‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪا‬
‫درس ارﺗﺒﺎﻃﺎت داده‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ اول‬
‫ﻣﺮوري ﺑﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎ و ﺳﻴﺴﺘﻢﻫﺎ‬
‫ﻫﺪف از اﻳﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦ آﺷﻨﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﻣﺒﺎﻧﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﻣﺮور ﺑﺮﺧﻲ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻛﻠﻴﺪي آن ﻛﻪ در درس ارﺗﺒﺎﻃﺎت داده‬
‫ﻣﻮﺛﺮﻧﺪ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‪ ،‬اﻳﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺷﺎﻣﻞ درس ﻧﻴﺰ ﻫﺴﺖ‪ .‬در ﺑﺨﺶ اول ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﻼﺻﻪ ﺑﻪ ﻣﺮور ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬
‫ﻣﻲﭘﺮدازﻳﻢ‪ .‬ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺮاي ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﻪ ﻣﺮﺟﻊ درس ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎ و ﺳﻴﺴﺘﻢﻫﺎ ]‪ [1‬ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬در‬
‫ﺑﺨﺶ دوم ﭼﻨﺪ ﻣﺜﺎل ﺣﻞ ﺷﺪه و در ﺑﺨﺶ ﺳﻮم ﭼﻨﺪ ﺳﻮال ﺳﺎده ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﻤﺮﻳﻦ آﻣﺪه ﻛﻪ ﻻزم اﺳﺖ ﺷﻤﺎ‬
‫آﻧﻬﺎ را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫ﺷﻤﺎ ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﭘﺎﺳﺦ ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎ را روز ﭘﻨﺞ ﺷﻨﺒﻪ اول آﺑﺎن ‪ 93‬ﺗﺤﻮﻳﻞ دﻫﻴﺪ‪ .‬ﺿﻤﻨﺎً در ﻫﻤﺎن ﺗﺎرﻳﺦ‪ ،‬در ﻛﻼس‬
‫آزﻣﻮﻧﻲ از ﻣﺤﺘﻮﻳﺎت اﻳﻦ ﺟﺰوه ﺑﺮﮔﺰار ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺨﺶ اول‪ :‬ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ‬
‫‪-1‬‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭼﻴﺴﺖ؟‬
‫ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل در واﻗﻊ ﺗﺎﺑﻌﻲ از ﻳﻚ ﻳﺎ ﭼﻨﺪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻞ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺣﺎوي اﻃﻼﻋﺎت اﺳﺖ و ﺑﺮاي ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻳﻚ‬
‫ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻲ رود‪ .‬ﻫﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﻳﻚ‪ ،‬دو ﻳﺎ ﭼﻨﺪ ﺑﻌﺪي ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ ﺑﻌﺪ آن ﻣﻌﺮف ﻳﻚ ﻣﺘﻐﻴﺮ‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻳﺎ واﺑﺴﺘﻪ )ﺗﺎﺑﻊ( ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺎ در اﻳﻨﺠﺎ ﺑﺎ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻣﺎﻧﻲ دو ﺑﻌﺪي ﺳﺮ و ﻛﺎر دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻳﻚ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺑﻪ ﻧﺎم "زﻣﺎن" و ﻳﻚ ﻣﺘﻐﻴﺮ‬
‫واﺑﺴﺘﻪ دارﻧﺪ ﻛﻪ ﻣﻘﺪارش ﺗﺎﺑﻌﻲ از زﻣﺎن اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪-2‬‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎﻧﻲ‬
‫ﺑﺮ اﺳﺎس ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻳﺎ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﻮدن ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎن‪ ،‬ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ )‪ (CT‬و‬
‫زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ )‪ (DT‬ﻗﺎﺑﻞ ﻃﺒﻘﻪﺑﻨﺪياﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎﻳﻲ ﺑﻪ ﺻﻮرت )‪ x(t‬ﻛﻪ در آﻧﻬﺎ ‪ t‬ﻣﻴﺘﻮاﻧﺪ ﻫﺮ ﻣﻘﺪار ﺣﻘﻴﻘﻲ را اﺧﺘﻴﺎر ﻛﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ ‬ﻣﺜﺎل‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ ‪ 1‬ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪ - 1‬ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ‬
‫‪1‬‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎﻳﻲ ﺑﻪ ﺻﻮرت ]‪ x[n‬ﻛﻪ در آﻧﻬﺎ ‪ n‬ﻓﻘﻂ ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ را اﺧﺘﻴﺎر ﻛﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ ‬ﻣﺜﺎل‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ ‪ 2‬ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪ -2‬ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫‪-3‬‬
‫اﻧﺮژي و ﺗﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎل‬
‫ﺗﻌﺎرﻳﻒ اﻧﺮژي و ﺗﻮان ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ در ﺟﺪوﻟﻬﺎي ‪ 1‬و ‪ 2‬آﻣﺪه اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺟﺪول ‪ -1‬اﻧﺮژي و ﺗﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ‬
‫اﻧﺮژي‬
‫در ﺑﺎزه ‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‪1, 2‬‬
‫‬
‫∞‬
‫اﻧﺮژي ﻛﻞ‬
‫|‬
‫|‬
‫‬
‫‬
‫∞ ‪∞,‬‬
‫∞‬
‫ﺗﻮان ﻣﺘﻮﺳﻂ‬
‫ﺗﻮان ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻛﻞ‬
‫در ﺑﺎزه ‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‪2‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪→∞ 2‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫‪1, 2‬‬
‫∞ ‪∞,‬‬
‫‬
‫∞‬
‫ﺟﺪول ‪ - 2‬اﻧﺮژي و ﺗﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫در ﺑﺎزه ‪2‬‬
‫اﻧﺮژي‬
‫‪1‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‪1, 2‬‬
‫‬
‫∞‬
‫اﻧﺮژي ﻛﻞ‬
‫|‬
‫‬
‫|‬
‫‬
‫∞ ‪∞,‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫ﺗﻮان ﻣﺘﻮﺳﻂ‬
‫‪1‬‬
‫در ﺑﺎزه‬
‫|‬
‫‪2‬‬
‫ﺗﻮان ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻛﻞ‬
‫‪-4‬‬
‫|‬
‫‪1‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪→∞ 2‬‬
‫‬
‫‪1, 2‬‬
‫∞ ‪∞,‬‬
‫ﺑﺮﺧﻲ ﺧﻮاص ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ‬
‫در اﻳﻨﺠﺎ ﺳﻪ ﺧﺎﺻﻴﺖ اﻧﺘﻘﺎل زﻣﺎﻧﻲ‪ ،‬وارون ﺳﺎزي زﻣﺎﻧﻲ و ﻣﻘﻴﺎس دﻫﻲ زﻣﺎﻧﻲ را ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫اﻧﺘﻘﺎل زﻣﺎﻧﻲ‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫→‬
‫ ⇒ ‪0‬‬
‫→‬
‫→‬
‫ ⇒ ‪0‬‬
‫→‬
‫وارون ﺳﺎزي زﻣﺎﻧﻲ‬
‫→‬
‫ ⇒ ‬
‫→‬
‫→‬
‫ ⇒ ‬
‫→‬
‫ﻣﻘﻴﺎس دﻫﻲ زﻣﺎﻧﻲ‬
‫→‬
‫→‬
‫ ⇒ ∈ ‪ → ,‬‬
‫ ⇒ ∈‬
‫‪ ‬ﻣﺜﺎل‬
‫‪3‬‬
‫‪,‬‬
‫→ ‬
‫∞‬
‫در ﺷﻜﻞ ‪ 3‬ﻣﺜﺎﻟﻬﺎﻳﻲ از اﻳﻦ ﺳﻪ ﻧﻮع ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲﻛﻨﻴﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻧﺤﻮه ﺗﻐﻴﻴﺮ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺣﺎﺻﻞ ﺗﺒﺪﻳﻞ دﻗﺖ‬
‫ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪ - 3‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻫﺎ )ﻧﻤﻮدارﻫﺎي ردﻳﻒ دوم‪ ،‬ﺳﻮم و ﭼﻬﺎرم ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺣﺎﺻﻞ اﻧﺘﻘﺎل زﻣﺎﻧﻲ‪ ،‬وارون زﻣﺎﻧﻲ و ﻣﻘﻴﺎس دﻫﻲ زﻣﺎﻧﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﻮدار اول ﻫﺴﺘﻨﺪ(‬
‫‪4‬‬
‫ﻛﺎﻧﻮوﻟﻮﺷﻦ‬
‫‪-5‬‬
‫ﻋﻤﻠﮕﺮ ﻛﺎﻧﻮوﻟﻮﺷﻦ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻧﻤﺎد ∗ ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲﺷﻮد ﻛﺎرﺑﺮد زﻳﺎدي در ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ و ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎ‬
‫دارد و ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﺷﻮد‪:‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫∞ ‬
‫∗‬
‫∞ ‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‬
‫‬
‫∞ ‬
‫∗‬
‫∞ ‬
‫ﺑﺮاي آﺷﻨﺎﻳﻲ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﺎ ﻛﺎﻧﻮوﻟﻮﺷﻦ و ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻧﺤﻮه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ آن ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ اﻧﻴﻤﻴﺸﻦ ﺑﻪ ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ در‬
‫‪ Wikipedia‬ﺑﻪ ]‪ [2‬ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل زوج و ﻓﺮد‬
‫‪-6‬‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل‬
‫ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل زوج اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ‬
‫‬
‫و ﻓﺮد اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ‬
‫(‪.‬‬
‫)ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺮاي‬
‫ﺗﺠﺰﻳﻪ ﻫﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ دو ﺟﺰء زوج و ﻓﺮد‬
‫‬
‫)ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺮاي‬
‫‪-7‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫ ‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫ ‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎوب‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫ﻣﺘﻨﺎوب اﺳﺖ اﮔﺮ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ‪،t‬‬
‫‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ در آن‬
‫دوره ﺗﻨﺎوب ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ‪ .‬ﻛﻮﭼﻜﺘﺮﻳﻦ دوره ﺗﻨﺎوب ﻣﻤﻜﻦ‪ ،‬دوره ﺗﻨﺎوب اﺻﻠﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲ‪-‬‬
‫ﺷﻮد )ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺮاي‬
‫(‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ ‬ﻣﺜﺎل‬
‫ﺷﻜﻞ ‪ 4‬ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻣﺘﻨﺎوب ﺑﺎ دوره ﺗﻨﺎوب اﺻﻠﻲ ‪ T‬و ﺷﻜﻞ ‪ 5‬ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﺎ‬
‫دوره ﺗﻨﺎوب اﺻﻠﻲ ‪ 4‬را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪4‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪5‬‬
‫در اداﻣﻪ ﭼﻨﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﺎﻳﻪاي ﻣﻬﻢ را ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ ﺑﺮاي ﻣﺪل ﻛﺮدن رﻓﺘﺎر ﺑﺴﻴﺎري از ﺳﻴﺴﺘﻢ‬
‫ﻫﺎي ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ ﻣﻨﺎﺳﺐاﻧﺪ‪ .‬ﺿﻤﻦ اﻳﻨﻜﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از آﻧﻬﺎ ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺴﻴﺎري از ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﭘﻴﭽﻴﺪهﺗﺮ را ﺗﻌﺮﻳﻒ و‬
‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻛﺮد‪.‬‬
‫‪-8‬‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﺎﻳﻲ و ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ‬
‫ ‬
‫ﻛﻪ در آن‬
‫و‬
‫در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ اﻋﺪاد ﻣﺨﺘﻠﻂ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﺎﻳﻲ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫و‬
‫ﻫﺮ دو ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ آﻧﮕﺎه‬
‫ﻳﻚ‬
‫اﮔﺮ‬
‫ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ ﻣﺘﻨﺎوب ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻲ‬
‫آﻧﮕﺎه‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻤﺎﻳﺶ داد‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺷﺮط ﻣﺘﻨﺎوب ﺑﻮدن اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻛﺮد‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫ ‬
‫را ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺻﻠﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ و راﺑﻄﻪ آن ﺑﺎ دوره ﺗﻨﺎوب اﺻﻠﻲ‬
‫‪2‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‬
‫‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ‬
‫ﻛﻪ دوره ﺗﻨﺎوب‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪cos‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪sin‬‬
‫و‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫ﻫﻢ ﻣﺎﻧﻨﺪ‬
‫|‬
‫|‬
‫‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻧﻜﺘﻪ( ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﻣﺘﻨﺎوب داراي اﻧﺮژي ﻛﻞ ﻧﺎﻣﺤﺪود و ﺗﻮان ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻛﻞ ﻣﺤﺪودﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﺎﻳﻲ و ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫‪-9‬‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ‬
‫‬
‫اﮔﺮ‬
‫و‬
‫ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ آﻧﮕﺎه‬
‫‪,‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﻤﺎﻳﻲ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻲﺗﻮان آن را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻤﺎﻳﺶ داد‪:‬‬
‫اﮔﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎوب ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺻﻠﻲ‬
‫‬
‫ | | ‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪cos‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪sin‬‬
‫‪7‬‬
‫ﻧﻜﺘﻪ( ﻫﻢ‬
‫‬
‫‬
‫و ﻫﻢ‬
‫‪cos‬‬
‫‬
‫داراي اﻧﺮژي ﻛﻞ ﻧﺎﻣﺤﺪود و ﺗﻮان ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻛﻞ‬
‫ﻣﺤﺪودﻧﺪ‪.‬‬
‫‪ -10‬ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺿﺮﺑﻪ و ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻠﻪ واﺣﺪ زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺿﺮﺑﻪ واﺣﺪ‬
‫‪1,‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪δ‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪6‬‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻠﻪ واﺣﺪ‬
‫‪1,‬‬
‫‪0,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫ﺷﻜﻞ ‪7‬‬
‫رواﺑﻂ‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫∞‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪8‬‬
‫‪ -11‬ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺿﺮﺑﻪ و ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻠﻪ واﺣﺪ زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻠﻪ واﺣﺪ‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪0,‬‬
‫‬
‫ﺷﻜﻞ ‪8‬‬
‫ ﻧﺎﭘﻴﻮﺳﺘﮕﻲ دارد(‬
‫)اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ در‪0‬‬
‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺿﺮﺑﻪ واﺣﺪ‬
‫‪0,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∞,‬ﻳﺎ‪ 1‬‬
‫‪0‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪9‬‬
‫رواﺑﻂ‬
‫و‬
‫‬
‫‬
‫∞‬
‫‪9‬‬
‫‪t‬‬
‫ﺑﺮﺧﻲ ﻧﻜﺎت درﺑﺎره‬
‫ﺑﻪ ﺟﺎي‬
‫و‬
‫‪ ،‬ﺗﻮاﺑﻊ‬
‫∆‬
‫و‬
‫∆‬
‫ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ ‪ 10‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪.‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪10‬‬
‫ﻛﻪ در آن‬
‫∆‬
‫∆‬
‫‬
‫∆‬
‫‬
‫∆‬
‫∞‬
‫اﮔﺮ ‪ ∆→ 0‬ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ‬
‫∆‬
‫‪ lim‬‬
‫∆‬
‫‪ lim‬‬
‫→∆‬
‫→∆‬
‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ رواﺑﻂ زﻳﺮ ﺑﺮﻗﺮارﻧﺪ‪:‬‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫∞‬
‫‬
‫‪ 10‬‬
‫‪ -12‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ‬
‫در ﺑﺴﻴﺎري ﻣﻮاﻗﻊ ﻧﻴﺎز دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎﻧﻲ‪ ،‬آن را از ﺣﻮزه زﻣﺎن ﺑﻪ ﺣﻮزه‬
‫ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﻧﺘﻘﺎل دﻫﻴﻢ‪ .‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ اﻳﻦ اﻣﻜﺎن را ﺑﻪ ﻣﺎ ﻣﻲدﻫﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻏﻴﺮﻣﺘﻨﺎوب زﻣﺎن‪-‬‬
‫ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ رواﺑﻂ زﻳﺮ ﺑﺮﻗﺮارﻧﺪ‪:‬‬
‫را ﺑﺎ‬
‫‪,‬‬
‫↔‬
‫ﻳﺎ‬
‫∞‬
‫‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫و ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫‪1‬‬
‫ ‬
‫‪2‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫↔‬
‫∞‬
‫‬
‫∞ ‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ -13‬ﺑﺮﺧﻲ ﺧﻮاص ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ‬
‫↔‬
‫ﺧﻮاص زﻳﺮ ﺑﺎ ﻓﺮض‬
‫↔‬
‫‪،‬‬
‫↔‬
‫و‬
‫زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺑﺮﻗﺮارﻧﺪ )رواﺑﻂ ﻣﺸﺎﺑﻬﻲ ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﻴﺰ ﺑﺮﻗﺮارﻧﺪ(‪.‬‬
‫ﺧﻄﻲ ﺑﻮدن‬
‫‬
‫ ↔ ‬
‫‬
‫ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس زﻣﺎﻧﻲ‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫| |‬
‫ ↔ ‬
‫‪ 11‬‬
‫‬
‫ﺑﺮاي ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي‬
‫اﻧﺘﻘﺎل زﻣﺎﻧﻲ‬
‫ ↔ ‬
‫اﻧﺘﻘﺎل ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ‬
‫ ↔ ‬
‫ﻣﺪوﻻﺳﻴﻮن‬
‫‪1‬‬
‫ ‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ ↔ ‬
‫‪2‬‬
‫‪cos‬‬
‫ﻣﺸﺘﻖ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ‬
‫‬
‫‬
‫ ↔ ‬
‫ﻣﺸﺘﻖ زﻣﺎﻧﻲ‬
‫‬
‫ ↔ ‬
‫‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺖ دوﮔﺎﻧﻲ‬
‫ ‪ ↔ 2‬‬
‫ﺿﺮب و ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ‬
‫‪.‬‬
‫‬
‫∗‬
‫‬
‫ ↔ ‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪2π‬‬
‫ ↔ ‪t‬‬
‫∗ ‪t‬‬
‫‪t .‬‬
‫اﻧﺘﮕﺮال‬
‫‪0‬‬
‫ ‬
‫ ↔ ‬
‫∞‬
‫‪ -14‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﭼﻨﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻬﻢ‬
‫در ﺟﺪولﻫﺎي ‪ 3‬و ‪ 4‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺗﻌﺪادي از ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎي ﻣﻬﻢ زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ را‬
‫ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ 12‬‬
‫ﺟﺪول ‪ - 3‬ﺗﺒﺪﻳﻼت ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ‬
‫‪ 13‬‬
‫در ‪ Wikipedia‬ﺷﻜﻞ ﺗﺎﺑﻊ ‪ sinc‬در ]‪ [3‬و ﻣﻮج ﻣﺮﺑﻌﻲ در ]‪ [4‬را ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫ﺟﺪول ‪ - 4‬ﺗﺒﺪﻳﻼت ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫‪ -15‬ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداري‬
‫ﻋﻤﺪه ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ﻣﻮﺟﻮد در ﻃﺒﻴﻌﺖ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻫﺎي ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮي ﺗﻮان‬
‫ﭘﺮدازش ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ را دارﻧﺪ‪ .‬از ﻃﺮﻳﻖ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداري ﻣﻲﺗﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ را ﺑﻪ‬
‫زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮد‪ .‬ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻛﺎر ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب دوره ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداري‬
‫)‬
‫ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ( را ﻧﮕﻪ داﺷﺘﻪ و ﺑﻘﻴﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل را دور ﻣﻲرﻳﺰﻳﻢ‪.‬‬
‫‪ 14‬‬
‫‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﺳﻴﮕﻨﺎل در زﻣﺎﻧﻬﺎي‬
‫‪ ‬ﻣﺜﺎل‬
‫رواﺑﻂ زﻳﺮ و ﺷﻜﻞ ‪ ،13‬ﻣﺮاﺣﻞ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداري ﺳﻴﮕﻨﺎل‬
‫را ﻧﺸﺎن ﻣﻲ‪-‬‬
‫ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻗﻄﺎر ﺿﺮﺑﻪ‬
‫دﻫﻨﺪ‪.‬‬
‫∞‬
‫‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‬
‫‬
‫∞‬
‫‬
‫∞‬
‫ﺷﻜﻞ ‪11‬‬
‫‪ -16‬ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻛﺮدن‬
‫ﻓﻴﻠﺘﺮ ﺳﻴﺴﺘﻤﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ آن ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺷﻜﻞ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي ورودي را ﺗﻐﻴﻴﺮ دﻫﻴﻢ ﻳﺎ ﺑﺨﺸﻬﺎﻳﻲ از ﻃﻴﻒ‬
‫ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ آن را ﻧﮕﻪ داﺷﺘﻪ و ﺑﻘﻴﻪ ﻃﻴﻒ را دور ﺑﻴﻨﺪازﻳﻢ‪ .‬ﺷﻜﻞ ‪ 12‬ﻳﻚ ﻓﻴﻠﺘﺮ را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت‬
‫رواﺑﻂ زﻳﺮ ﺑﺮﻗﺮارﻧﺪ )ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺮاي‬
‫(‪:‬‬
‫;‬
‫‪ 15‬‬
‫∗‬
‫‬
‫ﺷﻜﻞ ‪ – 12‬ﻓﻴﻠﺘﺮ‬
‫در رواﺑﻂ ﺑﺎﻻ‬
‫اﺳﺖ ﻛﻪ‬
‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻓﻴﻠﺘﺮ‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻓﻴﻠﺘﺮ اﺳﺖ )ﺑﻪ‬
‫اﻳﻦ ﻣﻌﻨﺎ ﻛﻪ اﮔﺮ اﻳﻦ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺿﺮﺑﻪ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ورودي ﺑﮕﻴﺮد‪ ،‬ﺧﺮوﺟﻲ ﺳﻴﺴﺘﻢ‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد(‪.‬‬
‫ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻓﻴﻠﺘﺮ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺮ اﺳﺎس ﻧﻮع ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪي ﻃﺮاﺣﻲ و ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﺮد‪.‬‬
‫ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﭼﻪ ﺑﺨﺸﻲ از ﻃﻴﻒ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ورودي را ﻣﻲﮔﺬراﻧﺪ و ﭼﻪ ﻃﻴﻔﻲ را ﮔﺬر ﻧﻤﻲدﻫﺪ‪،‬‬
‫ﻣﻲﺗﻮان ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎ را ﺑﻪ دﺳﺘﻪﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻔﻲ ﻃﺒﻘﻪﺑﻨﺪي ﻛﺮد‪ .‬ﻣﻬﻤﺘﺮﻳﻦ ﻧﻮع ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪ :‬ﻓﻴﻠﺘﺮ ﭘﺎﻳﻴﻦ‪-‬‬
‫ﮔﺬر)‪ ،(LPF‬ﻓﻴﻠﺘﺮ ﺑﺎﻻﮔﺬر )‪ (HPF‬و ﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﻴﺎنﮔﺬر )‪ .(BPF‬در ﺷﻜﻞﻫﺎي ‪ 13‬و ‪ 14‬ﻣﺸﺨﺼﻪ اﻳﻦ ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎ را‬
‫ﺑﺮاي دو ﻧﻮع ﺳﻴﺴﺘﻢ زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲﻛﻨﻴﺪ )اﻳﻦ ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎ از ﻧﻮع اﻳﺪهآل ﻫﺴﺘﻨﺪ(‪.‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪ - 13‬ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎي زﻣﺎن‪-‬ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ )از ﺑﺎﻻ ﺑﻪ ﭘﺎﻳﻴﻦ‪ HPF ،LPF :‬و ‪(BPF‬‬
‫‪ 16‬‬
(BPF ‫ و‬HPF ،LPF :‫ﮔﺴﺴﺘﻪ )از ﺑﺎﻻ ﺑﻪ ﭘﺎﻳﻴﻦ‬-‫ ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎي زﻣﺎن‬- 14 ‫ﺷﻜﻞ‬
‫ﻣﺮاﺟﻊ‬
[1] Oppenheim, Alan V., Willsky, Alan S., and Nawab, Syed Hamid. Signals and systems.
Prentice Hall, 1997.
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Square_wave
17
‫ﺑﺨﺶ دوم‪ :‬ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺣﻞ ﺷﺪه‬
‫‪ -1‬ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻫﺮﻳﻚ از ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ ﻣﺘﻨﺎوﺑﻨﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ‪ .‬در ﺻﻮرت ﻣﺘﻨﺎوب ﺑﻮدن‪ ،‬دوره ﺗﻨﺎوب‬
‫اﺻﻠﻲ آﻧﻬﺎ را ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‬
‫اﻟﻒ(‬
‫ب(‬
‫ﺣﻞ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( ﻣﺘﻨﺎوب ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ﺑﻪ ازاي‬
‫‪.‬‬
‫دارﻳﻢ‬
‫ب( دارﻳﻢ‪ :‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎوب اﺳﺖ ﺑﺎ دوره ﺗﻨﺎوب ‪.8‬‬
‫‪ -2‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‬
‫ﺣﻞ‪:‬‬
‫| |‬
‫| |‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‬
‫↔‬
‫‬
‫∗‬
‫↔‬
‫ ↔ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫| |‪,‬‬
‫‬
‫‪,‬‬
‫‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ 18‬‬
‫⇒‬
‫‪ -3‬ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي‬
‫و‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ داده ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬اﺑﺘﺪا‬
‫∗‬
‫ﺑﺎ ﻋﻤﻞ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﻛﺎﻧﻮوﻟﻮﺷﻦ‬
‫‬
‫را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ و‬
‫را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫‬
‫‪,‬‬
‫ﺣﻞ‪:‬‬
‫‬
‫‪/‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ -4‬ﺳﻴﮕﻨﺎل‬
‫‬
‫‪/‬‬
‫‬
‫‬
‫‪/‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫ ‬
‫را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ‬
‫| |‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫‬
‫را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪:‬‬
‫‬
‫∗‬
‫‬
‫‬
‫↔‬
‫↔‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‬
‫‪ 19‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫ﺑﺨﺶ ﺳﻮم‪ :‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫‪ -1‬اﮔﺮ ﻧﻤﻮدار ﺳﻴﮕﻨﺎل‬
‫ زوج ‪,‬‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺷﻜﻞ زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻧﻤﻮدار ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي‬
‫‬
‫ﻓﺮد‪,‬‬
‫و‬
‫را ﺗﺮﺳﻴﻢ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ -2‬ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺟﻤﻊ دو ﺟﺰء زوج و ﻓﺮد ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ‪.‬‬
‫‪, , ,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‬
‫‪ -3‬ﻣﺤﺪود ﺑﻮدن ﻳﺎ ﻧﺎﻣﺤﺪود ﺑﻮدن اﻧﺮژي ﻛﻞ و ﺗﻮان ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻛﻞ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ را ﺗﻌﻴﻴﻦ‬
‫ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫| | ‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫ب(‬
‫ج(‬
‫‬
‫‬
‫ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ آن‬
‫‪ -4‬ﺳﻴﮕﻨﺎل‬
‫اﺳﺎس‬
‫ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ب(‬
‫ج(‬
‫را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ را ﺑﺮ‬
‫‬
‫‬
‫‪ 20‬‬
‫‪ -5‬ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻫﺮﻳﻚ از ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي زﻳﺮ ﻣﺘﻨﺎوب اﻧﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ‪ .‬در ﺻﻮرت ﻣﺘﻨﺎوب ﺑﻮدن‪ ،‬دوره‬
‫ﺗﻨﺎوب اﺻﻠﻲ آﻧﻬﺎ را ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‬
‫اﻟﻒ(‬
‫ب(‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ج(‬
‫‪ -6‬ﺳﻴﮕﻨﺎل‬
‫∞∑ ‬
‫∞‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪:‬‬
‫ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬
‫‬
‫اﻟﻒ( آﻳﺎ‬
‫‬
‫ﻣﺘﻨﺎوب اﺳﺖ؟‬
‫ب( آﻳﺎ ﺣﺎﺻﻞ ﻛﺎﻧﻮوﻟﻮﺷﻦ‬
‫∗‬
‫ﻣﺘﻨﺎوب اﺳﺖ؟‬
‫‪ -7‬از ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺟﺪوﻟﻬﺎي ‪ 3‬و ‪ ،4‬ﻳﻚ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را ﺑﻪ دﻟﺨﻮاه ﺧﻮد اﺛﺒﺎت ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ -8‬ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎي‬
‫و‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ داده ﺷﺪه اﻧﺪ‪ .‬اﺑﺘﺪا‬
‫∗‬
‫ﺑﺎ ﻋﻤﻞ ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﻛﺎﻧﻮوﻟﻮﺷﻦ‬
‫‬
‫را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‬
‫‪ -9‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻳﺮ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫| |‬
‫‪,| | 1‬‬
‫‪ 21‬‬
‫را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ و‬
‫‬