‫ساختمانهای‌گسسته‬
‫‌‬
‫تمرین‌سری‌نهم‬
‫ها‌و‌درختها‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫گراف‬
‫استاد‪‌:‬دکتر‌آبام‬
‫دستیار‌آموزشی‪‌:‬آرین‌اربابی‬
‫از‌هر‌راس‌درجه‌فرد‌مسیری‌به‌یک‌راس‌درجهی‌فرد‌دیگر‌وجود‌دارد‪.‬‬
‫‌‬
‫‪ -1‬ثابت‌کنید‌در‌هر‌گراف‌ساده‪‌،‬‬
‫را‌پیدا‌کنید‌که‌هر‌گراف‌سادهی‌ ‌راسی‌اگر‌ ‌یال‌داشته‌باشد‌حتما‌همبند‌است‪.‬‬
‫‌‬
‫‪ -2‬کمترین‌مقدار‌ ‌‬
‫‪ -3‬ثابت‌کنید‌هر‌گراف‌ساده‌با‌حداقل‌‪‌2‬راس‪‌،‬حدقل‌‪‌2‬راس‌غیر‌برشی‌دارد‪(‌.‬راس‌برشی‌راسی‌است‌که‌با‌حذف‌آن‌گراف‌ناهمبند‌‬
‫شود)‬
‫‪ -4‬ثابت‌کنید‌در‌یک‌جدول‌شطرنج‌‬
‫هر‌دو‌فرد‌هستند‌نمیتوان‌از‌یک‌خانه‌با‌یک‌اسب‌شروع‌به‌حرکت‌کرد‌و‌‬
‫‌‬
‫‌که‌ ‌و‌ ‌‬
‫مالقات‌کرد‌و‌در‌نهایت‌به‌خانهی‌شروع‌رسید‪‌.‬‬
‫‌‬
‫هر‌خانه‌از‌جدول‌را‌دقیقا‌یک‌بار‌‌‬
‫ی‌راسها‌وجود‌دارد‪.‬‬
‫‌‬
‫‌‬
‫مینیمم‌درجه‬
‫‪ -5‬ثابت‌کنید‌در‌هر‌گراف‌ساده‌حتما‌مسیری‌با‌طول‌‬
‫یکریخت‌باشد‪‌.‬ثابت‌کنید‌اگر‌ ‌خود‌مکمل‌باشد‌خواهیم‌داشت‌‬
‫را‌خود‌مکمل‌مینامیم‌هر‌گاه‌ ‌با‌ ̅ ‌ ‌‬
‫‌‬
‫‪ -6‬گراف‌ ‌‬
‫یا‌‬
‫‌‬
‫‪.‬‬
‫های‌برابر‌میباشد‪.‬‬
‫‌‬
‫‌‬
‫هایی‌با‌اندازه‬
‫‌‬
‫متنظم‌دارای‌بخش‬
‫‪ -7‬ثابت‌کنید‌هر‌گراف‌‪2‬بخشی‌ ‌‬
‫اگر‌مینیمم‌درجهی‌گراف‌ ‌راسی‌ ‌بزرگتر‌یا‌مساوی‌ ‌باشد‌و‌ ‌حداقل‌‪‌4‬راس‌داشته‌باشد‌ثابت‌کنید‌ ‌حتما‌یک‌دور‌به‌‬
‫‌‬
‫‪-8‬‬
‫طول‌‪‌4‬دارد‪.‬‬
‫ی‌آن‌گراف‌پدید‌آمده‌یک‌گراف‌سادهی‌کامل‌باشد‪‌.‬اگر‌‬
‫‌‬
‫با‌حذف‌جهت‌یالها‬
‫‌‬
‫را‌تورنمنت‌مینامند‌اگر‌‬
‫‌‬
‫‪ -9‬گراف‌جهتدار‌ ‌‬
‫درجهی‌ورودی‌راس‌ ‌و‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫درجهی‌خروجی‌آن‌باشد‌ثابت‌کنید‪:‬‬
‫‌ ‌‬
‫)‬
‫(∑‬
‫)‬
‫(∑‬
‫‌‬
‫‪ -11‬فرض‌کنید‌در‌درخت‌ ‌طول‌بلندترین‌مسیر‌ ‌باشد‪‌.‬ثابت‌کنید‌اگر‌در‌ ‌دو‌مسیر‌با‌طول‌ ‌داشته‌باشیم‌این‌دو‌مسیر‌حداقل‌‬
‫یک‌راس‌مشترک‌دارند‪.‬‬
‫فاصلهی‌دورترین‌راس‌از‌آن‌کمینه‌باشد‪‌.‬ثابت‌کنید‌هر‌درخت‌یا‌یک‌مرکز‌یا‌دو‌‬
‫بین‌تمام‌راسها‌ ‌‬
‫‌‬
‫‪ -11‬مرکز‌یک‌درخت‌راسی‌است‌که‌‬
‫مرکز‌متصل‌به‌هم‌دارد‪.‬‬
‫درجهی‌خروجی‌آن‌برابر‌است‌تور‌اویلری‌دارد‪.‬‬
‫درجهی‌ورودی‌هر‌راس‌آنهپ‌با‌ ‌‬
‫‪ -12‬ثابت‌کنید‌هر‌گراف‌جهتدار‌همبند‌که‌ ‌‬
‫تمام‌راسها‌خروجی‌دقیقا‌یک‌‬
‫‌‬
‫ریشهدار‌فراگیر‌گراف‌جهتدار‌ ‌زیر‌درخت‌فراگیری‌از‌ ‌است‌که‌غیر‌از‌یک‌راس‌ریشه‪‌،‬‬
‫‪ -13‬درخت‌ ‌‬
‫درجهی‌خروجی‌آن‌برابر‌است‌یک‌‬
‫درجهی‌ورودی‌هر‌راس‌با‌ ‌‬
‫یال‌از‌این‌درخت‌باشند‪‌.‬ثابت‌کنید‌هر‌گراف‌جهتدار‌همبند‌که‌ ‌‬
‫درخت‌ریشهدار‌فراگیر‌دارد‪(‌.‬راهنمایی‪‌:‬از‌مساله‌قبل‌استفاده‌کنید)‬
‫‌‬
‫را‌میتوان‌با‌‬
‫ثابت‌کنید‌راسهای‌گراف‌ ‌ ‌‬
‫‌‬
‫‪-14‬‬
‫‌رنگ‌طوری‌رنگ‌آمیزی‌کرد‌که‌هیچ‌دو‌راس‌مجاوری‌همرنگ‌نباشند‪‌ (‌.‬‬
‫بزرگترین‌درجهی‌ ‌است‪).‬‬
‫‌‬
‫‪ -15‬فرض‌کنید‌‬
‫درجاتی‌برابر‌با‌‬
‫‌اعداد‌صحیح‌مثبتی‌باشند‌و‌داشته‌باشیم‌‬
‫∑‪‌.‬ثابت‌کنید‌درختی‌با‌دنباله‌‬
‫‌وجود‌دارد‪.‬‬
‫***‌‬
‫دربارهی‌این‌تمرین‌از‌طریق‌آدرس‌زیر‌اطالع‌دهید‪‌:‬‬
‫لطفا‌در‌صورت‌وجود‌ابهام‌یا‌مشکل‌ ‌‬
‫‪[email protected]‬‬