1 Final Exam Sample Questions Signals and Systems Course Fall 91 1. Consider the signal x(t) with the Laplace transform region of convergence a < Real{s} < b where a < 0 < b. Determine the Laplace transform region of convergence for y(t) = x(t)u(t). 2. Given the following fact about a real signal x(t), determine X(s) and specify the region of convergence. a. X(s) has exactly two poles. b. X(s) has no zeros in the finite s-plane. c. X(s) has a pole at s= -1+j. d. 𝑒 2𝑡 𝑥(𝑡) is not absolutely integrable. e. X(0)=8. 3. We are given the following five facts about a discrete-time signal x[n] with Z-transform X(z): a. x[n] is real and right –sided. b. X(z) has exactly two poles. c. X(z) has two zeros at the origin. 𝑗𝜋 d. X(z) has poles at z=0.5 𝑒 3 e. X(1) =8/3 Determine X(z) and specify its region of convergence. 4. Consider the following DT pole-zero diagrams, where the circles have unit radius. a. Which if any of the pole-zero plots could represent the z-transform of the following DT signal? b. Which if any of the pole-zero diagrams could represent a system that is stable? 2 Final Exam Sample Questions Signals and Systems Course Fall 91 c. Which if any of the pole-zero diagrams could represent a system that is casual? d. Which if any of the pole-zero diagrams could represent a system that is both stable and casual? 5. Determine which of the following pole-zero diagrams could represent Laplace transforms of even functions of time. Determine expressions for the time functions of those that can represent even functions of time. For those that cannot, explain why they cannot. 1−𝑎∗ 𝑧 6. Consider a discrete-time LTI system with transfer function H(z) = , |a|<1 𝑧−𝑎 a. Sketch the pole-zero plot of H(z) in the z-plane. b. Is H(z) stable and causal? Why? c. Use the graphic method to show what the magnitude response of the system is. 7. The input x(n) = 2𝑛 [𝑢(𝑛) − 3𝑢(𝑛 − 1)] to an unknown LTI system produces the output y(n) = (3𝑛 − 2𝑛 )𝑢(𝑛) a. Determine the impulse response h(n) of the system. b. Is the solution unique? What if the system is known to be unstable? What if it is causal? 8. Consider the digital filter structure shown below. a. Find H(z) for this casual filter. Plot the pole-zero pattern and indicate the region of convergence. b. For what value of k is the system stable. 2 c. Determine y[n] if k = 1 and x[n] = ( )𝑛 for all n. 3 3 Final Exam Sample Questions Signals and Systems Course Fall 91 9. Consider the following feedback system in which the box represents a causal LTI CT system that is represented by its system function. a. Determine the range of K for which this feedback system is stable. b. Determine the range of K for which this feedback system has real-valued poles. 10.When the input to an LTI system is 1 𝑛 𝑥[𝑛] = ( ) 𝑢[𝑛] + 2𝑛 𝑢[−𝑛 − 1] 2 The output is 1 𝑛 3 𝑛 𝑦[𝑛] = 6 ( ) 𝑢[𝑛] − 6 ( ) 𝑢[𝑛] 2 4 Find the system function H(z) of the system. Plot the poles and zeros and indicate the region of convergence. Find the impulse response h[n] of the system. Write the difference equation that characterizes the system. Is the system stable? Is it causal? 11.Questions from Oppenheim Book, 2nd edition. Chapter 9: 21, 23, 25, 38, 44, 51 Chapter 10: 22, 24, 31, 38 4 Final Exam Sample Questions Signals and Systems Course Fall 91 .1سیستم LTIعلی توصیف شده با معادله تفاضلی زیر را در نظر بگیرید. 𝑦[𝑛] + 0.5𝑦[𝑛 − 1] − 𝑥 [𝑛] = 0 ابتدا پاسخ فرکانسی ) 𝑤𝑗 𝑒(𝐻 را برای این سیستم بدست آورید و سپس پاسخ سیستم را به دو ورودی زیر بدست آورید: الف)]𝑛[𝑢 𝑛)𝑥 [𝑛] = (0.5 ب) 𝑒 𝑗𝑤 −0.25 𝑒 𝑗𝑤 +0.5 = ) 𝑤𝑗 𝑒( 𝑋 (تبدیل فوریه ورودی) .2با فرض اینکه ) x(tسیگنالی با نرخ نایکویست 𝑤0است ،نرخ نایکویست را برای سیگنال .3سیگنال زیر را در نظر بگیرید: 𝑘 )𝑡(𝑥𝑑 𝑡𝑑 𝑥 (𝑡 ) cos(𝑤0 𝑡 ) +بدست آورید. ∞ ) 𝑡𝑘𝜋𝑥 (𝑡 ) = ∑ 2−2 cos(40 𝑘=0 الف) می خواهیم یک فیلتر پایین گذر طراحی کنیم که بیشتر از %11از انرژی سیگنال ) x(tرا حذف نکند .فرکانس قطع این فیلتر چیست؟ ب) فرض کنید )𝑡( ̅𝑥 حاصل خروجی فیلتر قسمت قبل به سیگنال ) x(tباشد .پهنای باند و نرخ نایکوییست )𝑡( ̅𝑥 را بدست آورید. .4در شکل زیر ) 𝑡( 𝑚2و ) 𝑡( 𝑚1سیگنال هایی حقیقی با تبدیالت فوریه حقیقی )𝑤𝑗( 𝑀2و) 𝑤𝑗( 𝑀1می باشند .اگر داشته باشیم: 𝑧𝐻𝑘𝑓𝑜𝑟 |𝑤 | > 2𝜋 ∗ 15 𝑀𝑖 (𝑗𝑤) = 0, و اگر فرکانس حامل برابر 𝑧𝐻𝑘 𝑓𝑐 = 100باشد: الف) تبدیل فوریه سیگنال مدوله شده ) x(tرا بیابید .اندازه تبدیل فوریه و پهنای باند سیگنال ) x(tرا مشخص کنید. ب) سیستمی طراحی کنید که xرا دمدوله و سیگنال های ) 𝑡( 𝑚2و ) 𝑡( 𝑚1را بازیابی کند .ثابت کنید که سیستم شما کار می کند. 5 Final Exam Sample Questions Signals and Systems Course Fall 91 .5تابع سیستم یک سیستم علی و LTIبه شکل زیر است: 𝑠−4 𝑠 2 + 5𝑠 + 4 = ) 𝑠( 𝐻 الف) منطقه همگرایی این تابع سیستم را تعیین کنید. ب) آیا این سیستم پایدار است؟ چرا؟ ج) در حالتی که ورودی سیستم |𝑡| 𝑥(𝑡) = 𝑒 −2است ،خروجی آن را تعیین کنید. .6درستی و یا نادرستی عبارات زیر را با ذکر دلیل مشخص کنید. الف) اگر ) X(tتابعی فرد باشد ،آنگاه ).X(s) = -X(-s ب) تبدیل الپالس 𝑡 𝑒 𝑗𝑤0در هیچ جای صفحه ی sهمگرا نیست. ج) سیگنال مطلق ًا انتگرال پذیری که در s=3دارای یک قطب است می تواند راست گرا باشد. .7 )𝑠(𝑌 )𝑠(𝑋 = )𝑠( 𝐻 را در سیستم زیر بدست آورید. 2 𝑠+4 = )𝑠( 𝐻4 0.1 𝑠 + 20 = )𝑠( 𝐻3 10 𝑠 = )𝑠( 𝐻2 𝐻1 (𝑠) = 2 ∞ ∑+و ناحیه ی همگرایی آن را بیابید. .8اگر ) X(zتبدیل zمربوط به دنباله ] x[nباشد ،تبدیل zمربوط به دنباله ] 𝑘[ 𝑥 𝑘=𝑛+1 Final Exam Sample Questions Signals and Systems Course Fall 91 .9نمودار صفر -قطب متناظر با ) ،X(zتبدیل zدنباله علی ] x[nدر شکل زیر مشخص شده است .نمودار صفر -قطب ) Y(zرا وقتی ] 𝑦[𝑛] = 𝑥 [−𝑛 + 3باشد را رسم کنید و ناحیه همگرایی ) Y(zرا مشخص کنید. 6
© Copyright 2024 Paperzz