‫بسمه تعالی‬
‫فصل ‪:5‬‬
‫‪:Statistical model‬‬
‫‪ -1‬در یک بانک به طور متوسط هر یک سال ‪ 6‬نفر حساب خود را می بندند‪ .‬اگر تعداد افرادی که در یک بازه‬
‫زمانی حساب خود را مسدود می کنند‪ ،‬دارای توزیع پواسن باشد؛‬
‫الف) چقدر احتمال دارد که در طول ‪ 9‬ماه کسی حساب خود را نبندد؟‬
‫ب) چقدر احتمال دارد که در طول ‪ 3‬ماه حداقل ‪ 2‬نفر حساب خود را ببندند؟‬
‫‪ -2‬متغیر تصادفی ‪ ،X‬دارای توزیع پواسن است و )‪ 3P(X=1)=P(X=2‬مقدار )‪ P(X2-4X=0‬چقدر است؟‬
‫‪ -3‬اگر تماس تلفنی به یک بنگاه معامالتی توزیع نمایی داشته باشد و طی آن هر ‪ 15‬دقیقه یک بار‪ ،‬تماس‬
‫داشته باشد‪ ،‬احتمال اینکه مدت زمان انتظار برای تماس کمتر از ‪ 33‬دقیقه باشد را حساب کنید‪.‬‬
‫‪ -4‬فرض کنید هر ساعت ‪ 5‬بیمار از یک بیمارستان با توزیع پواسن مرخص می شوند‪ .‬احتمال اینکه پیش از‬
‫خارج شدن ‪ 2‬بیمار ‪ 23‬دقیقه بگذرد‪ ،‬چقدر است؟‬
‫‪ -5‬فرض کنید ‪ X‬متغیر تصادفی باشد با توزیع نرمال با میانگین ‪ 5‬و واریانس ‪ .4‬اگر داشته باشیم‬
‫‪ P(a<X<b)=0.7‬و |‪ ،|µ-b|=|µ-a‬مقدار ‪ a‬و ‪ b‬را بیابید‪.‬‬
‫‪ -6‬میزان آی کیو برای افراد ‪23‬تا ‪ 34‬ساله دارای میانگینی برابر با ‪ 113‬و انحراف معیاری برابر با ‪ 25‬با توزیع‬
‫نرمال می باشد‪.‬‬
‫الف) چند درصد از این افراد دارای امتیاز زیر ‪ 55‬هستند؟‬
‫ب) چند درصد از این افراد دارای امتیاز باالی ‪ 183‬هستند؟‬
‫ج) در صورتی که فردی در ‪ 15‬درصد باالی افراد قرار بگیرد‪ ،‬میزان امتیاز او در این تست چه میزان است؟‬
‫‪ -5‬یک سیستم تهویه هوا در یک کارخانه تولید کننده کود شیمیایی‪ 2 ،‬موتور دارد‪ ،‬در صورتی که اولی از کار‬
‫بیفتد دومی به کار می افتد‪ .‬اگر هر دو از کار بیفتند‪ ،‬فضای کارخانه سمی شده و می تواند عوارض بدی داشته‬
‫باشد‪(.‬در همین حد بدانید کافیست ‪ .):D‬فرض کنید عمر این موتورها توزیع نمایی با میانگین ‪ 130333‬ساعت‬
‫دارد‪.‬‬
‫الف) اگر این سیستم هر ‪ 5333‬ساعت بازرسی شود‪ ،‬احتمال اینکه پیش از این زمان اتفاق بدی بیفتد‪ ،‬چقدر‬
‫است؟‬
‫ب) اگر این زمان را به ‪ 15333‬تغییر دهیم چه خطراتی می تواند داشته باشد؟(با نتیجه سوال قبل مقایسه‬
‫کنید)‬
‫‪ -8‬اگر خرابی لپ تاپ های شرکت ‪ DELL‬از توزیعی نمایی پیروری کند‪ ،‬ثابت کنید احتمال اینکه لپ تاپی از‬
‫زمان خریداری تا یک سال بعد خراب شود با احتمال اینکه لپ تاپ شما یک سال کار کرده است و تا یک سال‬
‫دیگر خراب شود‪ ،‬برابر است‪( .‬توجه کنید که این قضیه در مورد لپ تاپ های دیگر شرکت ها نیز صادق است!)‬
‫فصل ‪:6‬‬
‫‪:Queuing Models‬‬
‫‪ -9‬در یک کارگاه خیاطی‪ ،‬برای کارگران در هر روز ‪ 15‬سفارش با توزیع پواسن می رسد‪ .‬هر کارگر می تواند به‬
‫طور میانگین در ‪ 3‬ساعت سفارش را با انحراف معیار ‪ 105‬ساعت انجام دهد‪ .‬فرض کنید کارگران هر روز ‪430333‬‬
‫تومان کاسب هستند‪ .‬میانگین هزینه بر روز که گارگران باید منتظر رسیدن سفارش باشند را محاسبه‬
‫کنید‪(.‬راهنمای‪ LQ:‬را محاسبه کنید)‬
‫‪ -13‬در یک خط تولید خودرو قطعات با میانگین ‪ 133‬عدد در ساعت به مرحله اول میرسند‪ ،‬در حالیکه این‬
‫خط تولید دارای ‪ 6‬مرحله است‪ .‬در هر مرحله ‪ 5‬درصد از قطعات دورریخته می شوند(به علت خرابی و ‪)...‬‬
‫الف) سرعت وارد شدن قطعات به مرحله هفتم چقدر است؟(بر حسب قطعه بر ساعت)‬
‫ب) در صورتی که میانگین زمانی پردازش قطعات در هر مرحله متفاوت باشد و تغییر ترتیب در خط لوله امکان‬
‫پذیر باشد‪ ،‬آیا منطقی است که مراحل را از به ترتیب زمانی هر مرحله مرتب کنیم یا بلعکس آن؟ چرا؟‬
‫‪ -11‬فرض کنید اطالعات زیر را برای یک صف متناهی با توزیع زمانی نمایی به صورت زیر دارید‪:‬‬
‫‪K=20, 1/ µ=10, 1/λ=41, c=2‬‬
‫الف) میزان ‪ LQ‬و ‪ wQ‬را محاسبه کنید‪.‬‬
‫ب) میزان ‪ λ‬را در صورتی که ‪ LQ=L/4‬باشد‪ ،‬محاسبه کنید‪.‬‬
‫‪ -12‬فرض کنید در یک خیابان‪ ،‬هر ساعت ‪ 23‬خودرو پارک دوبل میکنند‪ .‬حال اگر مدت زمان پارک دوبل را‬
‫برابر با زمان ثابت ‪ 133‬ثانیه در نظر بگیریم(برای رفع ابهام‪ ،‬راننده را زن در نظر بگیرید)‪ ،‬مقادیر ‪ L ، wQ،LQ‬و‬
‫‪ w‬را محاسبه کنید‪ .‬اگر یک ماشین جایی برای پارک پیدا نکند باید صبر کند تا پیدا شود‪ ،‬در اینصورت اگر هر‬
‫ماشین برای منتظر ماندن ‪ 533‬سی سی بر ساعت بنزین مصرف کند‪ ،‬میانگین هزینه بر ساعت هر خودروی‬
‫منتظر برای پارک دوبل را محاسبه کنید‪.‬‬