‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری سوم‬
‫بهنام بخشنده دانایی‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری سوم‬
‫مدرس‪ :‬آبام‬
‫دستیار آموزشی‪ :‬قشمی‬
‫مسألهی اول‪ .‬در هریک از موارد زیر بررسی کنید دو عبارت منطقی ذکر شده معادل هستند یا خیر‪.‬‬
‫الف( → ∧ → و → ∨ ‬
‫ب( → → ~ و ∨ → ‬
‫ج( → → → و → → → ‬
‫مسألهی دوم‪ .‬نشان دهید }∨ و ∼{ یک مجموعهی کامل از عملگرهای منطقی هستند‪.‬‬
‫مسألهی سوم‪ .‬درستی یا نادرستی هریک از گزارههای زیر را تعیین کنید‪ .‬متغیرهای اعداد صحیح هستند‪.‬‬
‫الف( < ∃ ‪∀,‬‬
‫ب(‪∃, ∃ + 4 = 23‬‬
‫ج(]‪∀ > 10, ~[∃, ∀ ! ≢ 1#$%‬‬
‫مسألهی چهارم‪ .‬فرض کنید ∧ ∼≡ '‬
‫∧ باشد‪ .‬در این صورت یک عبارت معادل با ∧ → پیدا کنید و تنها از‬
‫عملوند '‬
‫∧ استفاده کنید‪.‬‬
‫مسألهی پنجم‪ .‬یک عبارت به صورت ‪ PNF‬است اگر تمام سورهای عمومی و وجودی در ابتدای آن آمده باشند‪ .‬برای مثال جملهی‬
‫ ‪ ∀∃ ), ∨ *,‬به صورت ‪ PNF‬است ولی جملهی * ∃ ∨ )∀ به صورت ‪ PNF‬نیست‪ .‬جملههای زیر را به‬
‫صورت ‪ PNF‬بنویسید‪.‬‬
‫الف( *∃ ∨ )∀~‬
‫ب(*∀ → )∃‬
‫ج(*∃ ∨ )∃‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری سوم‬
‫مسألهی ششم‪ .‬فرض کنید )‪ L(x,y‬بیانگر جملهی » ‪ y ، x‬را دوست دارد« باشد و دامنهی ‪ x‬و ‪ y‬همه افراد جهان است‪ .‬با استفاده از‬
‫سورها‪ ،‬عبارات زیر را بیان نمایید‪:‬‬
‫الف( کسی هست که هیچ کس به غیر از خودش را دوست ندارد‪.‬‬
‫ب( هرکس خودش را دوست دارد‪.‬‬
‫ج( دقیق ًا یک فرد وجود دارد که همه او را دوست دارند‪.‬‬
‫د( کسی هست که هیچ کس او را دوست ندارد‪.‬‬
‫ه( هیچکس‪ ،‬همه کس را دوست ندارد‪.‬‬
‫مسألهی هفتم‪ .‬فرض کنید ‪ *,‬جملهی‬
‫‪=−‬‬
‫‪ +‬باشد‪ .‬اگر دامنهی ‪ x‬و ‪ y‬همه اعداد صحیح باشد‪ ،‬مقدار درست یا غلط‬
‫هریک از عبارات زیر را تعیین نمایید‪:‬‬
‫الف( ‪∀ ∃*,‬‬
‫ب( ‪∀∃ *,‬‬
‫ج( ‪∀∀ *,‬‬
‫د( ‪∃ ∃*,‬‬
‫مسألهی هشتم‪ .‬هر یک از جمالت زیر را به گونه ای بنویسید که عملگر نقیض تنها در داخل گزاره ظاهر شود)یعنی عملگر نقیض خارج‬
‫یک سور یا خارج یک عبارتی که رابطهای منطقی دارد ظاهر نشود‪(.‬‬
‫الف( ‪~∀∀ ),‬‬
‫ب( ‪~∀ ∃),‬‬
‫ج( ‪~∀ ∀), ∨ *,‬‬
‫مسألهی نهم‪ .‬یک دامنهی مشترک برای سه متغیر ‪ x,y,z‬پیدا کنید به صورتیکه جملهی ∨ = ‪∀∀ ≠ → ∀-!-‬‬
‫‪ - = %‬صحیح باشد و یک دامنهی دیگر پیدا کنیدکه این جمله در آن دامنه غلط باشد‪.‬‬
‫مسألهی دهم‪ .‬فرض کنید دامنهی ‪ x‬و ‪ y‬در عبارت گزارهای )‪ P(x,y‬مجموعهی }‪ {1,2,3‬باشد‪ .‬گزارههای زیر را با استفاده از ∧ و ∨‬
‫بنویسید‪:‬‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری سوم‬
∀∀ ), (‫الف‬
∃∀ ), (‫ب‬
∀ ∃), (‫ج‬
∃∃ ), (‫د‬
Your time is limited,
So don't waste it living someone else's life.
Don't be trapped by dogma — which is living with the results of other people's thinking—
Don't let the noise of others' opinions drown out your own inner voice.
S.Jobs