В МОСКОВСКОМ М А Т Е М А Т И Ч Е С К О М
237
ОБЩЕСТВЕ
О ФОРМУЛАХ ДЛЯ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ДЕЙСТВИЯ ГРУППЫ Z p
С. М. Г у с е й н - З а д е , И. М. К р и ч е в е р
Заметка посвящена выводу формул для инвариантов в теории бордизмов неподвиж­
ных точек ^-действия группы Z p . Эти формулы были получены А. С. Мищенко в работе [1].
Некоторые неточности, содержащиеся в этой работе, привели к тому, что при верной
схеме доказательства окончательные формулы выписаны неверно. В связи с этим необ­
ходимо внести исправления в некоторые формулы обзора В. М. Бухштабера, А. С. Ми­
щенко, С П . Новикова «Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической топо­
логии» (УМН 26:2 (1971), 131—154), а также в работы [2], [4].
В работе [1] вычислялся гомоморфизм
Р-1
а: А= ® UJ
П
BU{nk))-+U*(BZp))9
Здесь А — модуль £/-бордизмов векторных Zp-пучков над тривиальными Zp-многообразиями со свободным действием группы на пучке сфер. Это действие и определяет образ
класса бордизмов при гомоморфизме а. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы
-пользуемся обозначениями работы [1].
При выводе формулы, связывающей ряды Gt(u, t) и Gk(u, t) (к ф 0 mod p), было
использовано соотношение
Фь-1, * (Da (A±(u, t)l)) = Da (Ak (и, *)*),
оо
где Аи (и, 0 = 2
Ф*-1 ([u]k) =
u
х иЩп
к
'
в
действительности
из
формул
ф^_х
#(а
(х™)) = а (я£),
и известного тождества f*(f* (x) y) = xf*(y) вытекает, что
Фл-1, * (Da (Ai ("• t)l)) = Da (Ak([u]k, t)l) = Da (Ah (u, J i j k ^ ' j .
Здесь [u]k — к-я степень в формальной группе «геометрических» кобордизмов. Дословное
повторение дальнейших вычислений приводит к формуле
или
Следовательно,
/
Gn,h{u)==:
\п+1
и
\luk)
Из работы [1] следует формула Gt(u, t) =
Gn
^^u^'
U
г
!f \
, где f(u, ^ — формальная груп-
па геометрических кобордизмов. Эта формула справедлива, если в качестве базисных
элементов х\ использовать С Р» с хопфовским пучком и с действием, совпадающим с умно­
жением на ехр(2яг/с/р). Необходимость этой замены базиса вызвана тем, что в вычисле­
ниях работы [1] было использовано то, что пучок сфер канонического пучка (отличаю­
щегося от хопфовского сопряжением), на котором Z p действует умножением на exp(2jti/p),
совпадает со сферой в C n + 1 с тем же действием. На самом деле это верно для хопфовского
пучка. Аккуратные выкладки для канонических пучков, проведенные по схеме А. С. Мищенко, дают следующую формулу Gt{u, t) = —
с хопфовским пучком есть СР
п
х СР™
с
—' (надо только заметить, что
wn,m
пучком £4 ®|" 2 , пучки gf — канонические).
238
В МОСКОВСКОМ М А Т Е М А Т И Ч Е С К О М
ОБЩЕСТВЕ
В обзоре [3] на странице 146 требуется заменить формулу для
а((к±,
яг±), . . ., (kh
хг)
на следующую:
I
a((fcl, xl)t ..., (fc„ *,)) = [ П G* (["Ц' Щ~ '*) Ж - 1 ,
q=l
X
Q
X
Q
l
Л;
"
П «2»-i(l. .... 1).
l
Аналогичные исправления следует внести в работы [2] и [4]. В работе [4] следует также
заменить Wi(u, v) на W-Ди, v) (если использовать хопфовские пучки, то Wl остается
прежним).
ЛИТЕРАТУРА
[1] А. С. М и щ е н к о , Бордизмы с действием группы Zp и неподвижные точки, Матем.
сб. 80 (122) (1969), 307—313.:!
[2] В. М. Б у х ш т а б е р , С. П. Н о в и к о в , Формальные группы, степенные системы
и операторы Адамса, Матем. сб. 84 (126) (1971), 116—153.
[3] В. М. Б у х ш т а б е р, А. С. М и щ е н к о, С. П. Н о в и к о в, Формальные группы
и их роль в аппарате алгебраической топологии, УМН 26:2 (1971), 131—154.
[4] С. М. Г у с е й н - 3 а д е, {/-действия окружности и неподвижные точки, Изв. АН»
сер. матем. 35 (1971), 1120—1136.
Поступило в Правление общества 15 мая 1972 г.