‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری دوم‬
‫بهنام بخشنده دانایی‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری دوم‬
‫مدرس‪ :‬آبام‬
‫دستیار آموزشی‪ :‬لیایی‪ ،‬تاجیک‬
‫مسألهی اول‪ .‬یک رشته را دو طرفه گویند اگر از اول یا آخر بخوانیم یکسان باشد‪ .‬شبه کدی برای تشخیص دو‬
‫طرفه بودن یک رشته بنویسید‪.‬‬
‫مسألهی دوم‪ .‬شبه کد ‪ merge sort‬را بنویسید‪.‬‬
‫مسألهی سوم‪ .‬اثبات یا رد کنید‪ ) .‬توابع ‪ f‬و ‪ g‬و ‪ ، h‬توابعی از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی هستند‪( .‬‬
‫الف‪ .‬اگر باشد‪ ،‬آنگاه ‪ 2 2‬است‪.‬‬
‫ب‪ .‬اگر و باشد‪ ،‬آن گاه است‪.‬‬
‫ج‪. log Θlog ! .‬‬
‫مسألهی چهارم‪ .‬وجود روابط زیر را برای دو تابع ‪ A‬و ‪ B‬اثبات یا رد کنید‪.‬‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری دوم‬
‫مسألهی پنجم‪ .‬یک آرایه ی ‪ n‬تایی از اعداد صحیح داریم‪ .‬یک زوج ‪ ,‬وارونه است اگر < و‬
‫ > باشد‪ .‬شبه کدی بنویسید که تعداد وارونگی های آرایه را پیدا کند‪.‬‬
‫مسألهی ششم‪ .‬زمان اجرای زیر روال زیر را به صورت دقیق )‪ (Θ‬تعیین کنید‪.‬‬
‫)‪Power(a,n‬‬
‫‪, 1,‬‬
‫‬
‫‪!
"# > 0‬‬
‫‪ % #&#‬‬
‫(‬
‫* '‬
‫)‬
‫)‬
‫‬
‫ × ‬
‫‪ −1‬‬
‫‪#"%#‬‬
‫ ‪-#./-‬‬
‫مسألهی هفتم‪ .‬اثبات یا رد کنید‪.‬‬
‫الف‪ .‬اگر ‪ |12‬آنگاه ‪ |1‬یا ‪.|2‬‬
‫ب‪ .‬اگر ‬
‫‪ 2 ≡ 12 45‬و ‪∤ 2‬‬
‫ج‪ .‬اگر ‬
‫‪ ≡ 1 45‬و ‬
‫د‪ .‬اگر ‬
‫‪ ≡ 1 45‬آن گاه ‬
‫آنگاه ‪. ≡ 1‬‬
‫‪ ،2 ≡ 5 45‬آن گاه ‬
‫‪. 7 ≡ 1 8 45‬‬
‫‪ k) . 9 ≡ 1 9 45‬عدد صحیح بزرگتر از صفر است‪(.‬‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری دوم‬
‫مسألهی هشتم‪ .‬برای < ; ∈ ‪ ،‬ثابت کنید که‪:‬‬
‫الف‪ = 1= 2)= .‬بر ‪ ۹‬تقسیم پذیر است‪.‬‬
‫ب‪.‬‬
‫>‪BB‬‬
‫‪)B‬‬
‫‪+‬‬
‫‪>A‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫?>‬
‫@‬
‫عددی صحیح است‪.‬‬
‫مسألهی نهم‪ .‬نشان دهید هر عدد مضرب ‪ ۴‬را می توان به صورت اختالف دو عدد مربع کامل نوشت‪.‬‬
‫مسألهی دهم‪.‬‬
‫اﻟﻒ‪ .‬ﺑﺎﻗﻲ ﻣﺎﻧﺪه ي )‪ 2CD‬ﺑﺮ ‪ 109‬ﭼﻨﺪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫ب‪ .‬باقی مانده ی ‪ 2BB‬بر ‪ ۱۱‬چند است‪.‬‬
‫مسألهی یازدهم‪ .‬ثابت کنید اگر ‪ 2> + 1‬عدد اول باشد‪ ،‬باید توانی از ‪ ۲‬باشد‪.‬‬
‫مسألهی دوازدهم‪ .‬ثابت کنید )‪ (2F − 1) 45(2G − 1‬برابر ‪ 2F (H8 G − 1‬است‪.‬‬
‫مسألهی سیزدهم‪ .‬ثابت کنید وقتی ‪ k‬فرد است‪،‬‬
‫‪۲9‬‬
‫‪+ ۱۹‬‬
‫‪۲9‬‬
‫‪ ۱۱‬بر ‪ ۲۴۱‬بخش پذیر است‪.‬‬
‫تمرین سری دوم‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫مسألهی چهاردهم‪ .‬عدد ‪ 99KK‬را در نظر بگیرید‪ .‬عدد ‪ a‬را مجموع ارقام ‪ ، 99KK‬عدد ‪ b‬را مجموع ارقام ‪ a‬و‬
‫عدد ‪ c‬را مجموع ارقام ‪ b‬در نظر بگیرید‪ c ،‬چند است؟‬
‫مسألهی پانزدهم‪ .‬یک بازی‪ :‬دو عدد ‪ ۱۷۲۹‬و ‪ ۱۲۱۱‬روی تخته نوشته شده است‪ ،‬باربَد و بهار به ترتیب عدد جدید‬
‫مثبتی )بزرگتر از صفر( روی تخته می نویسند که اختالف دو عدد روی تخته باشد‪.‬‬
‫‪ .۱‬ثابت کنید تمام اعداد روی تخته مضرب ‪ ۷‬اند‪.‬‬
‫‪ .۲‬ثابت کنید تمام مضارب ِ ‪ ِ ۷‬کوچکتر و مساوی ‪ ۱۷۲۹‬روی تخته ظاهر می شوند‪.‬‬
‫‪ .۳‬آیا می توانید برنده بازی را پیش بینی کنید؟‬
‫»موفق باشید!«‬