‫به نام هستی بخش‬
‫نام خانوادگی و شماره دانشجویی‪:‬‬
‫‪ .1‬ثابت کنید کانتورهای توزیع گاوسی ‪-d‬بعدی به شکل ابربیضی هستند‪.‬‬
‫این جواب ناقص است‪ .‬برای کامل شدن باید نقاط در یک ماتریس چرخشی نیز ضرب شوند‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫در یک امتحان‪ ،‬احتمال آن که یک دانشآموز هریک از نمرات ‪ C ، B ، A‬و یا ‪ D‬را‬
‫کسب کند‪ ،‬به ترتیب برابر با ‪ 0.5‬و ‪ k‬و ‪ 2k‬و ‪ 0.5-3k‬می باشد‪ .‬یک کالس ‪ n‬نفری در‬
‫این امتحان شرکت میکنند و ‪ m‬نفر نمره ‪ A‬یا ‪ B‬را کسب میکنند‪ .‬روشی برای تخمین ‪k‬‬
‫ارائه دهید‪.‬‬
‫مساله ‪ : EM‬تعداد کسانی را که نمره ‪ B‬کسب کرده اند به عنوان متغیر ‪ latent‬در نظر‬
‫می گیریم‪ .‬فرمول آپدیت ‪ b‬به صورت زیر است‪:‬‬
‫𝑘‬
‫𝑚×‬
‫‪1‬‬
‫𝑘‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫=𝑏‬
‫با داشتن ‪ b‬تخمین ‪ ML‬متغیر مساله را می نویسیم تا فرمول آپدیت ‪ k‬بدست آید‪:‬‬
‫𝑏‪3‬‬
‫)𝑚 ‪6(𝑏 + 𝑛 −‬‬
‫=𝑘‬
‫این دو مرحله تا رسیدن به مقدار ثابت باید تکرار شود‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫ثابت کنید فاصله دو نقطه در فضای جدید پس از اعمال نگاشت مرتبط با کرنل‬
‫گوسی کمتر از ‪ 2‬خواهد بود‪.‬‬
‫دو نقطه ‪ A‬و ‪ B‬را در نظر بگیرید‪ .‬فاصله این دو نقطه در فضای جدید برابر خواهد‬
‫بود با‪:‬‬
‫)𝐵 ‪𝑑(𝐴, 𝐵) = [𝜑(𝐴) − 𝜑(𝐵)]𝑇 [𝜑(𝐴) − 𝜑(𝐵)] = 𝐾(𝐴, 𝐴) + 𝐾(𝐴, 𝐵) − 2𝐾(𝐴,‬‬
‫در مورد کرنل گاوسی قسمت اول و دوم برابر ‪ 1‬و قسمت سوم مقداری مثبت است‪ .‬در‬
‫نتیجه عبارت باال همواره کوچکتر از ‪ 2‬خواهد بود‪.‬‬