‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری چهارم‬
‫بهنام بخشنده دانایی‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری چهارم‬
‫دستیار آموزشی‪ :‬قشمی‪ ،‬صبور‬
‫مدرس‪ :‬آبام‬
‫مسألهی اول‪.‬با استقرا ثابت کنید برای هر عدد صحیح مثبت ‪ n‬رابطهی زیر برقرار است ‪:‬‬
‫) ‪> (√ + −‬‬
‫‬
‫√‬
‫‪+ ⋯+‬‬
‫‬
‫√‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫√‬
‫‪+‬‬
‫مسألهی دوم‪ .‬با استقرا نشان دهید ‪ n‬خط مجزا که هیچ دوتایی از آنها موازی نیستند و هیچ سه تایی از آنها از یک نقطهی مشترک نمی‪-‬‬
‫گذرند‪ ،‬صفحه را به ‪ (n2+n+2)/2‬ناحیه تقسیم میکنند‪.‬‬
‫مسألهی سوم‪ .‬با استقرای قوی ثابت کنید ‪ √2‬عددی گنگ است‪.‬‬
‫مسألهی چهارم‪ .‬اشکال استدالل زیر را پیدا کنید‪:‬‬
‫حکم ‪ an :‬که در آن ‪ a‬یک عدد حقیقی غیرصفر است‪ ،‬به ازای همه ‪ n‬ها غیر منفی صحیح برابر ‪ ۱‬است‪.‬‬
‫گام پایه ‪a0=1 :‬‬
‫فرض استقرا ‪ :‬فرض میکنیم ‪ aj‬به ازای همه ‪j‬های صحیح و غیر منفی که ≤ برابر ‪ ۱‬است‪ .‬بنابراین داریم ‪:‬‬
‫‪ . 1.1‬‬
‫= =‬
‫‪=1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫مسألهی پنجم‪ .‬یک تعریف بازگشتی از معکوس یک رشته بدهید‪.‬‬
‫]راهنمایی ‪ :‬اول معکوس رشته تهی را تعریف کنید‪ .‬سپس یک رشتهی ‪ w‬به طول ‪ n+1‬را به صورت ‪ xy‬بنویسید که در آن ‪ x‬یک رشته به طول ‪n‬‬
‫‪R‬‬
‫است‪ .‬سپس معکوس ‪ w‬را در قالب ‪ x‬و ‪ y‬تعریف کنید‪[.‬‬
‫مسألهی ششم‪ .‬با استفاده از استقرای تعمیم یافته ثابت کنید ‪ am,n‬که تعریف بازگشتی آن به صورت زیر است‬
‫‪Am-1,n+2 if n=1 and m>1‬‬
‫= ‪am,n‬‬
‫‪, a0,0 = 5‬‬
‫‪Am,n-1+2 if n >1‬‬
‫به ازای همه ‪m‬و‪ n‬های صحیح مثبت برابر است با ‪. am,n =2(m+n)+1‬‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری چهارم‬
‫مسألهی هفتم‪ .‬اعداد فیبوناچی به صورت زیر تعریف شده است‪:‬‬
‫ ‪ = +‬‬
‫‪ = = 1‬‬
‫‬
‫ثابت کنید برای هر ‪ n‬بزرگتر از ‪− 1 : ۱‬‬
‫ = ‬
‫مسألهی هشتم‪ .‬مسئله برج هانوی را در نظر بگیرید و فرض کنید مهرهها در سه میله ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬قرار دارند‪ .‬محدودیتی که در حرکات‬
‫داریم این است که نمیتوانیم مهرهای را از میله ‪ A‬برداریم و بر روی میله ‪ C‬قرار دهیم‪ .‬همین طور نمی توانیم مهرهای را از میله ‪ c‬برداریم و بر‬
‫روی میله ‪ A‬قرار دهیم‪.‬‬
‫اگر در ابتدا ‪ n‬مهره بر روی میله ‪ A‬قرار داشته باشند‪ ،‬چند حرکت الزم است تا آنها را بر روی میله ‪ C‬قرار دهیم‪ ) .‬رابطه بازگشتی را بدست‬
‫آورید و حل کنید(‬
‫مسألهی نهم‪ .‬به کمک استقرا ثابت کنید به ازای هر ‪ ، n≥1‬یک عدد ‪ n‬رقمی از ارقام ‪ ۱‬و‪ ۲‬وجود دارد که بر ‪ 2n‬بخش پذیر است‪.‬‬
‫مسألهی دهم‪ .‬می دانیم تعداد ‪ 2n‬رشته از ‪ ۰‬و ‪ ۱‬به طول ‪ n‬وجود دارند‪ .‬می خواهیم این ‪ 2n‬رشته را طوری کنار هم قرار دهیم که هر‬
‫رشته با رشته بعدی خود فقط در یک مکان تفاوت داشته باشد‪ .‬برای مثال برای ‪ n=3‬این دنباله در زیر آمده است‪:‬‬
‫‪000 -> 001 -> 011 -> 010 -> 110 -> 111 -> 101 -> 001‬‬
‫ثابت کنید برای هر ‪ n‬می توان ‪ 2n‬رشته از ‪ ۰‬و ‪ ۱‬به طول ‪ n‬را با شرایط خواسته شده کنار هم قرار داد‪ ) .‬راهنمایی‪ :‬از استقرا بر روی ‪ n‬کمک‬
‫بگیرید‪(.‬‬
‫مسألهی یازدهم‪ .‬نشان دهید ‪ n‬دایره که هر دو تایشان دقیقا ‪ ۲‬نقطه تقاطع دارند و هیچ ‪ ۳‬تایی از ‪ ۱‬نقطه نمی گذرند‪ ،‬صفحه را به ‪n2-‬‬
‫‪ n+2‬ناحیه تقسیم می کند‪.‬‬
‫مسألهی دوازدهم‪ .‬دور یک دایره ‪ n‬پمپ بنزین وجود دارد که مجموع بنزین آنها برابر بنزین مورد نیاز یک ماشین برای پیمودن محیط‬
‫دایره است‪ .‬ثابت کنید ماشین با باک خالی می تواند حرکت خود را از یک پمپ بنزین آغاز کند و محیط دایره را دور بزند‪ ،‬بدون اینکه در بین‬
‫راه باکش خالی شود‪ ).‬اگر ماشین به پمپی رسید‪ ،‬می تواند تمام بنزین آن را در باکش خالی کند‪(.‬‬
‫»موفق باشید«‬