1981 .
—
. 36.
. 2 (218)
ATE
.
1.
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
-
.
.
-
02.
-
.
.
12
13
13
16
17
20
23
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
23
27
29
31
. . . .
.
3.
—
.
40
§ 1.
—
.
—
,
40
§ 2.
—
.
48
4.
.
.
.
§ 1.
§ 2.
§ 3.
—
—
—
.
51
51
55
g = 1, 2
2
3
g ^ 2.
58
§ 4.
.
5.
§
§
§
§
,
1.
2.
3.
4.
.
.
.
-
62
64
64
66
67
.
.
.
.
69
.
.
.
.
72
78
72
.
.
(5.4.20)
[41].
(5.4.23)
U,
(5.4.23')
(5.4.23)
.
] = [[ ,
[5,
= Q,
,
=
.
-
],
,
= I.
[42].
[ 4 ~ [ 5 ' v^ + zB> zA-[A, F]]=0
(5.4.24)
,
z;
-
8(5.4.25)
det(zA — U , V] - wl)
2
(
( _ 1) ( — 2)/2)
(5.4.23)
/ / «
(5.4.26)
= 0.
)
(
.
[42]
.
V = ( ^-)»
Q(A(Pt)-A(Pj) + tU+z0)
„
^ - ± 1 7
(5.4.27)
^tU + ^siPuPj)
<"*'>
d
V mpfi M (0) dU(Q)Q [v] (0)
e(P, Q)=
pivj(4(P)-^ ( g ))
•
(5.4.28)
A,, = b?exp{* 2 c*6ft}7
(5.4.28')
" c » = - - A - l n e ( i > , POIi^Pft0
A,°, . . ., %
,
—
(5.4.25); , . . .,
wlz-^di
-+• Pt;
n
(5.4.29)
tf
=
; 6-
—
-
U
^bjUiPj),
i=i
U( ) —
—
grad 6 (0)
ZQ
;
0)
, v—
.
£0
QP
( .
;
.
2
^
.
.
.
.
(1)
dt {dtgn-gn1)
gn —
dtL = [P, L].
= gn-lgn1
— gngnln
,
d ==
t "dT^
Z,
(2)
L\pn = gngn1+i^n+i
(3)
Ptyn =
— gngn1^n
(gnSnli^n+i
+ ^n-l,
+ kngn^n
gn =
— 4>n-i) •
dtgn,
,
-
73
-
,
0(1).
, gn+N = gn*
,
.
[46]
-
-
,
L,
( .
[47]).
-
,
I > 1.
.
(4)
—
,
([15], [46]) «
J vn — cn+i
,
I cn=cn(vn
— vn^).
-
,
.
.
[14]
-
,
R—
»
-
g
2g+2
(5)
+
u>2=
~—
(4)
(6)
±
R
+
,
,
(z-zt);
—
~,
=( , ±).
| ( , t, P),
g
( , *, ) l P .p± = ^ n ^ ± n ( l + Sf (n, t)z~1+...)exV
L = (Lnm)
,
=
(7)
(8)
= — i Vcn+i
AUm =
(9)
^
6 ,
m-l
1
(9')
(9")
L
±
R
(=F^) .
4 = (
)
V = ZV-
+ Vn&n, m + lV Cn^n, m+l,
Vcn+1 fin, m-l + Wn8nt m + -jVCn
S
n, m+l-
1
wn-^-wnmmi = Y(vn — vn-i) —
R
—>-
(In c„)\
V^=K-i/K,
vn = %(n +
—
(7)
l,f)-%(n,t).
(6)
, £*( , t),
-
.
-
74
.
.
:
M 4 v
1L)
r
\
__ 8(( +1) ^
~~
-* )8(( -1) +
(nU + Vt + z0)
n
z0 —
:
;
(12)
*+* )
U = (£//)> V = (Vj)
U,=
j
-
CO;
p~
{coj, . . ., co^ —
i?),
(13)
2V, =
§Qp>+§QIr,
,
Qp+,
- —
+
,
:
~
.
N
R
w* = (PN(z) + l)(PN(z) - 1),
(14)
PN(z) —
1.
,
L
. . ipn+iv =
.
.
,
(1).
r e<l
>
.
A Pn — Z'&JV-I
(15)
L.
,
1
0
ajsf-2
&iv-2
1 •••
0
0
0
u?ajv-i s
...
0
0
. . . « i bi
... 0
0
I X Z,
0
•
= —gngu1, an — gngn-i-
= det(L — -1)
(1).
,
Q(w, X) =
,
.
1.
(16)
,
Q(w, X)
N 1
( ,_ X ) + (
1
- XN)1 + 2 ( (X) (w - XN)k +
(X) ( ,-* - XN)k) -
-floW + S^A*^'t, /
<J (N — 1)1.
,
i ^= 0,
rf
(N-l)(l-k)
i=(N-l)(l-k)-k+l
,
(17)
......
^\
R0(l) + (-^N)l
= l]ril(X)(-XN)k
k
^r-h(X)(-KN)h.
=
k
N12 — I2 + 1.
+ iV | / | <
:
-
75
-
:
w
X'1,
N
X~
Q(w, X) = 0.
X
J2.
.
X
J^O(X~ ~ ).
J?, . .
.
L
1;
w
X
gn = &f ,
,
(£)
.
,
\ „ (£, X),
£.o = l.
1.
(dt -
= 0,
tyn(t)
pn(t) =
gn
^, 0 >
.
, gn+N —
—
(1).
Nl2 — Z2
(16)
gn(t) = {gn)-H+nCn
(19)
(1),
g±
(19')
yt
tyn(t)
L^n =
yt
N
Pf.
4.
if>n
.
N
^(t,l) = ^±n(l]ll,(t)l-s)e^t/2,
Q
,
N12 — I2
(£, ):
Pf
yt;
| (t, Xf),
Xf —
gngn1^)
7^(0)
-
gn(0)
Nl — Z2
2
Q,
G—
1°
2°
[15].
2
,
Pf,
.
3.
(18)
XN + OQ^"1),
N 1
gn ->- Ggn,
Q,
-
X
,
Q(w, X) = 0
21
Wj.
, . . = (WJ, X),
(£) = ( » • • • > )*>
^ ^= 1.
(£)
yt(t),
L — -1
(L — *1) = N1 — 1.
2.
yt(t)
N12 — Z2 = g -\- I — 1,
g —
,
.
Q(w, X)
Q(w, X) = 0
g± .. = 6 («± + Vn + Vt + Z,) "» (cof + Z,).
U, V
Pf; cof —
, Zt —
Pf
±,
...
76
.
- - ••> Yg-i' yg+ii 1 ^ ^ <^ ^.
gN = go.
,
.
GignG2,
Gt —
.
,
gngu1^)
gn(0)
,
Zt.
coj", /,
.
.
.
2.
L
Q(w, X) = Q[(w, X), Q1 = w -f-
,
Z.
Q
JV
+ ^_1 +
2
>{ .
,
Q±(w, X) = 0,
.
Z) —
^¥n(t,
,
,
¥ —
Y 0 (0, P) = 1.
IN
<P;j, s = «J<
(20)
a£ —
=
" ?"
,
s;
ys,
}> 8 = res
,
7
^ ,
t.
± (*, X) =
(21)
±
(S
*
* , (0 >rs)
5.
(ys,
X =
^/2.
£) (
,
[14]
)
Wn,
In, = 1,
(20)
,
,
-
(21),
^,
(1).
3.
-
(22)
( !,
=
^-^-1-^+1-^,
[48],
,
cpn + 2 =
—
,
.
sin-gordon,
.
g
±
-
.
6.
, . . ., yg
ip71(z+, z_, P):
, . . ., yg;
±
1°
2°
±
*) = eft2± ( S It.
(z + , z.,
E±0 — 1, k"1 .= k~1(P±)
7.
+
(z + , z_) k~s)
k±n;
±
—
> = tyn+i + (<Vp n ) | ,
-
.
:
dzjpn =
" - 1 |5 -1;
^
= In. -
77
-
2
dz+dz_
,
»- »-1--
=
"+1-
(22),
2.
( )
.
- in Q^'+Utf
* = (oof, . . .,
Ut
±
(
.,
6(©+ + W) +
+ U^ + Ubn + W) +
(22).
±) —
±
±
;
, [15]).
,
iV-
'2
( ),
.
JV(i -f-1) -f- mJ ^C Nm — 2; N
^,
—
=
( ),
,
.
%
(24);
(22).
( .
,
(25)
.
,
(22).
±™« =&
W—
U(P) —
(2C7li 2 = U(P+) ± U(P~));
(
+^ =
-
±
wN-Em + E{^aijEiwj) = 0;
(24)
(25')
-
+
= -»(
,
:
=
-),
,
iV(23)
,
,
4
(23)
(22)
+ cW + ) c W )
^-
( , Q)
(25)
4):
(26)
).
.
(
^
. .
-
(23)
£
(?) |
(5.4.27)).
( . [8],
[ ] (2U3) - 69 [ ] (0) +
.
6 (W).\
;
=^ - ^ 1
,
= + , Q = P -.
—
(39)).
(
^
-
[ ] (0),
*€ (& 2 )'.
(4.2.4)
U3 — (
+
) — ( ~),
>
(26)
A: M-+J{M)
£/3
(
(26)),
78
.
.
[1]
.
.
.— .:
, 1960*
[2] . .
.
.— .:
, 1948.
[3] . .
.
.— .:
, 1972.
[4] P. G r i f f i t h s , J. H a r r i s . Principles of Algebraic Geometry.— Wiley Intersci.
Publ., 1978.
[5] J. I g u s a. Theta-functions.— Springer, 1972.
[6] .
a z e r. Lehrbuch der Thetafunktionen.— New York, Chelsea, 1970.
[7] H. F. B a k e r . Abelian functions.— Cambridge, 1897.
"TSTJ. F a y . Theta-functions on Riemann surfaces.— Lect. notes in math., 352, Springery
1973.
[9] .
. 3
.
.—
1971, 26:1, . 113—181.
[10] . .
.
.— .:
, 1953.
[11] . .
.
.—
.:
, 1979.
[12] .
,
.
.
.
3.— .:
, 1967.
[13]
.
. . .
.— .:
, 1980.
[14] . .
, . .
.
.—
, 1980, 35:6, . 47—68.
[15] . .
.
.—
, 1977, 32:6, . 183—208.
[16] . .
.
.—
.2
, 1977, 11:2, . 15—32.
[17] . .
,
. .
, . .
.
—
,
.—
, 1976, 31:1, . 55—136.
[18] . .
.
.—
, 1961, 141:2, . 263—266.
[19] . F.
. Note on the foregoing paper «Commutative ordinary differential
operators» by J. L. Burchnall and T. W. Chaundy. Proc. Royal Soc. London, 1928,
A118, p. 584—593.
(20] . .
.
—
1.
.
,.
1974, 8:3, . 54—66.
[21] . .
, . .
, . .
.
.—
, 1976, 229:1, . 15—18.
[22] . .
.
—
.—
.
, 1980, 14:4.
[23] . .
.
. .
—
—
.
,
1980, 251:3, 541—544.
[24] R. H i r t a. Recent developments of direct methods in soliton theory.— Preprint
of Hiroshima University, 1979.
[25] A. H.
.
.—
.
,
.
., 1975, 39, . 1003—1043.
[26] F. Schottky. Uber die Moduln der Thetafunktionen.—Acta Math., 1903, 27, S. 235—288.
[27] C. N e u m a n n. De probleme quodam mechanico, quod ad priman integralium
ultraellipticorum classem revocatum.— J. reine und angew. Math., 1859, 56, S. 46—63.
[28] J . M o s e r . Various aspects of integrable ham iltonian systems.— Preprint of Courant
Inst.,-1978.
[29] . .
.
.—
.
, 1980, 14:1, . 48—50.
79
-
[30]
[31]
.
.
.!
.
.,
.:
-
, 1962.
.—
.
, 1981, 15:2.
[32] # W e b e r . An wen dung der Thetafunctionen zweier Veranderlicher auf die Theorie
der Bewegung eines festen Korpers in einer Flussigkeit. Math. Ann., 1878, 14, p. 173—
206.
[33] F.
t t e r. Ueber die Bewegung eines festen Korpers in einer Flussigkeit. I, II —
J. reine und angew. Math., 1892, 109, S. 51—81, 89—111.
[34] . .
.
.—
, 1893.
[35] . .
,
. .
.
—
—
.
.—
, 1974, 219:3, . 19—22.
[36] .
.
,
. .
.
.—
.:
, 1980,
15, . 3—94.
[37] . .
,
. .
.
.
:
, 1980, 253:6,
. 1293—1297.
[38] A. A n d
t t i, A. L. M a y e r . On period relations for abelian integrals on algebraic curves.— Ann. Scuola Norm. Super. Pisa, Ser. 3. 1967, 21:2, p. 189—238.
[39] H. M. F a r k a s , H. E. R a u c h . Period relations of Schottky type on Riemann
surfaces.— Ann. Math., 1970, 92:3, p. 434—461.
[40] R. G a r n i e r. Sur une classe de systemas differentiel abelien deduits theorie des
equations lineaires.— Rend. Circ. Matem. Palermo, 1919, 43:4, p. 155—191.
[41] . .
.
.—
.
, 1976, 10:4, . 93—94.
[42] .
.
.
,
,
.—
.
, 1977, 11:4,
. 28—41.
[43] . .
.
.—
.
,
1972, 6:4, . 47—57.
[44] . .
.
.— .:
,
1974.
[45] . .
.
—
.—
.
, 1981.
[46]
. .
.
.—
, 1976, 33:4, . 215—216.
[47] D. M u m f o r d , P. van M o e r b e k e . The spectrum of difference operators and
algebraic curves.— Acta Mathem., 1979.
[48] . .
.
.—
, 1974, 30, . 443—448.
[49] . .
.
«
».—
, 1980, 252:5, . 1104-1108.
[50] .
.
.— .:
. 1976.
[51] .
.
.— .:
, 1980.
[52] F.
t t e r. Die von Steklow und Liapunow entdeckten intergralen Falle der Bewegung eines starren Korpers in einer Flussigkeit. —Sitzungsber. Koniglich Preuslischen
Akad. Wiss. Berlin, 1900, 6, S. 79—87.
[53] . .
, . .
.
.—
, 1974,
67:12, 2131—2143.
154] . .
.
.—
.
, 1975, 9:3, 41—51.
80
.
.
(55] P. D. L a x . Periodic solutions of Korteweg — de Vries equation — Comm. Pure and
Appl. Math., 1975, 28, 141—188.
156] H. P. M
a n, P. Van M o e r b e k e . The spectrum of Hill's equation.— Invent
Math., 1975, 30, 217—274.
[57] . .
,
. .
.
.—
.
., 1974, 95:3, 331—356.
[58] . P. M c K e a n , E. T r u b o w i t z . Hill's operator and hyperelliptic function
theory in the presence of infinitely many branch points.— Comm. Pure Appl. Math.,
1967, 29, 143—226.
[59] .
.
.
—
.—
227:2, 1976, 291—294.
'[60] . .
,
. .
.
—
.—
, 1975, 23:1,
. 51—67.
30
1980
.