1974
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК
Т. 95(137), № 1(9)
УДК 513.836
Замечание к работе «Действия конечных циклических групп
на квазикомплексных многообразиях»
И. М. Кричевер (Москва)
В работе автора [1] сформулированы две теоремы (теоремы 1.11
и 2.2), утверждающие, что некоторые условия на набор Zw-ny4KOB необ­
ходимы и достаточны для того, чтобы этот набор был набором нор­
мальных пучков к неподвижным подмногообразиям унитарного ZW-MHOгообразия. К сожалению, эти условия являются на самом деле лишь
достаточными. Однако методы работы [1] позволяют за счет чис­
то технических усложнений получить условия, необходимые и доста­
точные.
Рассмотрим категорию, объектами которой являются наборы (X, {&}),
где X — G-многообразие, а {&•} — конечный набор G-пучков над X. Группы
бордизмов Un,\i в этой категории (п = dim^ X, \i = (\хь ...) —• «мультииндекс»,
(j,/ = dimc^) заменят нам группы бордизмов G-многообразий, которые, кстати,
есть частный случай L ^ при |i, = 0.
Пусть для набора Z^-пучков {£*} над X {р — простое) &s — ограничения
^ на Fs— неподвижные подмногообразия X, a vs—нормальные пучки к Fs в
X. Как обычно, наборы Z^-пучков vs, {&s} над тривиальными Z^-многообразиями Fs зададут гомоморфизм
где суммирование ведется по тем наборам неотрицательных целых чисел
,(/, {яу}, {niti}\ для которых 2 ( 2 я / + 1\ = п, ^ Щл = И*
Обозначим через 4х : Rm£—.> R*£ гомоморфизм, индуцированный заме­
ной индексов (i, j) —• (pi + s, /') (0 < s < p — 1, /' = s (mod p), /' = (/ — s)/p), a
также /~>(s, /').
Пусть для (o=(ily . . . , in) Uco(%, . . . , un) — ряд, полученный симметn
.
oo
Р 5 " 1 ]и ш . Д л я каждого набора
ризацией ряда 2 и* [СР (us)]~\ где СР (и) = 2
S=l
/П=0
•о,- длины \ii определены гомоморфизмы V&., значения которых на аддитивД В[/ (n/f/) равно:
/=0
i
Действия конечных циклических групп
147
Wpk-i X [М] X {ряд, полученный из г ц ( . . . , /(M / s , vs)9 ...) заменой и* на
[СРт°-к]}.
Определим гомоморфизмы Dotj формулами: если (/, р) = 19 то
№ х п (ер?) = r«5*-i • т • п (гт) s 5 « s (MP»
где m=dim c [M], если же р делит /, то
n
/
"/
\
i /l«l.
\ms+1
Da, / [Л4] X Г | (СР?)) = [«0-х • [ЛЯ - П ( " ^ I
Bms Щ).
Обозначим через [ОаЦ, со = (а>19 . . . ) , тензорное произведение гомоморфизмов Day и К©.,
[£>«]_>: /?Ь1 - • W [[и]у9р ([и] kJ = 0.
Введем дополнительную градуировку в R£,
поставив в соответствие
Л
каждому набору ({я/}, {я/./}) число d = 2
/- Пусть тогда Pd—«одно</.P)=I
Z ь
родные компоненты»
9^RJ^.
Z и
Те ор ем а. Класс бордизмов p£R J>
тогда и только тогда при­
надлежит Im р \ когда 4 я (р) 61т р* -1 и для любого со
делится ш ип в кольце U* [[и]]/Вр ([и] . _2) = 0.
Для описания Ьп|5 т в случае, когда т делится по крайней мере на
два простых числа, необходимо внести аналогичные исправления в условие
теоремы 2.2 в [1].
(Поступила в редакцию 20/1II 1974 г.)
Литература
1. И. М. Кричевер, Действия конечных циклических групп на квазикомплексных .много­
образиях, Матем. сб., 90 (132), (1973), 306—319.