‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری اول‬
‫بهنام بخشنده دانایی‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری اول‬
‫دستیار آموزشی‪ :‬قشمی‪ ،‬صبور‬
‫مدرس‪ :‬آبام‬
‫مسألهی اول‪ .‬فرض کنید ‪ f‬تابعی از ‪ A‬به ‪ B‬باشد و ‪ S‬و‪ T‬زیرمجموعه هایی از ‪ B‬باشند‪ .‬نشان دهید که‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫ = ̅ ‬
‫مسألهی دوم‪ .‬اگر ‪ zn‬تعداد مقسوم علیه های ‪ n‬باشد‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪
+ + ⋯ + = + + + ⋯ +‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫مسألهی سوم‪ .‬فرض کنید ‪ f‬تابعی از مجموعه ‪ A‬به مجموعه ‪ B‬باشد و ‪ S‬و ‪ T‬زیرمجموعه هایی از ‪ A‬باشند نشان دهید که‪:‬‬
‫الف( ∪ = ∪ ‬
‫ب( ∩ ⊆ ∩ ‬
‫مسألهی چهارم‪ .‬فرض کنید ⊆ ‪ ., ,‬هر یک از موارد زیر را ثابت یا با مثال نقضی رد کنید‪.‬‬
‫الف( = ⇒ ‪ − = −‬‬
‫ب( = ⇒ ] ‪! ∩ = ∩ ∧ − = −‬‬
‫ج( = ⇒ ] ‪! ∪ = ∪ ∧ − = −‬‬
‫د( ‪$ − = $ − $‬‬
‫مسألهی پنجم‪ .‬اگر ‪ f‬تابعی حقیقی باشد و )‪ % = 2 + sin% + 1‬باشد‪ ،‬تابعهای ‪ f3 ، f2 ، f1‬و ‪ f4‬را پیدا کنید به طوریکه داشته‬
‫باشیم ‪f = f4 o (f3 o (f2 o f1)) :‬‬
‫آیا ‪ fi‬ها یکتا هستند؟‬
‫مسألهی ششم‪ .‬ادعای مقابل را ثابت کنید‪:‬‬
‫‪ ⊂ ∨ ⊂ , → ∩ ⊂ ∩ ,‬‬
‫مسألهی هفتم‪ .‬برای سه مجموعه ‪ B ،A‬و ‪ C‬در مجموعه مرجع ‪ M‬ثابت کنید‪:‬‬
‫ ∩ ∪ = ] ∩ ∪ ! ∩ ∪ ∪ ‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری اول‬
‫مسألهی هشتم‪ .‬برای هر کدام از دنبالههای اعداد صحیح زیر یک فرمول ساده که آن را تولید کند بیابید‪:‬‬
‫الف( ‪11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...‬‬
‫)اگر جواب را فهمیدید جالب است با شروع از ‪ ۵‬و ‪ ۲۷‬اش را نیز امتحان کنید! (‬
‫ب(…‪0, 2, 8, 26, 80, 242, 728, 2186, 6560, 19682‬‬
‫پ( … ‪1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011‬‬
‫مسألهی نهم‪ .‬فرض کنید‪ f(x)=ax+b :‬و ‪ g(x)=cx+d‬و ‪ c،b،a‬و‪ d‬اعداد ثابت هستند‪ .‬به ازای چه مقادیری از ‪ c ،b ،a‬و ‪ d‬خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪ f o g= g o f‬؟‬
‫مسألهی دهم‪ .‬ثابت کنید‪:‬‬
‫‪∑103 /0 − /0 = /1 − /2‬‬
‫مسألهی یازدهم‪ .‬هر یک از موارد زیر را درمورد توابع سقف و کف ثابت یا با مثال نقضی رد کنید‪.‬‬
‫الف( به ازای همه اعداد حقیقی ‪45%67 = 5%6 : x‬‬
‫ب( برای همه اعداد حقیقی ‪ x‬و ‪4% + 87 = 4%7 + 487 : y‬‬
‫ج( برای همه اعداد حقیقی ‪9:%;2</2> = :%;4< : x‬‬
‫د( برای همه اعداد حقیقی مثبت‪@5%6 = A√%C :‬‬
‫ه( برای همه اعداد حقیقی ‪ x‬و‪4%7 + 487 + 4x + y7 ≤ 42x7 + 42y7 : y‬‬
‫»موفق باشید«‬