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181
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஢ ¯®ï¢¨«ïáì, ª ª ¯®¡®ç­ë© «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ᯥªâ ⥮ਨ ¨¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ­¥«¨­¥©­ëå ᮫¨Ä
â®­­ëå á¨á⥬ ¨ ᯥªâà «ì­®© ⥮ਨ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ª®­¥ç­®§®­­ëå ®¯¥à â®à®¢ [2℄{[5℄.
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Ǒ¥à¢ë¥ è £¨ ¡ë«¨ ᤥ« ­ë ¢ à ¡®â å [7℄, [8℄. Œ¥â®¤ íä䥪⨢­®© ª« áá¨ä¨ª 樨 ª®¬¬ãâ¨Ä
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à ¡®â å [9℄, [10℄. Š®¬¬ãâ¨àãî騥 ¯ àë à ­£ r § ¢¨áïâ ®â (r − 1) ¯à®¨§¢®«ì­®© ä㭪樨 ®¤­®©
¯¥à¥¬¥­­®©, £« ¤ª®© «£¥¡à ¨ç¥áª®© ªà¨¢®© á ®¤­®© ®â¬¥ç¥­­®© â®çª®© P ¨ ­ ¡®à ¯ à ¬¥âÄ
஢ ’îਭ (å à ªâ¥à¨§ãîé¨å ®á­ 饭­®¥ áâ ¡¨«ì­®¥ £®«®¬®àä­®¥ à áá«®¥­¨¥). Œë ­ §ë¢ ¥¬
â ª¨¥ ª®­áâàãªæ¨¨ ®¤­®â®ç¥ç­ë¬¨.
„«ï à §­®áâ­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢áï, áâ ¢è ï 㥠ª« áá¨ç¥áª®©, ⥮à¨ï ¯ à ª®¬¬ãâ¨àãîé¨å ®¯¥Ä
à â®à®¢ à ­£ r = 1 ®á­®¢ë¢ « áì ⮫쪮 ­ ¤¢ãåâ®ç¥ç­ëå ª®­áâàãªæ¨ïå [11℄, [12℄. Š®«ìæ â ª¨å ®¯¥à â®à®¢ ®ª §ë¢ «¨áì ¨§¬®àä­ë ª®«ìæ ¬ A( ; P ± ) ¬¥à®¬®àä­ëå ä㭪権 ­ «£¥¡à Ä
¨ç¥áª®© ªà¨¢®© á ¯®«îá ¬¨ ¢ ¯ ॠ®â¬¥ç¥­­ëå â®ç¥ª P ± .
‚ ¯à¥¤è¥áâ¢ãî饩 à ¡®â¥ ¢â®à®¢ [1℄ ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® ¤«ï à ­£ 2l > 2 è¨à®ª¨© ª« áá
ª®¬¬ãâ¨àãîé¨å à §­®áâ­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ®¤­®â®ç¥ç­®© ª®­áâàãªæ¨¨. €­ «®£¨çÄ
­® ­¥¯à¥à뢭®¬ã á«ãç î, í⨠®¯¥à â®àë § ¢¨áï⠮⠯ந§¢®«ì­ëå ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©
n ∈ Z.
‚ ­ áâ®ï饩 à ¡®â¥ ­ ¬¨ ¯®«ã祭® ®¯¨á ­¨¥ è¨à®ª®£® ª« áá ª®¬¬ãâ¨àãîé¨å à §­®áâ­ëå
®¯¥à â®à®¢, ¯®áâ஥­­ëå ¨áå®¤ï ¨§ ¤¢ãåâ®ç¥ç­ëå ª®­áâàãªæ¨¨. ‚ ®â«¨ç¨¥ ®â ®¤­®â®ç¥ç­ëå ª®­Ä
áâàãªæ¨¨, §¤¥áì ­¥ ¢®§­¨ª ¥â ­¨ª ª¨å ¯à®¨§¢®«ì­ëå ä㭪樨; ª®íää¨æ¨¥­âë ®¯¥à â®à®¢ ¬®£ãâ
¡ëâì ¢ëç¨á«¥­ë ç¥à¥§ âíâ -ä㭪樨 ¨¬ ­ . Š ª ¨ ¤«ï á«ãç ï à ­£ 1, í⨠®¯¥à â®àë ¯à¨¢®¤ïâ
ª à¥è¥­¨ï¬ ãà ¢­¥­¨© 2D 楯®çª¨ ’®¤ ¨ ¢á¥© á¢ï§ ­­®© á ­¨¬¨ ¨¥à à娨.
 áᬮâਬ £« ¤ªãî «£¥¡à ¨ç¥áªãî ªà¨¢ãî த g á ¤¢ã¬ï ®â¬¥ç¥­­ë¬¨ â®çª ¬¨ P ± .
Ǒãáâì ( ) ï¥âáï ­ ¡®à®¬ rg â®ç¥ª s , s = 1; : : : ; rg , ­ , () ï¥âáï ­ ¡®à®¬ (r − 1)¬¥à­ëå ¢¥ªâ®à®¢: s = (sj ), j = 1; : : : ; r − 1. ‘®£« á­® [9℄, [10℄, í⨠¯ à ¬¥âàë (; ), ­ §ë¢ Ä
îâáï ¯ à ¬¥âà ¬¨ ’îਭ . ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ®­¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ áâ ¡¨«ì­®¥ ®á­ 饭­®¥ à áá«®Ä
¥­¨¥ E ­ ¤ à ­£ r ¨ á⥯¥­¨ 1 (det E ) = rg .
(; ) ®¡é¥£® ¯®«®¥­¨ï áãé¥áâÄ
n (Q) = ( ni (Q)), i = 1; : : : ; r; Q ∈
‹¥¬¬ 1. „«ï «î¡®£® ­ ¡®à ¯ à ¬¥â஢ ’îਭ ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¬¥à®¬®àä­ ï ¢¥ªâ®à-äã­ªæ¨ï
, çâ® : (i) ¢­¥ P ± äã­ªæ¨ï ni (Q) ¨¬¥¥â ­¥ ¡®«¥¥ 祬 ¯à®áâë¥ ¯®«îáë ¢ â®çÄ
i
r
ª å s ; ¥¥ ¢ëç¥âë ¢ íâ¨å â®çª å 㤮¢«¥â¢®àïîâ ᮮ⭮襭¨î si ress n = ress n ;
i
(ii) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠®â¬¥ç¥­­ëå â®ç¥ª n (Q) , n = kr + j , 0 6 j < r, ¨¬¥¥â ¢¨¤
â ª ï
´
i
∓k ` i
n = z± n;± + O(z± ) ;
(1)
j
i
i
kr+j;+
= 1, kr+j;+
= 0, i > j ; kr+j;
− = 0, i < j (§¤¥áì z±
±
¢ ®ªà¥áâ­®áâïå P ).
£¤¥
«®ª «ì­ë¥ ª®®à¤¨­ âë
Ž¯à¥¤¥«¥­­ ï ¢ëè¥ ¢¥ªâ®à-äã­ªæ¨ï ï¥âáï ­ «®£®¬ à §­®áâ­®© ä㭪樨 ¥©ª¥à {€å¨¥§¥à ¤«ï á«ãç ï ¢ëáè¨å à ­£®¢.
 ¡®â ¢ë¯®«­¥­ ¯à¨ ç áâ¨ç­®© ¯®¤¤¥àª¥ £à ­â®¢ DMS-98-02577, DMS-97-04613.
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‚ ŒŽ‘ŠŽ‚‘ŠŽŒ Œ€’…Œ€’ˆ—…‘ŠŽŒ Ž™…‘’‚…
’¥®à¥¬ 1. Ǒãáâì
ni (Q)
ï¥âáï ¢¥ªâ®à­®© ä㭪樥© ¥©ª¥à -€å¨¥§¥à ¢¥âáâ¢ãî饩 ­ ¡®àã «£¥¡à®-£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¤ ­­ëå
{
; P ± ; (; )}.
,
á®®âÄ
’®£¤ ¤«ï «î¡®©
f (Q) ∈ A( ; P ± ) áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© à §­®áâ­ë© ®¯¥à â®à Lf ¢¨¤ :
rn
+
X
(2)
Lf =
6 0;
ui (n)T i ;
u±rn± = f± =
i=−rn−
i
i
â ª®© , çâ® Lf n (Q) = f (Q) n (Q), i = 1; : : : ; r . ‡¤¥áì T yn = yn+1 ®¯¥à â®à ᤢ¨£ , n± ¯®à浪¨ ä㭪樨 f (Q) ¢ â®çª å P ± .
Š ª äã­ªæ¨ï , â ª ¨ ª®íää¨æ¨¥­âë ®¯¥à â®à®¢ ¬®£ãâ ¡ëâì ® ¢ëç¨á«¥­ë ç¥à¥§
âíâ -äã­ªæ¨î ¨¬ ­ , ®â¢¥ç îéãî ªà¨¢®© . Š®íää¨æ¨¥­âë ®¯¥à â®à®¢ Lf ïîâÄ
−
+
áï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ €(P ) − A(P ) ï¥âáï
â®çª®© ª®­¥ç­®£® ¯®à浪 ­ 类¡¨ ­¥ J ( ).
‡ ¬¥ç ­¨¥ 1. Ž¡à ⨬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­ â®, çâ® ¢ í⮩ ª®­áâàãªæ¨¨ ­¥â ä㭪樮­ «ì­ëå ¯ à Ä
¬¥â஢ ¤ ¥ ¨ ¢ á«ãç ¥ à ­£ r > 1. ˆ§ ä®à¬ã« (2) á«¥¤ã¥â, çâ® á।¨ ®¯¥à â®à®¢ Lf ¨¬¥îâáï
ª ª â ª¨¥, çâ® ¢á¥ ᤢ¨£¨ T i ¯®«®¨â¥«ì­ë, i > 0, â ª ¨ â ª¨¥ ®¯¥à â®àë, çâ® ¢á¥ ᤢ¨£¨ ®âà¨Ä
æ ⥫ì­ë, i < 0. Ž¤­®â®ç¥ç­ë¥ ª®­áâàãªæ¨¨ ­¨ª®£¤ ­¥ ¯à¨¢®¤ïâ ª â ª¨¬ ®¯¥à â®à ¬. Œë ¥áÄ
b (r; C ),
â¥á⢥­® ¯à¨å®¤¨¬ §¤¥áì ¨ ª ª®­áâàãªæ¨¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ¢ ਠ­â «£¥¡àë Š æ -Œã¤¨ sl
±
áá®æ¨¨à®¢ ­­®© á «£¥¡à ¨ç¥áª®© ªà¨¢®© á ®â¬¥ç¥­­ë¬¨ â®çª ¬¨ P ¯® á奬¥ à ¡®âë [13℄.
‡ ¬¥ç ­¨¥ 2. €¢â®àë â ª¥ ¯®áâந«¨ ¤«ï «î¡®£® à ­£ r > 1 ¤¢ãåâ®ç¥ç­ë¥ ¢¥ªâ®à-ä㭪樨 ¥©ª¥à {€å¨¥§¥à , § ¤ î騥 à¥è¥­¨ï ¯®«­®© ¨¥à à娨 ãà ¢­¥­¨© 2D 楯®çª¨ ’®¤ . Ž­¨
§ ¢¨áïâ ®â 2(r − 1) ¯à®¨§¢®«ì­ëå ä㭪権. â ª®­áâàãªæ¨ï ᮤ¥à¨â ⥮à¨î ¨­â¥£à¨à㥬ëå
¯®â¥­æ¨ «®¢ ¤¢ã¬¥à­®£® ®¯¥à â®à ˜à¥¤¨­£¥à , á¢ï§ ­­ëå á à á«®¥­¨ï¬¨ ¢ëáè¨å à ­£®¢, ­ Ä
ç âãî ¢â®à ¬¨ ¢ à ¡®â¥ [14℄.
 áᬮâਬ ª®«ìæ® D à §­®áâ­ëå ®¯¥à â®à®¢ ª®­¥ç­®£® ¯®à浪 . ‚ ᨫã ⥮६ë 1 ­ ¡®à ¯ Ä
à ¬¥â஢ ’îਭ ®¡é¥£® ¯®«®¥­¨ï (; ) § ¤ ¥â £®¬®¬®à䨧¬ G(;) : A( ; P ± ) 7→ D, ®¡à §
ª®â®à®£® ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬ ª®¬¬ãâ ⨢­ë¬ ¯®¤ª®«ì殬. ‘«¥¤ãîé ï ⥮६ ¯®ª §ë¢ ¥â,
çâ® ¯à¥¤«®¥­­ ï ª®­áâàãªæ¨ï ®¯¨áë¢ ¥â ¢á¥ ¯®¤®¡­ë¥ ª®«ìæ ®¡é¥£® ¯®«®¥­¨ï.
±
’¥®à¥¬ 2. „«ï «î¡®£® ª®«ì楢®£® ¬®­®¬®à䨧¬ G : A( ; P
) 7→ D, â ª®£® çâ®
®¯¥à â®àë Lf = G(f ) ¨¬¥îâ ¢¨¤ (2), ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ᮢ¬¥áâ­ë¥ ᮡá⢥­­ë¥ äã­ªÄ
樨 ®¯à¥¤¥«ïî⠮᭠饭­®¥ £®«®¬®àä­®¥ à áá«®¥­¨¥ à ­£ r ¨ á⥯¥­¨ rg . ‚ ®¡é¥¬
¯®«®¥­¨¨ , ª®£¤ íâ® à áá«®¥­¨¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¯ à ¬¥âà ¬¨ ’îਭ (; ), £®¬®¬®àÄ
䨧¬ G ᮢ¯ ¤ ¥â á £®¬®¬®à䨧¬®¬ G = G(;) , § ¤ ¢ ¥¬ë¬ ¢ ᨫã ⥮६ë 1 á
ä㭪樨
¯®¬®éìî ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¢¥ªâ®à­®© ä㭪樨 ¥©ª¥à {€å¨¥§¥à .
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[1℄ Šà¨ç¥¢¥à ˆ. Œ., ®¢¨ª®¢ ‘. Ǒ. // “Œ. 2000. ’. 55. ò1. ‘. 187{188. [2℄ „ãÄ
¡à®¢¨­ . €., Œ ⢥¥¢ ‚. ., ®¢¨ª®¢ ‘. Ǒ. // “Œ. 1976. ’. 31. ò1. ‘. 55{136.
[3℄ Šà¨ç¥¢¥à ˆ. Œ. // “Œ. 1977. ’. 32. ò6. ‘. 183{208. [4℄ „ã¡à®¢¨­ . €., Šà¨ç¥Ä
¢¥à ˆ. Œ., ®¢¨ª®¢ ‘. Ǒ. ˆâ®£¨ ­ 㪨 ¨ â¥å­¨ª¨. ”ã­¤ ¬¥­â «ì­ë¥ ¯à®¡«¥¬ë ¬ ⥬ ⨪¨.
Œ.: ‚ˆˆ’ˆ, 1985. [5℄ ‡ å ஢ ‚. …., Œ ­ ª®¢ ‘. ‚., ®¢¨ª®¢ ‘. Ǒ., Ǒ¨â ¥¢áÄ
ª¨© ‹. Ǒ. ’¥®à¨ï ᮫¨â®­®¢. Œ¥â®¤ ®¡à â­®© § ¤ ç¨. Œ.:  㪠, 1980. [6℄ Burhnall J. L.,
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1977. ’. 11. ò1. ‘. 11{31. [9℄ Šà¨ç¥¢¥à ˆ. Œ. // ”ã­ªæ. ­ «¨§ ¨ ¥£® ¯à¨«. 1978. ’. 12. ò3.
‘. 20{31. [10℄ Šà¨ç¥¢¥à ˆ. Œ., ®¢¨ª®¢ ‘. Ǒ. // ”ã­ªæ. ­ «¨§ ¨ ¥£® ¯à¨«. 1978. ’. 12.
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Columbia University, New York, University of Maryland, College Park,
ˆ­áâ¨âãâ ⥮à¥â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ ¨¬. ‹ ­¤ ã
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03.04.2000