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167
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1. ‚¢¥¤¥­¨¥. “à ¢­¥­¨ï ááá®æ¨ ⨢­®á⨠(¨«¨ WDDV ãà ¢­¥­¨ï) ¡ë«¨ ¢¢¥¤¥­ë ¢ ­ ç «¥
90-å £®¤®¢ ¤«ï ®¯¨á ­¨ï ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ª¢ ­â®¢ëå ¬®¤¥«¥© ⥮ਨ ¯®«ï (á¬.
[1℄, [2℄). ‚ ¯®á«¥¤­¨¥ £®¤ë í⨠ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨¢«¥ª îâ ª ᥡ¥ ¢á¥ ¡®«ì襥 ¢­¨¬ ­¨¥ ¡« £®¤ àï ¨å
á¢ï§ï¬ á ¨­¢ ਠ­â ¬¨ ƒà®¬®¢ {‚¨â⥭ , ª¢ ­â®¢ë¬¨ ª®£®¬®«®£¨ï¬¨ ¨ ⥮ਥ© “¨§¥¬ .
Š ª ¡ë«® § ¬¥ç¥­® ¢ [3℄, ¯à®¡«¥¬ ª« áá¨ä¨ª 樨 ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ª¢ ­â®¢ëå ¬®¤¥«¥© ⥮ਨ
¯®«ï, ¨«¨ ¯à®¡«¥¬ ¯®áâ஥­¨ï ®¡é¨å à¥è¥­¨© ãà ¢­¥­¨ï áá®æ¨ ⨢­®áâ¨ íª¢¨¢ «¥­â­ ¯à®¡Ä
«¥¬¥ ª« áá¨ä¨ª 樨 …£®à®¢áª¨å
¬¥âਪ á¯¥æ¨ «ì­®£® ⨯ . …£®à®¢áª¨¥ ¬¥âਪ¨ { íâ® ¯«®áª¨¥
P
¤¨ £®­ «ì­ë¥ ¬¥âਪ¨ ds2 = ni=1 h2i (u)(dui )2 â ª¨¥, çâ® i h2j (u) = j h2i (u), £¤¥ i = =ui .
Žª §ë¢ ¥âáï,
çâ® ¤«ï «î¡®© …£®à®¢áª®© ¬¥âਪ¨, 㤮¢«¥â¢®àïî饩 ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ã ãá«®¢¨î
Pn
j =1 j hi = 0, ä㭪樨
n xm ui ui
X
(1)
m
kl (x) =
i k l;
i=1 u x x
£¤¥ xk (u) ¯«®áª¨¥ ª®®à¤¨­ âë ¬¥âਪ¨, 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢­¥­¨ï¬
(2)
kij (x)lkm (x) = kjm (x)lik (x);
ª®â®àë¥ íª¢¨¢ «¥­â­ë ãá«®¢¨î áá®æ¨ ⨢­®á⨠«£¥¡àë k l = m
kl m . ®«¥¥ ⮣®, ®ª §ë¢ Ä
¥âáï, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â äã­ªæ¨ï F (x) â ª ï, çâ® ¥¥ âà¥âì¨ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ à ¢­ë
n
i i
3 F (x) = (x) = i (x); £¤¥ = X
h2i (u) up uq :
(3)
pq
mi
klm
kl
k
l
m
x x
x x x
i=1
Šà®¬¥ ⮣®, áãé¥áâ¢ãîâ ª®­áâ ­âë rm â ª¨¥, çâ® ¤«ï ¯®áâ®ï­­®© ¬ âà¨æë, § ¤ î饩 ¬¥âਪã
¢ ¯«®áª¨å ª®®à¤¨­ â å ¨¬¥¥â ¬¥á⮠ᮮ⭮襭¨¥ kl = rm klm (x).
“à ¢­¥­¨ï (2) ¨ ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ä㭪樨 F , ¤«ï ª®â®à®© ¢ë¯®«­¥­ë à ¢¥­á⢠(3),
íª¢¨¢ «¥­â­ë ãá«®¢¨ï¬ ᮢ¬¥áâ­®á⨠«¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨© (á¬. [3℄)
(4)
k l − m
kl m = 0;
£¤¥ ᯥªâà «ì­ë© ¯ à ¬¥âà. Žâ¬¥â¨¬, çâ® íâ® ã⢥थ­¨¥ ­®á¨â ¢ ®¯à¥¤¥«¥­­®¬ á¬ëá«¥ å Ä
à ªâ¥à ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ­¨ï, ¯®áª®«ìªã ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ®¥ ¢ëà ¥­¨¥ F ç¥à¥§ £®à¨§®­Ä
â «ì­ë¥ á¥ç¥­¨ï ¯«®áª®© á¢ï§­®á⨠∇k = =xk − m
kl ¡ë«® ­¥¨§¢¥áâ­® (¢ à拉 ç áâ­ëå á«ãÄ
ç ¥¢ â ª¨¥ ¢ëà ¥­¨ï ¡ë«¨ ­ ©¤¥­ë ¢ [3℄{[5℄). Žá­®¢­®© 楫ìî ­ áâ®ï饩 § ¬¥âª¨ ï¥âáï ¯®Ä
«ã祭¨¥ ®© ¯®à®¤ î饩 ä®à¬ã«ë ¤«ï F . Ž­ ¡ë« ¬®â¨¢¨à®¢ ­ १ã«ìâ â ¬¨ à ¡®âë [6℄,
£¤¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ä®à¬ã« ¡ë« ¯®«ã祭 ¤«ï «£¥¡à®-£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å à¥è¥­¨© ãà ¢­¥­¨©
áá®æ¨ ⨢­®áâ¨. Žâ¬¥â¨¬ ¯à¨ í⮬, çâ® å®âï ®¡é ï ä®à¬ã« ¢ [6℄ (⥮६ 5.1) ¯à ¢¨«ì­ , ¢
¥ñ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ (⥮६ 5.2), ª®â®àë© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ®á­®¢­®© ¨­â¥à¥á, ®¤¨­ ¨§ ç«¥­®¢ ¡ë«
¯à®¯ã饭. Œë ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ­ áâ®ï饩 ¢®§¬®­®áâìî ¨á¯à ¢¨âì íâã ­¥â®ç­®áâì.
Pn2.  áᬮâਬ ij (u) = ji (u) à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨© „ à¡ã{…£®à®¢ : k ij = ik kj ;
m=1 m ij = 0, i 6= j 6= k. ‘«¥¤ãï [3℄, § 䨪á¨à㥬 ¥¤¨­á⢥­­ãî …£®à®¢áªãî ¬¥âਪã,
®¯à¥¤¥«¨¢
ª®íää¨æ¨¥­âë ‹ ¬¥ hi (u) á ¯®¬®éìî ãà ¢­¥­¨© j hi (u) = ij (u)hj (u); i hi (u) =
P
− j 6=i ij (u)hj (u) ¨ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨© hi (0) = 1.
Ǒ«®áª¨¥ ª®®à¤¨­ âë í⮩ ¬¥âਪ¨ ­ 室ïâáï ¨§ á¨áâ¥¬ë «¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨© i j xk =
i i xk + j j xk , i 6= j ; i i xk = Pn j j xk , £¤¥ k ïîâáï ᨬ¢®« ¬¨ Šà¨áâ®ä¥«ï:
ij
ij
j =1 ii
ji
i = j hi =hi , j = (2Æij − 1)(hi j hi )=(h2 ). ‡ 䨪á¨à㥬 ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥ í⮩ á¨á⥬ë
ij
j
ii
P
á ¯®¬®éìî ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©: xk (0) = 0, k;l kl i xk (0)j xl (0) = Æij . ‡¤¥áì kl § ¤ ­­ ï
ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï ­¥¢ëத¥­­ ï ¬ âà¨æ .
168
‚ ŒŽ‘ŠŽ‚‘ŠŽŒ Œ€’…Œ€’ˆ—…‘ŠŽŒ Ž™…‘’‚…
‘¨á⥬ „ à¡ã{…£®à®¢ íª¢¨¢ «¥­â­ ãá«®¢¨ï¬ ᮢ¬¥áâ­®á⨠á¨áâ¥¬ë «¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨©
X
ik (u)k (u; ):
(5)
j i (u; ) = ij (u)j (u; ); i i (u; ) = i (u; ) −
k6=i
 áᬮâਬ ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥ i = (1i ; : : : ; ni ), ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ­ ç «ì­ë¬¨ ãá«®¢¨Ä
ﬨ ki (0; ) = P
i xk (0). ˆ§ á¨á⥬ë ãà ¢­¥­¨© (5) á«¥¤ã¥â, çâ® à §«®¥­¨¥ i ¨¬¥¥â ¢¨¤
−1
k
s
k
k
i (u; ) = hi (u) ∞
s=0 i s (u) , £¤¥ 0 = r ª®­áâ ­âë (ª®â®àë¥ ¬ë ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯®§¥),
k
k
1 (u) = x (u) ïîâáï ¯«®áª¨¬¨ ª®®à¤¨­ â ¬¨, sk ¤«ï
s > 2 ­ 室ïâáï ४ãà७⭮ ¨§
P
ãà ¢­¥­¨© i j sk = iij i sk + jji j sk , i 6= j ; i i sk = nj=1 jii j sk + i sk−1 ¨ ­ ç «ì­ëå
ãá«®¢¨© sk (0) = 0, i sk (0) = 0. Žâáî¤ á«¥¤ãîâ ãà ¢­¥­¨ï
n
m
2 sm = X
p s−1 ;
(6)
xk xl p=1 kl xp
£¤¥ pkl ®¯à¥¤¥«¥­ë ¢ (1). Ž¡®§­ 稬 2k (u) ¨ 3k (u) ç¥à¥§ y k (u) ¨ z k (u), ᮮ⢥âá⢥­­®.
P
P
ˆ§ (5) á«¥¤ã¥â, çâ® i = nj=1 j i . Žâáî¤ ¨¬¥¥¬ ni=1 i sk (u) = sk−1 ¤«ï s > 1.
Ǒ®á«¥¤­¥¥ à ¢¥­á⢮ ¤«ï s = 1 ®¯à¥¤¥«ï¥â ª®­áâ ­âë rk .
Pn
3. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¯®à®¤ îéãî ¢¥ªâ®à-äã­ªæ¨î à ¢¥­á⢮¬ (u; ) =
i=1 hi (u)i (u; ).
¥¯®á।á⢥­­® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® i (u; ) = hi (u)i (u; ). Ǒ¥à¢ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë à §«®¥Ä
­¨ï k-®© ª®¬¯®­¥­âë í⮩
ä㭪樨 ¯® ¯ à ¬¥âàã ¨¬¥îâ ¢¨¤: k (u; ) = rk + xk (u) +
P∞ k
k
2
k
3
y (u) + z (u) + s=4 s (u)s . Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ (6) á«¥¤ã¥â, ç⮠ï¥âáï ¯®à®¤ Ä
î饩 ä㭪樥© ¨ ¤«ï ¯«®áª¨å á¥ç¥­¨© á¢ï§­®á⨠∇k . ’®ç­¥¥, ¨§ (6) ­¥¯®á।á⢥­­® ¢ë⥪ Ä
¥â,
çâ® ä㭪樨 k (x) = (x)=xk 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢­¥­¨ï¬ (4). ®«¥¥ ⮣®, (x) =
Pn
k
k=1 r k (x).
k
k
k
‹¥¬¬ 1. ”㭪樨 x (u), y (u) ¨ z (u) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ᮮ⭮襭¨ï¬:
„
n
n
p
p«
X
X
y
z
q
q
q
kq y =
pq x k − r k :
x
x
q=1
p;q=1
` q
p
q p ´
1 Pn
’¥®à¥¬ . ”ã­ªæ¨ï F (x) = F (u(x)), F (u) =
2 p;q=1 pq x (u)y (u) − r z (u) , 㤮¢Ä
«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î (3).
P
‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ ã⢥थ­¨ï «¥¬¬ë ¢ë⥪ ¥â à ¢¥­á⢮ F=xk = nq=1 kq y q . Ǒ®á«¥
í⮣®, ã⢥थ­¨¥ â¥®à¥¬ë ­¥¯®á।á⢥­­® á«¥¤ã¥â ¨§ (1) ¨ (6) ¤«ï s = 2.
„®ª § ­­ë¥
à ¢¥­á⢠¬®£ãâ
¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ë ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢­¥­¨ï ⨯ ७®à¬-£à㯯ë:
P
q p
F = − Pn
F (x) − nk=1 xk x
k
p;q=1 pq r z . ‚ á«¥¤ãî饩 à ¡®â¥ ¬ë ¯« ­¨à㥬 ¯®«ãç¨âì
¡®«¥¥ ®¡é¥¥ à ¢¥­á⢮, ¢ª«îç î饥 ¢ F § ¢¨á¨¬®áâì ®â ¡¥áª®­¥ç­®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥­­ëå,
®â¢¥ç îé¨å £à ¢¨â 樮­­ë¬ ¯®â®¬ª ¬ ¯à¨¬ à­ëå ¯®«¥©.
‘Ǒˆ‘ŽŠ ‹ˆ’…€’“›
[1℄ Dijkgraaf R., Verlinde E., Verlinde H. Notes on topologial string theory and 2D
quantum gravity // String theory and quantum gravity (Trieste, 1990). River Edge, NJ: World
Si. Publ., 1991. P. 91{156. [2℄ Dijkgraaf R., Witten E. // Nul. Phys. B. 1990. V. 342. ò3.
P. 486{522. [3℄ Dubrovin B. A. Geometry of 2D topologial eld theories // Integrable sysÄ
tems and quantum groups (Monteatini Terme, 1993). Leture Notes in Math. V. 1620. Berlin:
Springer-Verlag, 1996. P. 120{348. [4℄ D'Hoker E., Krihever I. M., Phong D. H. // Nul.
Phys. B. 1997. V. 494. ò1{2. P. 89{104. [5℄ Krihever I. M. // Comm. Math. Phys. 1992. V. 143.
ò2. P. 415{429. [6℄ Krihever I. M. // Funt. Anal. Appl. 1997. V. 31. ò1. P. 25{39.
Columbia University, New York,
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17.03.1999