‫موعد تحویل‪ :‬روز امتحان پایانترم‬
‫تمرین سری هشتم نظریه زبانها و ماشینها‬
‫‪ .1‬درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید‪.‬‬
‫الف) مجموعهی زبانهای تشخیصپذیر تورینگ نسبت به عمل الحاق بسته است‪.‬‬
‫ب) اشتراک یک زبان تشخیصپذیر و یک زبان تشخیصناپذیر تورینگ‪ ،‬تشخیصناپذیر است‪.‬‬
‫ج) اگر زبانی تصمیمپذیر نباشد‪ ،‬مکمل آن نیز تصمیمپذیر نخواهد بود‪.‬‬
‫‪ .2‬ثابت کنید مسائل زیر دربارهی ماشین تورینگ تصمیمپذیر هستند‪.‬‬
‫الف) آیا ماشین تورینگ ‪ M‬در پردازش ورودی ‪ x‬بیش از ‪ k‬مرحله را طی میکند‪.‬‬
‫ب) آیا یک ورودی وجود دارد که ماشین تورینگ ‪ M‬در پردازش آن بیش از ‪ k‬مرحله طی کند؟‬
‫ج) آیا ماشین تورینگ ‪ M‬در پردازش تمام ورودیها بیش از ‪ k‬مرحله طی میکند؟‬
‫د) آیا ماشین تورینگ ‪ M‬در پردازش ورودی ‪ x‬حداقل یک بار کارکتر خالی از روی نوار میخواند؟‬
‫‪ .3‬ثابت کنید که زبانهای زیر تصمیمپذیر هستند‪.‬‬
‫الف)‬
‫ب)‬
‫}*‪AllDFA = {<A>| A is a DFA and L(A) = Σ‬‬
‫}‪AεCFG = {<G>| G is a CFG that generates ε‬‬
‫ج) })‪{<G> | G is a CFG over {0,1} and 1* ⊆ L(G‬‬
‫د)‬
‫}‪{<M> | M is a DFA that accepts some string containing an equal number of 0s and 1s‬‬
‫‪ .4‬الف) ثابت کنید یک زبان تصمیمپذیر است اگر و فقط اگر یک ‪ enumerator‬وجود داشته باشد که رشتههای زبان را به‬
‫ترتیب الفبایی لیست کند‪.‬‬
‫ب) با استفاده از "الف" ثابت کنید هر زبان تشخیصپذیر نامتناهی یک زیرمجموعهی تصمیمپذیر دارد‪.‬‬
‫‪ .5‬ثابت کنید زبانهای زیر تصمیمناپذیر هستند‪ ،‬و بررسی کنید که آیا ‪ recognizable‬و یا ‪ co-recognizable‬هستند یا‬
‫خیر‪.‬‬
‫الف) مجموعهی >‪ <M‬هایی که در آن ‪ M‬تعریف یک ماشین تورینگ با زبان منظم است‪.‬‬
‫ب) مجموعهی >‪ <M‬هایی که در آن ‪ M‬تعریف یک ماشین تورینگ است که زبانش دارای این ویژگیها است‪:‬‬
‫}‪ L(M) ⊆ {0,1‬و رشتهی ‪ w‬را میپذیرد‪ ،‬اگر و تنها اگر ‪ not‬آن را هم بپذیرد‪.‬‬
‫ج) مجموعهی >‪ <M1, M2‬هایی که در آن ‪ M1‬و ‪ M2‬ماشین دو ماشین تورینگ هستند که‬
‫د) مجموعهی‬
‫‪L(M1) ∩ L(M2) = ø‬‬
‫>‪ <M1 , M2‬هایی که در آن ‪ M1‬و ‪ M2‬ماشین دو ماشین تورینگ هستند که |)‪|L(M1)| < |L(M2‬‬
‫( دقت کنید که اگر ‪ M‬ماشین تورینگ باشد‪ L(M) ،‬یا متناهی است و یا |‪)|L(M)| = |N‬‬
‫ه) مجموعهی >‪ <G‬هایی که در آن‪ G ،‬یک گرامر مستقل از متن است و‬
‫*‪L(G) = Σ‬‬
‫و) مجموعهی >‪ <G‬هایی که در آن‪ G ،‬یک گرامر مستقل از متن است و زبان آن مبهم است‪.‬‬
‫‪ .6‬یک ‪ NFA‬را مبهم مینامیم در صورتی که رشتهای وجود داشته باشد که این ‪ NFA‬آن را در حداقل دو مسیر متفاوت‬
‫بپذیرد‪ .‬نشان دهید زبان {‪ N‬یک ‪ NFA‬مبهم است | <‪ }>N‬تصمیم پذیر است‪.‬‬