‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری پنجم‬
‫بهنام بخشنده دانایی‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری ششم‬
‫دستیار آموزشی‪ :‬شاهمحمدی‪ ،‬یزدانبد‬
‫مدرس‪ :‬آبام‬
‫مسألهی اول‪.‬‬
‫فرض کنید‪:‬‬
‫‬
‫‪1 + √2 = A
+ B
√2‬‬
‫برای ‪ An‬و ‪ Bn‬روابط بازگشتی بیابید و رابطه ‪ An‬را حل کنید‪.‬‬
‫مسئله دوم‪.‬‬
‫تساوی زیر را اثبات کنید‪.‬‬
‫
‬
‫‪n‬‬
‫!‪ ∗ D = n‬‬
‫‪k‬‬
‫‬
‫) ‪ Dk‬برابر تعداد پریشهای }‪ {1, 2, …, n‬است‪ .‬یعنی تعداد جایگشتهایی که کسی سر جای خود قرار نگرفته است‪(.‬‬
‫مسئله سوم‪.‬‬
‫چند دنباله از اعداد }‪ {1, 2, …, n‬وجود دارد که در آنها هیچ یک از دنبالههای ”‪ “n-1, n” ، ... ،“2, 3” ،“1, 2‬ظاهر نشوند؟‬
‫مسئله چهارم‪.‬‬
‫‪ 3n‬ﺗﻮپ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ دارﻳﻢ ﻛﻪ روي ﻫﺮ ﻛﺪام ﻳﻜﻲ از اﻋﺪاد ‪ 1‬ﺗﺎ ‪ n‬را ﻧﻮﺷﺘﻪاﻳﻢ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮري ﻛﻪ ﻫﺮ ﻋﺪد دﻗﻴﻘﺎ روي ‪ 3‬ﺗﻮپ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ‬
‫اﻳﻦ ﺗﻮپﻫﺎ را ﺑﻪ ‪ n‬دﺳﺘﻪ ‪ 3‬ﺗﺎﻳﻲ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮري ﻛﻪ اﻋﺪاد روي ﺗﻮپﻫﺎي ﻫﺮ دﺳﺘﻪ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﭼﻨﺪ روش ﻣﻲﺗﻮان اﻳﻦ ﻛﺎر را اﻧﺠﺎم‬
‫داد؟‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری پنجم‬
‫مسئله پنجم‪.‬‬
‫اعداد ‪ n ، ... ،۲ ،۱‬را روی یک دایره در جهت عقربههای ساعت چیدهایم‪ .‬از عدد ‪ ۱‬شروع و اعداد را یکی در میان حذف میکنیم تا سرانجام یک‬
‫عدد باقی بماند‪ .‬این عدد را )‪ J(n‬مینامیم‪ .‬مثال ‪ ،J(5)=3‬زیرا اگر اعداد ‪ ۱‬تا ‪ ۵‬را در دایره قرار دهیم‪ ،‬اعداد ‪ ۱ ،۴ ،۲‬و ‪ ۵‬به ترتیب حذف می‪-‬‬
‫شوند و عدد ‪ ۳‬باقی میماند‪ .‬همچنین به سادگی معلوم میشود که ‪J(1) = 1, J(2) = 1, J(3) = 3, J(4) = 1‬‬
‫الف( یک رابطه بازگشتی برای )‪ J(2*n‬و )‪ J(2*n + 1‬بیابید‪.‬‬
‫ب( فرض کنید ‪ n = 2m + k‬که در آن ‪ .0 <= k < 2m‬ثابت کنید ‪.J(n) = 2k + 1‬‬
‫پ( )‪ J(n‬چه رابطهای با نمایش باینری ‪ n‬دارد؟‬
‫مسئله ششم‪.‬‬
‫تعداد راههای قرار دادن اعداد ‪ ۱‬تا ‪ 2*n‬در یک جدول ‪ 2*n‬را بیابید‪ ،‬به طوری که اعداد واقع در هر سطر و هر ستون به صورت صعودی‬
‫باشند‪.‬‬
‫مسئله هفتم‪.‬‬
‫یک برج هانوی‪ ،۱‬با ‪ n‬مدل دیسک را در نظر بگیرید‪ .‬در ابتدا‪ ،‬از دیسک اندازه ‪ i ،i‬تا روی میله ‪ ۱‬قرار گرفته است‪ .‬میخواهیم همه دیسکها را‬
‫به میله شماره ‪ ۳‬ببریم‪ .‬یک الگوریتم بازگشتی برای این کار طراحی کنید و تعداد حرکات انجام شده در آن را بر حسب ‪ n‬محاسبه کنید‪.‬‬
‫مسئله هشتم‪.‬‬
‫فرض کنید ‪ An‬برابر تعداد دنبالههای ‪ x1, x2, …, xk‬باشد‪ ،‬به طوری که‪ k ) :‬یک عدد دلخواه است(‬
‫•‬
‫‪x1 = 1‬‬
‫•‬
‫‪xk = n‬‬
‫•‬
‫برای هر ‪ 1 < i < k‬داشته باشیم‪xi-1 < xi < xi+1 :‬‬
‫یک رابطه ساده برای ‪ An‬پیدا کنید‪.‬‬
‫‪http://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi‬‬
‫‪1‬‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری پنجم‬
‫مسئله نهم‪.‬‬
‫به چند روش میتوان ‪ ۲۵‬شیرینی یکسان را بین ‪ ۴‬مامور پلیس تقیسم کرد‪ ،‬به طوری که به هر شخص حداقل ‪ ۳‬و حداکثر ‪ ۷‬شیرینی برسد؟‬
‫مسئله دهم‪.‬‬
‫شکل صریح دنباله زیر را با استفاده از توابع مولد به دست بیاورید‪:‬‬
‫‪ = 3 + 4‬‬
‫»موفق باشید!«‬