‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪا‬
‫ﮐﻮﯾﯿﺰ ﺷﻤﺎره ‪ 1‬درس ﻧﻈﺮﯾﻪ زﺑﺎﻧﻬﺎ و ﻣﺎﺷﯿﻨﻬﺎ‬
‫ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽ‪:‬‬
‫ﻧﺎم و ﻧﺎم ﺧﺎﻧﻮادﮔﯽ‪:‬‬
‫ﺑﻬﺎر ‪1391‬‬
‫‪ (1‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ C‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاي از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪهاﺳﺖ‪ 20) :‬ﻧﻤﺮه(‬
‫‪ ‬ﻣﺮﺣﻠﻪ ‪.Ø ∈ C :1‬‬
‫‪ ‬ﻣﺮﺣﻠﻪ ‪ :2‬اﮔﺮ ‪ S1 ∈ C‬و ‪ ،S2 ∈ C‬آﻧﮕﺎه ‪.{S1 , S2} ∈ C‬‬
‫‪ ‬ﻣﺮﺣﻠﻪ ‪ :3‬اﮔﺮ ‪ S1 ∈ C‬و ‪ ،S2 ∈ C‬آﻧﮕﺎه ‪.S1 × S2 ∈ C‬‬
‫‪ C ‬ﭼﯿﺰي ﺟﺰ آﻧﭽﻪ از اﻋﻤﺎل ﻣﺮاﺣﻞ ‪ 1‬و ‪ 2‬و ‪ 3‬ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽآﯾﺪ ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫اﻟﻒ( آﯾﺎ ‪ {Ø,{Ø}} ∈ C‬اﺳﺖ؟ ﭼﺮا؟ )‪ 2‬ﻧﻤﺮه(‬
‫ب( ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ S‬از زوجﻫﺎي ﻣﺮﺗﺐ را ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاي ﮐﻪ ‪ S∈ C‬ﺑﺎﺷﺪ و ‪ 5) .|S|>1‬ﻧﻤﺮه(‬
‫ج( آﯾﺎ ‪ C‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاي ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﯽ را ﺷﺎﻣﻞ ﻣﯽﺷﻮد؟ ﭼﺮا؟ )‪ 5‬ﻧﻤﺮه(‬
‫د( آﯾﺎ ‪ C‬ﺷﻤﺎر اﺳﺖ ﯾﺎ ﻧﺎﺷﻤﺎرا؟ ﭼﺮا؟ )‪ 8‬ﻧﻤﺮه(‬
‫‪ (2‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎي ‪ X‬و ‪ ،Y‬و ﺗﺎﺑﻊ ‪ f: X→Y‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ P(X‬و )‪ P(Y‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎي‬
‫ﻧﻤﺎﯾﯽ ‪ X‬و ‪ Y‬ﻫﺴﺘﻨﺪ و )‪ F:P(X)→P(Y‬ﺗﺎﺑﻊ دﯾﮕﺮي اﺳﺖ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاي ﮐﻪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ‪،W ⊆X‬‬
‫}‪F(W) = {y∈Y | y=f(x) for some x∈W‬‬
‫اﮔﺮ ‪ A,B⊆X‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﮐﺪامﯾﮏ از رواﺑﻂ زﯾﺮ ﻫﻤﻮاره درﺳﺖ اﺳﺖ و ﮐﺪاﻣﯿﮏ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ ﻫﻤﻮاره درﺳﺖ ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ؟‬
‫ﭼﺮا؟ )‪10‬ﻧﻤﺮه(‬
‫اﻟﻒ( )‪F(A∪B) = F(A) ∪ F(B‬‬
‫ب( )‪F(A∩B) = F(A) ∩F(B‬‬
‫( ﻋﻤﻞ ‪ Split‬را روي ﯾﮏ زﺑﺎن ﺑﺎ اﻟﻔﺒﺎي }‪={x‬‬
‫∑‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬
‫}‪Split ( L)  {a m b n | x m n  L‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ زﺑﺎنﻫﺎي ﻣﻨﻈﻢ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻋﻤﻞ ﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ‪ 15) .‬ﻧﻤﺮه(‬
‫‪ (4‬اﺗﻮﻣﺎﺗﺎي زﯾﺮ را ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت ﻣﻨﻈﻢ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﮐﻨﯿﺪ )‪ 15‬ﻧﻤﺮه(‪:‬‬
‫‪ (5‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ زﺑﺎنﻫﺎي زﯾﺮ ﻣﻨﻈﻢ ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ )‪ 20‬ﻧﻤﺮه(‪:‬‬
‫اﻟﻒ( }) (‬
‫>) (‬
‫‪∈ {0,1}∗ ,‬‬
‫| {‬
‫ب( }‪{aP|P is a prime number‬‬
‫‪ (6‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ‪ NFA‬را ﺗﻐﯿﯿﺮ دﻫﯿﻢ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاي ﮐﻪ رﺷﺘﻪ را ﺗﻨﻬﺎ در ﺻﻮرﺗﯽ ﺑﭙﺬﯾﺮد ﮐﻪ ﺗﻤﺎم ﻣﺴﯿﺮﻫﺎي‬
‫ﻣﻤﮑﻦ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﭘﺬﯾﺮش ﻣﻨﺘﻬﯽ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﮐﻪ اﯾﻦ ﻧﻮع از ‪ NFA‬ﻫﺎ دﻗﯿﻘﺎً ﻫﻤﺎن ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ زﺑﺎنﻫﺎي ﻣﻨﻈﻢ‬
‫را ﻣﯽﭘﺬﯾﺮﻧﺪ‪) .‬راﻫﻨﻤﺎﯾﯽ‪ :‬روش ﺗﺒﺪﯾﻞ اﯾﻦ ‪ NFA‬ﻫﺎ را ﺑﻪ ‪ DFA‬ﻣﻌﺎدل آن ﺑﯿﺎن ﮐﻨﯿﺪ( )‪ 20‬ﻧﻤﺮه(‬