‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری هشتم‬
‫بهنام بخشنده دانایی‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری هشتم‬
‫مدرس‪ :‬آبام‬
‫دستیار آموزشی‪ :‬شاهمحمدی‪ ،‬یزدانبد‬
‫مسألهی اول‪.‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮ ﮔﺮاف ‪ G‬ﺣﺪاﻗﻞ دو راس ﻏﻴﺮ ﺑﺮﺷﻲ دارد‪.‬‬
‫مسئله دوم‪.‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮ ﮔﺮاف دﻟﺨﻮاه ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ ، G‬ﻳﻚ زﻳﺮﮔﺮاف دوﺑﺨﺸﻲ دارد ﻛﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﻧﻴﻤﻲ از ﻳﺎلﻫﺎي ‪ G‬در آن آﻣﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫مسئله سوم‪.‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮ ﮔﺮاف ‪ G‬ﺑﺎ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ درﺟﺎت ‪ ،a‬زﻳﺮﮔﺮاﻓﻲ دارد ﻛﻪ در آن درﺟﻪ ﻫﺮ راس ﺑﻴﺸﺘﺮ ﻳﺎ ﻣﺴﺎوي ‪ a/2‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫مسئله چهارم‪.‬‬
‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ T‬ﻳﻚ درﺧﺖ ‪ k+1‬راﺳﻲ و ‪ G‬ﻳﻚ ﮔﺮاف ﺑﺎ ﻣﻴﻨﻴﻤﻮم درﺟﻪ ‪ k‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ‪ G‬ﻳﻚ زﻳﺮﮔﺮاف ﻳﻜﺮﻳﺨﺖ ﺑﺎ ‪ T‬دارد‪.‬‬
‫مسئله پنجم‪.‬‬
‫ﺗﻌﺪاد ﮔﺮافﻫﺎي ‪ n‬راﺳﻲ ﻫﻤﺒﻨﺪ ﺑﻴﺸﺘﺮاﺳﺖ ﻳﺎ ﮔﺮافﻫﺎي ‪ n‬راﺳﻲ ﻧﺎﻫﻤﺒﻨﺪ؟ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫مسئله ششم‪.‬‬
‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ G‬ﻳﻚ ﮔﺮاف ‪ n‬راﺳﻲ ‪ k‬ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺎ ﻛﻤﺮ ‪ m‬ﺑﺎﺷﺪ )ﻛﻤﺮ ﮔﺮاف ﺑﺮاﺑﺮ ﻃﻮل ﻛﻮﺗﺎهﺗﺮﻳﻦ دور در ﮔﺮاف اﺳﺖ(‪.‬‬
‫‪.i‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ ‪ ≥ 3‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧﮕﺎه ‪. ≥ 2‬‬
‫‪.ii‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ ‪ ≥ 4‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧﮕﺎه ‪. ≥ + 1‬‬
‫تمرین سری هشتم‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫مسئله هفتم‪.‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﮔﺮاف دﻟﺨﻮاه ‪ ) .min, ̅ ≤ 3 ،G‬ﻗﻄﺮ ﮔﺮاف = )‪.(diam(G‬‬
‫مسئله هشتم‪.‬‬
‫ﺑﻪ ﻳﻚ ﮔﺮاف ﻛﺎﻣﻞ ﻛﻪ ﻳﺎلﻫﺎي آن ﺟﻬﺖدار ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻳﻚ ﺗﻮرﻧﻤﻨﺖ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد )ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﺑﻴﻦ ﻫﺮ دو راس ‪ u‬و ‪ ،v‬دﻗﻴﻘﺎ ﻳﻜﻲ از ﻳﺎل‪-‬‬
‫ﻫﺎي )‪ (u, v‬ﻳﺎ )‪ (v, u‬در ﮔﺮاف وﺟﻮد دارد(‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮ ﺗﻮرﻧﻤﻨﺖ دﻟﺨﻮاه‪ ،‬ﻳﻚ ﻣﺴﻴﺮ ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ دارد‪) .‬ﻣﺴﻴﺮ ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ ﻣﺴﻴﺮي اﺳﺖ ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ‬
‫ﻫﻤﻪ رﺋﻮس ﮔﺮاف ﻣﻲﺷﻮد(‬
‫مسئله نهم‪.‬‬
‫ﺑﻪ راس ‪ k‬در ﺗﻮرﻧﻤﻨﺖ ‪ T‬ﻳﻚ راس ﺷﺎه ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد‪ ،‬اﮔﺮ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ راس ‪ x‬در ﮔﺮاف‪ ،‬ﻳﻚ ﻣﺴﻴﺮ ﺟﻬﺖدار ﺑﻪ ﻃﻮل ﺣﺪاﻛﺜﺮ ‪ 2‬از ‪ k‬ﺑﻪ ‪ x‬وﺟﻮد‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮ ﺗﻮرﻧﻤﻨﺖ ﻳﻚ راس ﺷﺎه دارد‪.‬‬
‫مسئله دهم‪.‬‬
‫گراف ‪) Qk‬مکعب ‪ k‬بعدی( به شکل زیر تعریف میشود‪:‬‬
‫•‬
‫رئوس گراف تمام رشته های ‪ k‬تایی از ‪ ۰‬و ‪ ۱‬هستند‪.‬‬
‫•‬
‫بین دو ‪ k‬تایی یال وجود دارد‪ ،‬اگر و تنها اگر دقیقا در یک بیت با هم اختالف داشته باشند‪.‬‬
‫‪.i‬‬
‫تعداد رئوس و تعداد یالهای ‪ Qk‬را مشخص کنید‪.‬‬
‫‪.ii‬‬
‫ثابت کنید به ازای هر ‪ Qk ،k‬دوبخشی است‪.‬‬
‫»موفق باشید!«‬