖ دودوﯾ ﮐﺎﻣﻞ دو ﮔﺮه ﺑﺮگ ∗‪ x‬و ∗ ‪ y‬را ﮐﻪ ﻣﻘﺪار ) ∗ ‪ f (x∗ , y‬ﺑﺮای‬
‫) ∗ ‪f (x∗ , y‬‬
‫را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺧﺮوﺟ ﺑﺮﮔﺮداﻧﺪ‪.‬‬
‫ب( اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ ﺧﻮد را ﺗﺤﻠﯿﻞ ﮐﻨﯿﺪ و زﻣﺎن اﺟﺮا را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ورودی و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻤﺎدﻫﺎی ﻣﺠﺎﻧﺒ ﺑﺪﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫ج( ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ورودیﻫﺎی ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ ﺧﻮد را ﭘﯿﺎده ﺳﺎزی ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺷ ﻞ ‪ :١‬ﺷ ﻞ ‪ : ١‬ﯾ‬
‫درﺧﺖ ﺑﺎ ∗‪ x‬و ∗ ‪ y‬ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪه‬
‫در درﺧﺖ ﺑﺎﻻ دارﯾﻢ ‪:‬‬
‫}‪α(x∗ ) = {١٩, ١۵, ٢١, ٣۶‬‬
‫}‪α(y ∗ ) = {٢٠, ٣٠, ٢١, ٣۶‬‬
‫}‪α(x∗ , y ∗ ) = {١٩, ١۵, ٢١, ٣۶, ٢٠, ٣٠‬‬
‫‪f (x∗ , y ∗ ) = ١٩ + ١۵ + ٢١ + ٣۶ + ٢٠ + ٣٠ = ١۴١‬‬
‫ﯾﻌﻨ ﺧﺮوﺟ اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ ﺷﻤﺎ ﺑﺮای درﺧﺖ ﺑﺎﻻ ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ١۴١‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ورودی ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ :‬ﯾ‬
‫ﻋﺪد ‪ m‬ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎی ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﯿﺎن ﻣﯿ ﻨﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ‪ ٢m‬رﺷﺘﻪ ﮐﻪ ﺑﺎ زﯾﺮ رﺷﺘﻪ ‪ pre :‬و ﯾﺎ‬
‫‪ post :‬ﺷﺮوع ﻣﯿﺸﻮﻧﺪ و ﻫﺮﮐﺪام ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه دﻧﺒﺎﻟﻪ ‪ pref ix‬و ﯾﺎ ‪ postf ix‬ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺧﻮد ﻣﯿﺒﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺧﺮوﺟ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ :‬ﺑﺮای ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ ورودی ﯾ‬
‫ﻋﺪد ﮐﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ) ∗ ‪ f (x∗ , y‬ﻣﯿﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪stdout‬‬
‫‪stdtin‬‬
‫‪141‬‬
‫‪1‬‬
‫‪pre: 36, 21, 15, 10, 19, 30, 20, 14, 6, 11, 5, 9, 10, 2, 7‬‬
‫‪post: 10, 19, 15, 20, 14, 30, 21, 5, 9, 11, 2, 7, 10, 6, 36‬‬
‫‪٣‬‬