ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
Том 94, № 2
февраль, 1993
©1993г.В. М. Бухштабер, И. М. Кричевер
ВЕКТОРНЫЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
И ФУНКЦИИ БЕЙКЕРА-АХИЕЗЕРА
Обсуждаются функциональные уравнения, естественно возникающие
в различных проблемах современной математической физики.
Введены понятия iV-мерной теоремы сложения для функций скаляр­
ного аргумента и уравнения Коши ранга N для функции ^-мерного ар­
гумента, обобщающие классическое функциональное уравнение Коши.
Доказано, что при N = 2 общее аналитическое решение этих урав­
нений задается функцией Бейкера-Ахиезера алгебраической кривой ро­
да 2.
Показано также, что ^-функции дают решения уравнения Коши ранга
N для функций ^-мерного аргумента, где N < 29 в случае общего дмерного абелева многообразия и N < д в случае якобиева многообразия
алгебраической кривой рода д.
Выдвинута гипотеза, что функциональное уравнение Коши ранга д
для функции ^-мерного аргумента является характеристическим для 9функций якобиева многообразия алгебраической кривой рода д, т.е. ре­
шает проблему Римана-Шоттки.
Посвящается
памяти
М.К.Поливанова
1.ВВЕДЕНИЕ
К л а с с и ч е с к о е функциональное у р а в н е н и е Коши [1]
(1.1)
Ф{х + у) =
ф(х)ф(у)х
в о з н и к а ю щ е е в бесчисленном м н о ж е с т в е з а д а ч , п о л н о с т ь ю х а р а к т е р и з у е т
экспоненту
(1.2)
ф(х) =
ехр(кх),
где к - п а р а м е т р . У р а в н е н и е (1.1) я в л я е т с я одним из п р и м е р о в т а к н а з ы в а ­
емых теорем сложения
(1-3)
F(f(x)J(y),f(x
+ y)) = 0.
Ч и с л о подобных п р и м е р о в невелико. Т а к , с о г л а с н о т е о р е м е В е й е р ш т р а с са, е с л и F - п о л и н о м от т р е х переменных, то в к л а с с е а н а л и т и ч е с к и х функ­
ций f(x) т е о р е м о й с л о ж е н и я о б л а д а ю т лишь э л л и п т и ч е с к и е функции (т.е.
200
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ БЕЙКЕРА-АХИЕЗЕРА
201
функции, связанные с алгебраическими кривыми рода д = 1) и их вырож­
дения.
Векторной теоремой сложения будем называть уравнение вида
(1.4)
F(f(x)^(y)^(x + y)) = 0,
где f(x) = ( / 1 ( ж ) , . . . , / ^ ( ж ) ) , ф(у) = (<^пУ),..-,<Ы2/))> ^(z) = (^1(2),...,
Фы{%)) ~ вектор-функции, a F - функция 3N переменных.
Следует отметить, что варианты таких теорем можно найти уже в клас­
сической работе Абеля [2], в которой рассматривается следующая пробле­
ма:
Определить три функции ф, f и ф, удовлетворяющие уравнению:
(1.5)
ф(а(х,у))
=
Г(х,у,ф(х),ф'(х),...Лу),Г(у),...),
где а и F - данные функции от соответствующего числа переменных. В
частности, в [2] эта проблема решена для уравнения
(1.6)
ф(х + у) = ф(х)Г(у) + /(»№'(*)•
Важные для современных приложений векторные теоремы сложения со­
держатся в работе Фро.бениуса и Штикельбергера [3], где, например, по­
казано, что дзета-функция Вейерштрасса удовлетворяет функциональному
уравнению
(1.7)
(С(х) + С(У) + Ф)У + С'(х) + Ш + С'(*) = 0,
где х + 2/4- z — 0.
Основной целью настоящей работы является доказательство векторных
теорем сложения, характеризующих так называемые функции БейкераАхиезера, которые задаются на алгебраических кривых произвольного ро­
да. Частные случаи таких функций были введены в конце прошлого века
в работах Клебша-Гордана как естественное обобщение понятия экспонен­
ты на случай римановых поверхностей произвольного рода. Бейкером [4]
была намечена связь таких функций с задачей классификации коммутирую­
щих обыкновенных линейных дифференциальных операторов [5]. Впослед­
ствии замечательные, но, к сожалению, забытые результаты этих работ
были переоткрыты и существенно развиты в рамках теории интегрируе­
мых уравнений типа уравнения Кортевега-де Фриза. Общее определение
функций Бейкера-Ахиезера (многоточечных и зависящих от многих пере­
менных) было дано одним из авторов [6, 7]. Отправной точкой работ [6, 7]
послужили результаты Новикова, Дубровина, Матвеева, Итса, относящие­
ся к построению периодических и квазипериодических решений уравнений
Кортевега-де Фриза, нелинейного уравнения Шредингера, уравнения sineGordon (обзор этих результатов см. в [8, 9]). Начиная с [6, 7], концепция
202
В.М.БУХШТАБЕР, И.М.КРИЧЕВЕР
функций Бейкера-Ахиезера стала основной в теории алгебро-геометрического или конечнозонного интегрирования (дальнейшее развитие которого
представлено в обзорах [10, 11, 12, 13]).
Как будет показано в третьем разделе настоящей работы, функции Бей­
кера-Ахиезера удовлетворяют функциональному уравнению, являющемуся
"векторным аналогом" уравнения Коши (1.1). Прежде чем привести его,
преобразуем уравнение (1.1).
Уравнение Коши является "жестким". Класс функций, определяемых им,
практически не меняется,если ослабить (1.1) и рассмотреть уравнение
(1.8)
Ф(Х + У) =
ФШ(У)-
Из (1.8) следует, что
(1.9)
ф(х) = ехр (к(х + х0))}ф(х)
= ехр (к(х + 2х0)).
Обозначая функцию ф~г(х) через с(х), уравнение (1.8) можно представить
в виде
(1.Ю)
с(х + у)ф(х)ф(у) = 1.
Векторным аналогом уравнения (1.1) будем называть функциональное урав­
нение
N
YlckSx+y)M^h(y)
(l.ii)
=1
к=0
на вектор-функции с(х) = ( с 0 ( х ) , . . . , с^(ж)), ф(х) = (ф0(х),...,
tl>N(x)).
З А М Е Ч А Н И Е . Обратим внимание на то, что, хотя формально в уравне­
нии (1.Н) искомыми являются все функции ск, фк) но, как легко видеть,
функции ск явно выражаются через функции фк (см. формулу (3.12)). Поэ­
тому в дальнейшем решением уравнения (1.11) мы будем без ограничения
общности называть вектор-функцию ф — (V>i,.. •, Фи)Уравнение (1.11) возникло как результат попыток обобщить формулу
сложения для функций Бейкера-Ахиезера рода 1. Как было отмечено в [14],
частный случай таких функций дает решения уравнения
(1.12)
'
П* + У)V(x)-V(y)
Ф(х)Ф(-х) — V(x) + const.
Система (1.12) была предложена впервые в работе [15] в связи с задачей
построения представления Лакса для уравнений движения системы попар­
но взаимодействующих частиц с потенциалом попарного взаимодействия,
задаваемым функцией V(x). В [15] были найдены частные решения (1.12)
для случая V(x) = р{х) (где р - функция Вейерштрасса). Решения (1.12),
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ БЕЙКЕРА-АХИЕЗЕРА
203
предложенные в [14] позволили ввести в представление Лакса "спектраль­
ный параметр" и как следствие построить тэта-функциональные формулы
для динамики системы Мозера-Калоджеро. Впоследствии в [17] и [27] бы.ло доказано, что построенные в [14] решения исчерпывают все решения
этого уравнения. Следует отметить, что идея сведения проблемы интег­
рирования динамических систем к функциональным уравнениям оказалась
необычайно плодотворной. Укажем на работы [15-19], в которых эта идея
привела к новым результатам как в теории динамических систем, так и в
теории функциональных уравнений.
Другой нетрадиционной областью приложения функциональных уравне­
ний является раздел теории алгебраической топологии, связанный с рода­
ми Хирцебруха. Выделение классических родов в терминах функциональ­
ных уравнений содержится уже в основополагающей работе [20]. В рабо­
те [21] функциональное уравнение (1.12) использовалось для предложенного
там доказательства свойства "жесткости" эллиптических родов. (Эллип­
тические роды были введены Ошаниным [22]; гипотеза их "жесткости" и
была высказана Виттеном [23] и доказана Таубсом [24, 25].)
В [26] было найдено универсальное решение уравнения Абеля (1.6) и с
его помощью построена теория когомологий, отвечающая общему арифме­
тическому роду ([20]). В работе [27] было доказано, что функциональное
уравнение (1.12) эквивалентно функциональному уравнению
(1ЛЗ)
ф{и + ь)
-
Ф(и)Ш-Ф(»)Ш-
В качестве следствия получены структуры алгебраической двузначной
группы на римановой сфере и показано, что пространством модулей таких
структур является пространство невырожденных эллиптических кривых с
отмеченными точками.
В третьем разделе будет доказано, что функции Бейкера-Ахиезера, от­
вечающие алгебраическим кривым рода д) дают решения уравнения (1.11)
для N = д. Явные выражения этих функций через тэта-функции римановых
поверхностей [7] (см. раздел 4) показывают, что соответствующие реше­
ния уравнения (1.11) с точностью до экспоненциального множителя имеют
следующий специальный вид:
где Ф(^1,.. , , ^ ) - функция векторного аргумента, представляющая собой
тэта-функцию алгебраической кривой; U = (U\,..., Ug), Ak = (^4^д > • • • ? Ak,g)
- ^-мерные векторы, к = 0, . . . , N или *.
Это позволяет ввести понятие "функционального уравнения Коши ран­
га АГ" как векторной теоремы сложения следующего специального вида.
Функцию Ф(^) векторного 0-мерного аргумента z =
назовем решением уравнения Коши ранга N, если существуют
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
(zi^.^Zg)
В.М.БУХШТАБЕР, И.М.КРИЧЕВЕР
204
<7-мерные векторы U и A*, A0i Аг, . . . , AN такие, что имеет место уравнение
N
(1.15)
J2
Ск х
( + У)*(их + АьЩиу + Ак) = Ф(£^х 4- А*)Ф(£/у + А*).
к=0
В общем случае одна и та же функ­
ция Ф(г) может быть решением функциональных уравнений Коши разных
рангов (за счет специального выбора векторов [/, Аг, . . . , AN).
Рангом
такой функции ^(z) назовем минимальное N+ из возможных рангов N урав­
нений (1.15), которым она удовлетворяет, гкФ = N+.
ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ-ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
В третьем разделе будет доказано, что все решения уравнения (1.11) ддя
случая N = 2 даются функциями Бейкера-Ахиезера рода 2. Тем самым
показано,что векторный аналог уравнения Коши (1.11) для N = 2 эквива­
лентен функциональному уравнению Коши ранга 2.
В связи с этим естественно поставить следующие два вопроса.
1. Эквивалентны ли функциональные уравнения (1.11) и (1.15)
для N > 2?
2. Всякое ли решение уравнения Коши ранга N задается тэта-функция­
ми римановых поверхностей?
Как показано в заключительном разделе работы, ответ на грубую фор­
му второго вопроса отрицателен. Оказывается, что тэта-функции, отвеча­
ющие общему абелеву многообразию размерности д) дают решения функ­
ционального уравнения Коши ранга N — 29.
Следовательно тэта-функции общего 0-мерного абелева многообразия
задают функции ранга < 29. Вместе с тем результаты разделов 3, 4 по­
казывают, что в случае якобианов кривых ранг соответствующих функций
не превосходит д. Это позволяет авторам сформулировать гипотезу:
Тэта-функция имеет ранг, не превосходящий д, тогда и только тогда,
когда она построена по матрице Ь-периодов голоморфных дифференциалов
на римановой поверхности рода д.
Эту гипотезу можно переформулировать в следующем виде:
Уравнение (1.15) с N — д для функции g-мерного аргумента является ха­
рактеристическим для тэта-функций якобиевых многообразий алгебраичес­
ких кривых, т.е. решает проблему Римана-Шоттки.
В пользу этой гипотезы говорит отмеченная выше связь теорем сложения
с теорией интегрируемых систем и доказательство в [28] того, что гипоте­
за С.П.Новикова о яом, что тэта-функциональные формулы для решений
уравнения Кадомцев а-Петвиашви ли являются характеристическими для
якобиевых многообразий (т.е. решают проблему Римана-Шоттки).
2. Н Е О Б Х О Д И М Ы Е С В Е Д Е Н И Я
Пусть Г - неособая алгебраическая кривая рода g с отмеченными точка­
ми и локальными координатами k~1(Q)i k~l(Pa) = 0, а = 1, . . . , /. Зафикси­
руем набор полиномов qa{k). Как было показано в [6,7], для любого набора
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ БЕЙКЕРА-АХИЕЗЕРА
205
точек 7i, • • • , 7д общего положения существует единственная с точностью
до пропорциональности функция ^(я><2)> которая
1) мероморфна на Г вне точек Ра и имеет не более чем простые полюсы
в точках 7* (если все они различны);
2) в окрестности точки Ра функция ф(х, Q) имеет вид
(2.1)
ф(х, Q) = exp (xqa(ka))
( £&,«(*)*-') ,
^ 5= 0
*« =
ka(Q).
'
Выбрав точку Р 0 , условимся нормировать ф равенством
(2.2)
ф(х,Р0) = 1.
ЗАМЕЧАНИЕ. Функция Бейкера-Ахиезера ф(х^)
определяется своими
аналитическими свойствами по переменной Q. От переменной ж и от ко­
эффициентов полиномов qa она зависит как от внешних параметров. Мы
опускаем в записи ф указание на зависимость ее от qa) оставляя лишь су­
щественную для дальнейшего зависимость от х.
В [7] была предложена явная тэта-функциональная формула для ф. Пусть
a,i, hi - базис циклов на Г с канонической матрицей пересечений: а; о a,j =
hi о bj = 0, di о bj — 6{j. Определим базис голоморфных дифференциалов щ
на Г, нормированный условиями
(2.3)
fu;j=Sij.
Матрица
(2.4)
Вц = Фил
Ч
называется матрицей 6-периодов кривой Г. Она симметрична и имеет поло­
жительно определенную мнимую часть. Любая такая матрица определяет
целую функцию д переменных (называемую тэта-функцией Римана) по фор­
муле
(2.5)
0(^1,.. .,zg) — 22,
ех
Р (2тгг(^,т) + 7гг(Бт, m))
rnCZQ
(здесь т = (т1}... ,тд) - целочисленный вектор). Тэта-функция Римана
обладает следующими трансляционными свойствами:
(2.6)
9{г + ек) = 9{z))
6(z + Вк) = 9(z) exp {-*%Вкк - 2irizk)
(ек иВк- векторы с координатами {6^}, {Вы})- Векторы ек и Вк порождают
решетку в С?, фактор по которой является ^-мерным тором «/(Г), называе­
мым якобианом кривой Г. Отображением Абеля называется отображение
(2.7)
А: Г - . / ( Г ) ,
В.М.БУХШТАБЕР, И. М.КРИЧЕВЕР
206
задаваемое формулой
Q
(2.8)
Ak(Q) = Ji
Если определить вектор Z
(2.9)
г = К-^А{ъ)
(где К - вектор римановых констант, зависящих от выбора базисных цик­
лов и начальной точки Р 0 ) 3 то функция Q(A(Q) + z) имеет ровно д нулей на Г,
совпадающих с точками j s ,
(2.10)
0(A(<y.) + Z) = Q.
Отметим, что сама функция 6(A(Q) + Z) многозначна на Г, но, как следует
из (2.6), ее нули определены корректно. Введем нормированные дифферен­
циалы dQa такие, что
1) дифференциал dQ,a голоморфен вне Ра) в которой он имеет полюс
вида
dna = dq{ka) + 0{k-1)]
(2.11)
2)
ф dQa
0.
Условия 1, 2 определяют dQa однозначно. Обозначим через 2тгИГа вектор
его 6-периодов
(2.12)
2iriUaik = Ф dQa.
ьк
Как было доказано в [7], функция Бейкера-Ахиезера имеет вид
Q
(2.13)
ф(х, Q) = ехр I х / dQa I • ф(х,,Q),
<
Ро
где
ОЛАЛ
{
]
Ф(
*'Ч)
e(A(Q) + zU + Z)Q(A(P0) + Z)
~ e{A(Q) + Z)e(A(P0) + xU + Z)'
i
(2.15)
U = J2U«-
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ БЕЙКЕРА-АХИЕЗЕРА
207
В заключение раздела мы приведем еще одно утверждение, которое пона­
добится в дальнейшем. Для любого положительного дивизора D = Y2niQi
рассмотрим линейное пространство L(x, D) функций, имеющих вне точек
Ра полюсы в точках Qi кратности не выше щ и имеющих в окрестности Ра
вид (2.1). Д л я дивизоров общего положения степени d = ^2щ > д размер­
ность этого пространства равна
(2.16)
A\mL(x)D)
=
d-g+\.
3. ФОРМУЛЫ С Л О Ж Е Н И Я
Для любого набора неотрицательных целых чисел S = {щ < щ < • • • <
пд] и набора функций {/ 0 ,..., fg} определим "обобщенные Вронскианы"
(3.1)
Ws(f0,...,fg)
=
detMs,
где матричные элементы матрицы Ms равны
(3-2)
(3.3)
М? =
д?(Мх)Му)),
5_ = д/дх - д/ду.
.
Основным результатом этого раздела является следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3.1. Для любого набора д + 1 точек Q0,...
на Г функции
(3.4)
(где ф(х^)
,Qg общего положения
1>ь(*) = Ф(*М
- функция Бейкера-Лхиезера) удовлетворяют
(3.5)
\Уя(Фо,А,...,ф,)
уравнениям
=0
для наборов S, не содержащих нуля (т.е. если S = {О < п0 < щ • • • < пд}).
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Рассмотрим функцию Ws(x) y) Q0) = \У5(фо, ф\ . . . , фд)
как функцию переменной Q0 (т.е. зафиксируем все Qlt.. .,Qgi а точку Q0
будем варьировать). Из определения функции Бейкера-Ахиезера следует,
что вне точек Ра функция Ws(x, у, Q0) мероморфна и имеет полюсы порядка
не выше второго в точках 7ъ • • • > 1д- В окрестности точки Ра она имеет вид
(3.6)
Ws(x, у, Q 0 ) = exp ((x + y)qa(ka)) (f^:WStn(x,
у)к'Л
.
Следовательно,
(3.7)
Ws(x,у,Q0)
eL(x
+ y,D = 27l + --- + 2Ъ).
Из (2.16) вытекает, что при фиксированных ж, у размерность пространства
таких функций равна д + 1.
Функция Ws(x) у, <Зо) обращается в нуль в точках Qk:
(3.8)
Ws(x,y,Qo
= Qk) = 0.
Кроме того, если п 0 > 0, то из условий нормировки (2.2) имеем
(3.9)
Ws(x,y,Po)
= 0.
Обращение Ws(x} у, Q0) в нуль в фиксированных д + 1 точках общего поло­
жения влечет за собой равенство ее нулю тождественно. Теорема доказана.
В.М.БУХШТАБЕР, И.М.КРИЧЕВЕР
208
СЛЕДСТВИЕ. Функции фк(х) удовлетворяют
ти (1.11).
обобщенному уравнению Ко­
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Пусть 5 = ( 1 , 2 , . . . , g + 1). В силу теоремы функции
д-ф0(х)фо(у)) . . . , д-фд(х)фд(у) линейно зависимы с коэффициентами, посто­
янными относительно оператора 5_, т.е. существуют функции ^(ж), такие
что
(3.10)
] Г bk(x + у)д-фк{х)фк(у)
= 0.
jfc=0
Следовательно,
9
(3.11)
] Г Ък(х + у)фкфк(у) = К{х + у).
ib=0
Обозначая ск = &&/&*, получаем (1.11).
ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнение (1.11) не только вытекает из уравнений (3.5) оно им эквивалентно.
Действительно, применяя к равенству (1.11) операторы сР°, . . . ,9™5, по­
лучим систему линейных уравнений на ск(х + у). Существование решения
у этой системы влечет равенство нулю определителя матрицы коэффици­
ентов, т.е. равенства (3.5). При этом
а ю\
(ЗЛ2)
(
. \
с,( а? + у)=
AetMk(x,y)
detM{xyy
где матричные элементы М»^-, г, j < 0, . . . , <? — 1, матрицы М равны
(3.13)
Mij = д1фЛх)ф1(у),
а матрица Мк получена из М заменой к-то столбца на вектор ( 1 , 0 , . . . 0 ) т .
4. Я В Н Ы Е ФОРМУЛЫ И Ч И С Л О П А Р А М Е Т Р О В
Результаты предшествующего раздела, в сочетании с формулой (2.13)
позволяют дать явные формулы для решений векторного аналога уравне­
ния Коши.
Рассмотрим функцию ф(х, Q), заданную формулой (2.13), в которой векто­
ры Uу Z произвольны, тогда полное семейство построенных выше алгеброгеометрических решений функционального уравнения (1.11) дается форму­
лой
(4.1)
фк - ф(х, Qk) exp (акх),
где ак - произвольные константы. Произвольность вектора Z следует из
возможности варьировать дивизор полюсов 7ъ • • • Лд- Произвольность век­
тора U и констант ак связана с произвольностью выбора полиномов qa.
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И ФУНКЦИИ БЕЙКЕРА-АХИЕЗЕРА
209
На первый взгляд имеется еще один произвольный
набор параметров. Функции фк можно умножить на константы
ВАЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ.
(4.2)
фк
<-фкехр(Ьк).
Однако можно показать, что такое преобразование эквивалентно сдвигу
вектора Z, т.е. полное семейство алгебро-геометрических решений можно
представить в виде
(4 3)
'
фк=
0(A(Qk) + Ux)
.
е(А(р0) + их)'
ехр{акХ
ч
+ Ьк)
>
* = 0'-.'-
Размерность пространства модулей кривых рода д > 1 равна 3^ — 3. Сле­
довательно, общее число параметров (кривая + вектор U + константы ак)
Ьк + точки Р 0 , <5о, • • • , Qg) равно
(4.4)
R. = (Зд - 3) + д + 2(д + 1) + 1 + (д + 1) = 1д + 1
(для рода д = 1 число параметров дается той же формулой (4.4)).
Докажем, что в случае рода д = 2 формула (4.3) дает общие решения
уравнения (1.11) для N = 2.
Как уже было сказано выше, из (1.11) следуют равенства (3.5). Рассмот­
рим эти равенства для наборов Si = (2, 3 , . . . , д -f 2), 5 2 = (1, 3 , . . . , д -f 2),
Sg+i = (1, 2 , 3 , . . . , д — 1, <7, д 4- 2), полагая в них затем у = 0. Соответствую­
щие равенства
(4-5)
1¥3,(фо,...,фд)\у=о=0
дают систему # + 1 уравнений степени д-\-2 на неизвестную функцию ф0) ... ,
фд. Коэффициенты системы зависят как от параметров от значений произ­
водных &хфг(0), j = 0, . . . , д + 2, которые вместе с тем задают и начальные
данные для искомых решений. Следовательно, число параметров RC) от
которых может зависеть общее решение обо-бщенного уравнения Коши,не
превосходит
Я с < Д + = (0 + 1)(0 + 3).
Л л я д — 2 имеем
Я_ = (7у + 1 ) U = R+ = (д + 1)0/ + 3)|, = 2 = 15,
что доказывает общность построенных выше решений.
5. ФОРМУЛЫ С Л О Ж Е Н И Я Д Л Я О Б Щ И Х ТЭТА-ФУНКЦИЙ
Как было доказано в предшествующих разделах, формулы
2 Теоретическая и математическая физика, т.94, N2
В.М.БУХШТАБЕР, И. М. КРИЧЕВЕР
210
задают решения уравнения (1.11) с N — д, если тэта-функция 9{z) = 9(z \ В)
построена по матрице 6-периодов нормированных голоморфных дифферен­
циалов неособой алгебраической кривой Г рода д) а векторы Ак являют­
ся образами при отображении Абеля некоторых точек этой кривой Ак =
A(Qk), Л, = А(Р0) (т.е. Ак G 1т А: Г - J(T)).
Рассмотрим теперь случай тэта-функции (2.5), построенной по произ­
вольной матрице В с положительно определенной мнимой частью. Функ­
ция ф(х,А), заданная формулой
однозначно определяется следующими аналитическими свойствами.
1. При фиксированных ж, U функция ф как функция переменной А об­
ладает следующими трансляционными свойствами:
(5.3)
ф(х,А + ек) = ф(х,А),
(5.4)
ф(х, А + Вк) = ф(х, А) • exp
(-Ukx).
2. Дивизор полюсов ф(х, А) совпадает с тэта-дивизором
(5.5)
6(A) = 0.
3. Функция ф(х^ А) нормирована условием
(5.6)
ф(х,А*) = 1.
ТЕОРЕМА 5.1. Для любого набора А0, ... , AN, N = 29 точек общего по­
ложения обобщенный вронскиан \^3(фо->..., Фы) для функций фк(х) = ф(х) Ак)
равен нулю:
(5.7)
Ws№o,...,M = °
для наборов S = (0 < п 0 < • •"• < nN).
теоремы практически полностью повторяет доказате­
льство теоремы 3.1. Рассмотрим аналитические свойства Ws(x,y, A0) —
УУ3(Фо, • • •, Фы) к а к функций переменной А0 при фиксированных А ь . . . , AN.
Они удовлетворяют следующим трансляционным свойствам:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Ws(х, у, А0 + ел) = Ws(x, у, Л ) ,
Ws{x, у, А0 + Вк) = exp (~Uk(x + у)) Ws{x, у, А0),
и имеют двукратный полюс на тэта-дивизоре. Размерность пространства
таких функций равна 2^ + 1. С другой стороны,
Ws(x,y,Ak)
= Q,
k = l,...,N
= 2'.
Кроме того, Wsix^y, A+) — 0 в силу условия нормировки (5.6). Следова­
тельно, Ws(x,y, AQ) равна нулю тождественно.
Т Е О Р Е М Ы С Л О Ж Е Н И Я И ФУНКЦИИ Б Е Й К Е Р А - А Х И Е З Е Р А
211
Список литературы
[I]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[II]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
Cauchy A.L. Cours d'analyse de PEcole Polyt., 1. / / Analyse algebraique, 103 (1821);
Oeuvres complete (2). Vol. 3. 98-105.
Abel N.H. Methode general e pour trouver des fonctions d'une seule quantite variable,
lorsqu'une propriete de ces fonctions est exprimee par une equation entre deux vari­
ables / / Magazin for Naturvidenskaberne, Aargang I, Bind 1. Cristiana 1823. Oever
completes Vol. 1 cristiana. 1881. P. 1-10.
Frobenius G., Stikelberger Ueber die Addion und Multiplication der elliptischen Functionen / / Jour. Reine Angew. Math. 1880. V. 88. P. 146-184.
Baker H.F. Note on the foregoing paper "Commutative ordinare differential opera­
tors" / / Proc. Royal Soc. London 1928. V. 118. P. 584-593.
Burchnal J.L., Chaundy T.W. Commutative ordinary differential operators I.II. / /
Proc. London Math. Soc. 1922. V. 21. P. 420-440;// Proc. Royal Soc. London. 1928.
V. 118. P. 557-583.
Криневер И.М. Алгебро-геометрическая конструкция уравнений Захарова-Шаб а т а и их периодических решений / / ДАН С С С Р . 1976. Т. 2. N* 227. С. 291-294.
Криневер И.М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраичес­
кой геометрии / / Функциональный анализ и его приложения. 1977. Т. 11, Ser.
1. С. 15-31.
Дубровин В.А., Матвеев В.В., Новиков СП. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные операторы и Абелевы многообразия / / УМН.
1976. Т. 31. № 1. С. 55-136.
Захаров В.Е., Манаков СВ., Новиков СП., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.
Криневер И.М., Новиков СП. Голоморфные расслоения над алгебраическими
кривыми и нелинейные уравнения / / УМН. 1980. Т. 35. № 6.
Дубровин В.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения / / УМН. 1981. Т. 36. № 2.
С. 11-80.
Дубровин Б.А., Криневер И.М., Новиков СП. Интегрируемые системы / / Ито­
ги науки и техники, Фундаментальные направления. М.: В И Н И Т И . Т. 4. 1985.
С. 179-285.
Криневер И.М. Спектральная теория двумерных периодических операторов и
ее приложения / / УМН. 1989. Т. 44. № 2. С. 121-184.
Криневер И.М. Эллиптические решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили и
интегрируемые системы частиц / / Функциональный анализ и прилож. 1980.
Т. 14. № 4. С. 45-54.
Calogero F. One-dimensional many-body problems with pair interactions whose exact
ground-state wave function is of product type / / Lettere il Nuovo Cimento. 1975.
V. 13. № 13. P. 507-511.
Bruschi M., Calogero F. The Lax representation for an integrable class of relativistic
dynamical systems / / Commun. Math. Phys. 1987. V. 109. P. 481-492.
Bruschi M., Calogero F. General analytic solution of certain functional equations of
addition type / / Siam J. Math. Anal. 1990. V. 21. № 4. P. 1019-1030.
Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры
Ли. М.: Наука, 1990.
Buchstaber V.M. Report on scientific activity during visit at the MPI from 06.04.92
to 04.07.92. / / Bonn, MPI. 1992.
Hirzebruch F. Topological methods in algebraic geometry. New York: Springer-Verlag,
1966.
Криневер И.М. Обобщенные эллиптические роды и функции Бейкера-Ахиезера
/ / Математические заметки 1990. Т. 47. С. 132-142.
Ochanine S. Sur les genres multiplicatifs difinis par der integrales elliptiques / / Topol­
ogy. 1987. V. 26. P. 143-151.
Witten E. Elliptic Genera and Quantum Field Theory / / Comm. Math Phys. 1987.
V. 109. P. 525-536.
Taubes С S1 -actions and elliptic genera / / Comm. Math. Phys. 1989. V. 122. P. 455526.
2*
212
В.М.БУХШТАБЕР, И.М.КРИЧЕВЕР
[25] Bott R., Taubes С. On the rigidity theorem of Witten / / J. Amer. Math. Soc. 1989.
V. 2. № 2. P. 137-186.
[26] Бухштабер В.М., Холодов Л.Я. Формальные группы, функциональные уравне­
ния и обобщенные теории когомологий / / Мат. сб. 1991. Т. 69. С. 77-97.
[27] Бухштабер В.М. Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами
сложения для эллиптических функций и двузначные алгебраические группы / /
УМН. 1990. Т. 45. № 3. С 213-215.
[28] Shiota Т. Characterization of Jacobian varieties in terms of soliton equations / / Inv.
Math. 1986. V. 83. P. 333-382.
Научно-исследовательский институт
физико-технических и радио-технических измерений
Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау
Поступила в редакцию
8.V.1992 г.
V. М. Buchstaber, I. M. Krichever
THE V E C T O R A D D I T I O N THEOREMS
A N D THE B A K E R - A K H I E Z E R F U N C T I O N S
The functional equations that naturally arise from various problems of mathematical
physics are considered. The N-vector addition theorem for functions of scalar argument
and the functional rank N Cauchy equation for function of g dimensional argument are
introduced. They are vector analogues of the classical Cauchy equaiton. It is proved that
for N = 2 the general analytic solution of these equations is given by the Baker-Akhiezer
functions of genus g = 2 algebraic curves. It is proved that theta functions give solutions of
the rank N Cauchy functional equation of ^-dimensional argument, where N < 29 in the
case of general g dimensional Abelian variety and N < g in case of the Jacobian variety of
genus g algebraic curve. The conjecture that the rank g Cauchy equation for functions of
^f-dimesional argument is characteristic of the theta-functions of Jacobian variety of genus
g algebraic curve (i.e it solves the Riemann-Schottky problem) is formulated.