‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪا‬
‫داﻧﺸﮕﺎه ﺻﻨﻌﺘﻲ ﺷﺮﻳﻒ‬
‫داﻧﺸﻜﺪهي ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‬
‫ﻧﻈﺮﻳﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﻲ ﺑﺎزيﻫﺎ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺳﺮي اول‬
‫ﻣﻬﻠﺖ ﺗﺤﻮﻳﻞ ‪ 22 :‬اﺳﻔﻨﺪ ‪90‬‬
‫‪ -1‬ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ)‪-1‬اﻟﻒ( ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪه اﺳﺖ‪ ،‬ﻗﺮار اﺳﺖ ﭼﻬﺎر راﻧﻨﺪه‪ ،‬ﻫﻤﺰﻣﺎن‪ ،‬از ﻣﻜﺎن ‪ A‬ﺑﻪ ﻣﻜﺎن ‪B‬‬
‫ﺑﺮوﻧﺪ‪.‬دو ﻣﺴﻴﺮ در دﺳﺘﺮس اﺳﺖ‪ ،‬ﻳﻜﻲ از ﻃﺮﻳﻖ ‪ X‬و دﻳﮕﺮي از ﻃﺮﻳﻖ ‪Y‬ﻛﻪ ﻣﺴﻴﺮﻫﺎي ‪ A‬ﺑﻪ ‪ X‬و ‪ Y‬ﺑﻪ ‪ B‬ﻫﺮ دو ﻛﻮﺗﺎه و‬
‫ﺑﺎرﻳﻚ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﻋﺒﻮر از ﻫﺮ ﻛﺪام ﻳﻚ ﻣﺎﺷﻴﻦ در ‪ 6‬دﻗﻴﻘﻪ آن را ﻃﻲ ﻣﻲﻛﻨﺪ و ﺑﺎ اﺿﺎﻓﻪ ﺷﺪن ﻫﺮ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺑﻪ آن‬
‫ﻣﺴﻴﺮﻫﺎ‪ 3 ،‬دﻗﻴﻘﻪ ﺑﻪ زﻣﺎن ﻃﻲ ﻣﺴﻴﺮ ﺑﺮاي ﻫﻤﻪي ﻣﺎﺷﻴﻦﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ آن ﻣﺴﻴﺮ را اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮدهاﻧﺪ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ‪ .‬ﻣﺴﻴﺮﻫﺎي‬
‫‪ A‬ﺑﻪ ‪ Y‬و ‪ X‬ﺑﻪ ‪ B‬ﻫﺮ دو دراز و ﻋﺮﻳﺾ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬از ‪ A‬ﺑﻪ ‪ Y‬ﺑﺮاي ﻳﻚ ﻣﺎﺷﻴﻦ ‪ 20‬دﻗﻴﻘﻪ ﻃﻮل ﻣﻲﻛﺸﺪ ﺗﺎ آن را ﻃﻲ ﻛﻨﺪ و‬
‫ﺑﺎ اﺿﺎﻓﻪ ﺷﺪن ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﻣﺎﺷﻴﻦ‪ 1 ،‬دﻗﻴﻘﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ زﻣﺎن اﺿﺎﻓﻪﺗﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪.‬از ‪ X‬ﺑﻪ ‪ B‬ﺑﺮاي ﻳﻚ ﻣﺎﺷﻴﻦ ‪ 20‬دﻗﻴﻘﻪ ﻃﻮل‬
‫ﻣﻲﻛﺸﺪ ﺗﺎ آن را ﻃﻲ ﻛﻨﺪ و ﺑﺎ اﺿﺎﻓﻪ ﺷﺪن ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﻣﺎﺷﻴﻦ‪ 0,9 ،‬دﻗﻴﻘﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ زﻣﺎن اﺿﺎﻓﻪﺗﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪.‬اﻳﻦ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ‬
‫را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺑﺎزي اﺳﺘﺮاﺗﮋﻳﻚ ﻓﺮﻣﻮﻟﻪ ﻛﻨﻴﺪ و ﺗﻌﺎدل ﻧﺶ‪ 1‬آن را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫‪Nash Equilibrium‬‬
‫‪1‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪-1‬اﻟﻒ‬
‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻳﻚ ﺟﺎده ﻋﺮﻳﺾ و ﻛﻮﺗﺎه در ﺑﻴﻦ دو ﻣﻮﻗﻴﻌﺖ ‪ X‬و‪ Y‬ﻛﺸﻴﺪه ﺷﺪه اﺳﺖ)ﺷﻜﻞ ‪-1‬ب( و ﻋﻼوه ﺑﺮ‬
‫ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﺣﺎﻛﻢ ﺑﺮ ﺟﺎدهﻫﺎي ﺣﺎﺿﺮ‪ ،‬در اﻳﻦ ﺟﺎدهي ﺟﺪﻳﺪ‪ ،‬ﻳﻚ ﻣﺎﺷﻴﻦ ‪ 7‬دﻗﻴﻘﻪ ﻃﻮل ﻣﻲﻛﺸﺪ ﺗﺎ آن را ﻃﻲ ﻛﻨﺪ و ﺑﻪ‬
‫ازاي اﺿﺎﻓﻪ ﺷﺪه ﻫﺮ ﻣﺎﺷﻴﻦ‪ 1 ،‬دﻗﻴﻘﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ زﻣﺎن اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻲﺷﻮد‪.‬در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻫﺮ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺑﺮاي رﻓﺘﻦ از ‪ A‬ﺑﻪ ‪ B‬ﭼﻬﺎر‬
‫اﻧﺘﺨﺎب دارد‪ A-Y-B ، A-X-Y-B ،A-X-B :‬و ‪ )A-Y-X-B‬ﭘﺲ ﺟﺎدهي ‪ Y– X‬دو ﻃﺮﻓﻪ اﺳﺖ! و زﻣﺎن ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﺮاي‬
‫ﻫﺮ ﻃﺮف ﺟﺎده ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ در ﻧﻈﺮ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد ﻳﻌﻨﻲ ﺗﺮاﻓﻴﻚ در ﻻﻳﻦ ‪ X‬ﺑﻪ ‪ Y‬در زﻣﺎن ‪ Y‬ﺑﻪ ‪ X‬ﺗﺎﺛﻴﺮي ﻧﺪارد(‪.‬‬
‫ﺗﻌﺎدل ﻧﺶ را ﺑﺮاي اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻧﻴﺰ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫ﺷﻜﻞ ‪-2‬ب‬
‫در ﻧﻬﺎﻳﺖ زﻣﺎنﻫﺎي ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه ﺑﺮاي ﻣﺴﺎﻓﺮت‪ ،‬در ﺗﻌﺎدل ﻫﺮ ﻗﺴﻤﺖ را‪ ،‬ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ -2‬دو ﺣﻴﻮان وﺣﺸﻲ ﺑﺮ ﺳﺮ ﺷﻜﺎر ﺑﻌﻀﻲ از ﻃﻌﻤﻪﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﻢ رﻗﺎﺑﺖ ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﻛﺪام از آن دو ﻣﻲﺗﻮاﻧﻨﺪ آرام و ﻳﺎ‬
‫ﻣﻬﺎﺟﻢ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﻛﺪام از آن دو ﺗﺮﺟﻴﺢ ﻣﻲدﻫﻨﺪ ﻛﻪ آرام ﺑﺎﺷﻨﺪ اﮔﺮ ﻃﺮف ﻣﻘﺎﺑﻞ آﻧﻬﺎ ﻣﻬﺎﺟﻢ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬و ﻣﻬﺎﺟﻢ ﺑﺎﺷﻨﺪ‬
‫اﮔﺮ ﻃﺮف ﻣﻘﺎﺑﻞ آﻧﻬﺎ آرام ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬از ﻃﺮﻓﻲ ﻫﺮ دو آرام ﺑﻮدن ﻃﺮف ﻣﻘﺎﺑﻠﺸﺎن را ﺑﻪ ﻣﻬﺎﺟﻢ ﺑﻮدن وي ﺗﺮﺟﻴﺢ ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪.‬‬
‫اﻳﻦ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺑﺎزي اﺳﺘﺮاﺗﮋﻳﻚ ﻓﺮﻣﻮﻟﻪ ﻛﻨﻴﺪ و ﺗﻌﺎدل ﻧﺶ را آن را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ -3‬دو ﻧﻔﺮ وارد ﻳﻚ اﺗﻮﺑﻮس ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪ .‬دو ﺻﻨﺪﻟﻲ ﺗﻨﮓ ﺑﻪ ﻣﺠﺎورت ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ وﺟﻮد دارد‪.‬ﻫﺮ ﺷﺨﺺ ﺑﺎﻳﺪ ﺗﺼﻤﻴﻢ‬
‫ﺑﮕﻴﺮد ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺴﺘﺪ ﻳﺎ اﻳﻨﻜﻪ ﺑﻨﺸﻴﻨﺪ‪ .‬ﻧﺸﺴﺘﻦ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮ روي ﺻﻨﺪﻟﻲﻫﺎ راﺣﺖ ﺗﺮ از ﻧﺸﺴﺘﻦ ﺑﺮ روي آﻧﻬﺎ در ﻛﻨﺎر ﻳﻚ ﺷﺨﺺ‬
‫دﻳﮕﺮ‪،‬ﻛﻪ آن ﻫﻢ راﺣﺖ ﺗﺮ از اﻳﺴﺘﺎدن اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮ ﺷﺨﺺ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﻣﻨﺎﻓﻊ ﺧﻮﻳﺶ اﻫﻤﻴﺖ ﻣﻲدﻫﺪ‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺑﺎزي اﺳﺘﺮاﺗﮋﻳﻚ ﻣﺪل‬
‫ﻛﻨﻴﺪ‪.‬آﻳﺎ اﻳﻦ ﺑﺎزي ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﻣﻌﻤﺎي زﻧﺪاﻧﻲﻫﺎ‪2‬ﺳﺖ؟ ﺗﻌﺎدل)ﻫﺎي( ﻧﺶ اﻳﻦ ﺑﺎزي را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ دو ﺷﺨﺺ‪ ،‬ﻧﻮع دوﺳﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ و راﺣﺘﻲ ﻫﺮ ﭼﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ﺑﺮاي آﻧﻬﺎ از راﺣﺘﻲ‬
‫ﺧﻮدﺷﺎن در ارﺟﺤﻴﺖ اﺳﺖ اﻣﺎﺟﺪا از رﺳﻢ ادب‪ ،‬اﮔﺮ ﻳﻜﻲ از آﻧﻬﺎ اﻳﺴﺘﺎده ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬دﻳﮕﺮي ﻧﻴﺰ ﺗﺮﺟﻴﺢ ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ‬
‫ﺑﺎﻳﺴﺘﺪ ﺗﺎ ﺑﻨﺸﻴﻨﻨﺪ‪.‬اﻳﻦ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﺑﺎزي اﺳﺘﺮاﺗﮋﻳﻚ ﻣﺪل ﻛﻨﻴﺪ‪.‬آﻳﺎ اﻳﻦ ﺑﺎزي ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﻣﻌﻤﺎي‬
‫زﻧﺪاﻧﻲﻫﺎﺳﺖ؟ ﺗﻌﺎدل)ﻫﺎي( ﻧﺶ اﻳﻦ ﺑﺎزي راﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫ج( ﻣﻴﺰان راﺣﺘﻲ ﻫﺮ ﺷﺨﺺ را در ﺗﻌﺎدلﻫﺎي ﻫﺮ دو ﺑﺎزي‪ ،‬ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ -4‬ﺗﻌﺎدل)ﻫﺎي( ﻧﺶ ﻳﻚ ﺑﺎزي اﺳﺘﺮاﺗﮋﻳﻚ دو ﻧﻔﺮه ﻛﻪ در آن رﻓﺘﺎرﻫﺎي ﻣﻤﻜﻦ ﺑﺮاي ﻫﺮ ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻳﻚ ﻋﺪد ﻧﺎﻣﻨﻔﻲ و‬
‫ﺗﻮاﺑﻊ ﺳﻮد ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻫﺎ ‪ , = −‬و ‪ , = 1 − −‬اﺳﺖ را‬
‫ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ) ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ‪ ,‬ﻳﻚ ﻧﻤﺎﻳﻪي رﻓﺘﺎري ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ رﻓﺘﺎر ﺑﺎزﻳﻜﻦ اول و رﻓﺘﺎر ﺑﺎزﻳﻜﻦ دوم‬
‫اﺳﺖ(‪.‬‬
‫‪ -5‬ﺳﻪ دوﺳﺖ ﺻﻤﻴﻤﻲ ﻛﻪ ﻳﻜﻲ از آﻧﻬﺎ ﻣﺮﺗﻜﺐ ﻗﺘﻞ ﻓﺠﻴﻌﻲ ﺷﺪه اﺳﺖ دﺳﺘﮕﻴﺮ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ و اﺗﺎق ﻫﺎي ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ‬
‫ﺑﺎزﺟﻮﻳﻲ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬ﺑﻪ ﻫﺮ ﻳﻚ از آﻧﻬﺎ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﻳﻜﻲ از دو ﻧﻔﺮ دﻳﮕﺮ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻗﺎﺗﻞ ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻛﻨﺪ‪ .‬در‬
‫‪Prisoner’s Dilemma‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻧﻬﺎﻳﺖ اﮔﺮ دو ﻧﻔﺮ‪ ،‬ﻧﻔﺮ ﺳﻮم را ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻛﺮده ﺑﻮدﻧﺪ‪ ،‬او اﻋﺪام ﻣﻲ ﺷﻮد‪ .‬وﻟﻲ اﮔﺮ ﻫﺮ ﺳﻪ ﺟﻮاب ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻋﻠﺖ‬
‫ﻧﺪاﺷﺘﻦ ﻣﺪرك ﻫﻤﮕﻲ آزاد ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬ﻫﺮ ﺳﻪ دوﺳﺖ در درﺟﻪ اول ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻨﺪ آزاد ﺷﻮﻧﺪ‪ ،‬وﻟﻲ ﻫﺮ ﺳﻪ ﻧﻔﺮ )ﺣﺘﻲ‬
‫ﺧﻮد ﻗﺎﺗﻞ( ﺗﺮﺟﻴﺢ ﻣﻲ دﻫﻨﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ ﻗﺮار اﺳﺖ ﺷﺨﺼﻲ اﻋﺪام ﺷﻮد‪ ،‬ﻫﻤﺎن ﻗﺎﺗﻞ واﻗﻌﻲ ﺑﺎﺷﺪ و ﺧﻮن ﺑﻴﮕﻨﺎﻫﻲ ﺑﻪ زﻣﻴﻦ‬
‫رﻳﺨﺘﻪ ﻧﺸﻮد‪ .‬ﻣﺪﻟﻲ از ﻧﻈﺮﻳﻪ ﺑﺎزي ﺑﺮاي اﻳﻦ ﺳﻪ دوﺳﺖ اراﺋﻪ ﻛﻨﻴﺪ و اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﺑﻬﻴﻨﻪ ﻫﺮﻳﻚ را در ﻣﺪل ﺧﻮد ﻣﺸﺨﺺ‬
‫ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ -6‬ﺳﻪ ﻧﻔﺮ در ﻳﻜﻲ از اﺗﺎﻗﻬﺎي ﺧﻮاﺑﮕﺎه ﻃﺮﺷﺖ زﻧﺪﮔﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻗﺮار اﺳﺖ ﻫﺮ روز آﺧﺮﻳﻦ ﻧﻔﺮي ﻛﻪ اﺗﺎق را ﺗﺮك‬
‫ﻣﻲ ﻛﻨﺪ درب اﺗﺎق را ﻗﻔﻞ ﻛﻨﺪ‪.‬وﻟﻲ ﻣﺸﻜﻞ اﻳﻨﺠﺎﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﺮ روز ﭼﻮن ﻫﺮ ﺳﻪ ﻧﻔﺮ ﻋﺠﻠﻪ دارﻧﺪ‪ ،‬ﻫﺮﻛﺪام ﺑﻪ ﻣﺤﺾ‬
‫ﺑﻴﺪار ﺷﺪن‪ ،‬اﺗﺎق را ﺗﺮك ﻣﻲ ﻛﻨﺪ و ﺑﺮرﺳﻲ ﻧﻤﻲ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻘﻴﻪ در اﺗﺎق ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻳﺎ ﺧﻮد او آﺧﺮﻳﻦ ﻧﻔﺮ اﺳﺖ‪ .‬از ﻃﺮﻓﻲ‬
‫درب اﺗﺎق در ﺻﻮرت ﻗﻔﻞ ﺷﺪن‪ ،‬از داﺧﻞ ﺑﺎز ﻧﻤﻲ ﺷﻮد و اﮔﺮ ﻳﻜﻲ از آﻧﻬﺎ درب اﺗﺎق را از ﺑﻴﺮون ﻗﻔﻞ ﻛﻨﺪ اﻓﺮاد‬
‫داﺧﻞ اﺗﺎق ﻧﻤﻲ ﺗﻮاﻧﻨﺪ از اﺗﺎق ﺧﺎرج ﺷﻮﻧﺪ و ﺣﺴﺎب ﻗﻔﻞ ﻛﻨﻨﺪه را ﻣﻲ رﺳﻨﺪ! اﮔﺮ ﻫﻴﭻ ﻳﻚ از آﻧﻬﺎ در را ﻗﻔﻞ ﻧﻜﻨﻨﺪ‬
‫ﻫﻢ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ دزد ﺑﻴﺎﻳﺪ و ﺧﺴﺎرت زﻳﺎدي ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه دارد‪ .‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻫﺮﻳﻚ از اﻳﻦ ﺳﻪ ﻧﻔﺮ وﻗﺘﻲ اﺗﺎق را ﺗﺮك‬
‫ﻣﻲ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﭼﻪ اﺣﺘﻤﺎﻟﻲ درب اﺗﺎق را ﻗﻔﻞ ﻛﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ -7‬ﺗﻤﺎم ﺗﻌﺎدلﻫﺎي ﻧﺶ دو ﺑﺎزي زﻳﺮ را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪5, 5‬‬
‫‪8, 4‬‬
‫‪4, 8‬‬
‫‪3, 3‬‬
‫‪-1, 1‬‬
‫‪0, 0‬‬
‫‪2, -2‬‬
‫‪-1, 1‬‬
‫‪ -8‬ﻣﺮﺗﻀﻲ‪ ،‬ﻣﻬﺮداد و ﻣﺤﻤﺪ را ﺑﺮاي ﻣﺮاﺳﻢ ﺗﻮﻟﺪ ﺧﻮد دﻋﻮت ﻛﺮده اﺳﺖ‪ .‬ﺗﺎ ﻳﻚ ﺳﺎﻋﺖ ﻣﺎﻧﺪه ﺑﻪ ﻣﺮاﺳﻢ ﺗﻮﻟﺪ‪ ،‬ﻣﻬﺮداد‬
‫ﻫﺪﻳﻪ اي ﻧﺨﺮﻳﺪه ﺑﻮد وﻟﻲ ﻣﺤﻤﺪ ﻫﺪﻳﻪ ﺧﻮد را ﺧﺮﻳﺪاري ﻛﺮده ﺑﻮد‪ .‬ﻣﺤﻤﺪ ﻧﻤﻲ داﻧﺪ ﻛﻪ اﺳﻢ ﻣﻬﺮداد را ﻫﻢ روي‬
‫ﻛﺎدوي ﺧﻮد ﺑﻨﻮﻳﺴﺪ و ﻛﺎدو را از ﻃﺮف ﻣﻬﺮداد ﻫﻢ ﺑﺪﻫﺪ‪ ،‬ﻳﺎ ﻓﻘﻂ اﺳﻢ ﺧﻮدش را ﺑﻨﻮﻳﺴﺪ‪ .‬ﻣﻬﺮداد ﻫﻢ ﻧﻤﻲ داﻧﺪ ﻛﻪ‬
‫ﻣﺤﻤﺪ اﺳﻢ او را ﻣﻲ ﻧﻮﻳﺴﺪ ﻳﺎ ﺧﻮدش ﺑﺎﻳﺪ ﻫﺪﻳﻪ ﺗﻬﻴﻪ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ اﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ در زﻣﺎن ﻛﺎدو دادن ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻲ ﺷﻮد‬
‫و ﻗﺒﻞ از آن‪ ،‬ﻫﻴﭽﻴﻚ از دﻳﮕﺮي ﺧﺒﺮ ﻧﺪارد‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﻣﻬﺮداد ﻛﻪ ﻧﻤﻲ داﻧﺪ ﻛﻪ ﻣﺤﻤﺪ اﺳﻢ او را ﻧﻴﺰ ﻧﻮﺷﺘﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﻧﻤﻲ داﻧﺪ ﻛﻪ ﺧﻮدش ﻫﺪﻳﻪ اي ﺗﻬﻴﻪ ﻛﻨﺪ ﻳﺎ ﭼﺘﺮ ﺷﻮد!‬
‫اﮔﺮ ﺧﻮدش ﻫﺪﻳﻪ اي ﺗﻬﻴﻪ ﻧﻜﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻣﺤﻤﺪ اﺳﻢ او را ﻧﻨﻮﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و آﺑﺮوي ﻣﻬﺮداد ﭘﻴﺶ ﻣﺮﺗﻀﻲ ﻣﻲرود‪.‬‬
‫اﮔﺮ ﺧﻮدش ﻫﺪﻳﻪاي ﺗﻬﻴﻪ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻣﺤﻤﺪ ﻫﻢ اﺳﻢ او را ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﺎز ﻫﻢ ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺗﺎﺑﻠﻮ ﺷﺪن‪ ،‬آﺑﺮوي‬
‫ﻣﻬﺮداد ﭘﻴﺶ ﻣﺮﺗﻀﻲ ﻣﻲ رود!‬
‫ﻣﺤﻤﺪ ﻫﻢ ﻧﻤﻲ داﻧﺪ ﻛﻪ اﺳﻢ ﻣﻬﺮداد را روي ﻛﺎدوي ﺧﻮد ﺑﻨﻮﻳﺴﺪ ﻳﺎ ﻧﻪ! اﮔﺮ اﺳﻢ ﻣﻬﺮداد را ﻧﻨﻮﻳﺴﺪ‪ ،‬در ﻫﺮ ﺻﻮرت ﺑﻪ‬
‫ﻋﻠﺖ ﺑﻲ ﻣﻌﺮﻓﺘﻲ آﺑﺮوي او ﭘﻴﺶ ﺧﻮد ﻣﻬﺮداد ﻣﻲ رود‪ .‬اﮔﺮ ﺑﻨﻮﻳﺴﺪ‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻣﻬﺮداد ﺧﻮدش ﻫﻢ ﻫﺪﻳﻪاي ﺗﻬﻴﻪ ﻛﻨﺪ‬
‫و ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺗﺎﺑﻠﻮ ﺷﺪن‪ ،‬آﺑﺮوي ﻣﺤﻤﺪ ﻫﻢ ﻣﻲرود‪.‬‬
‫وﺿﻌﻴﺖ ﭘﻴﺶ روي ﻣﺤﻤﺪ و ﻣﻬﺮداد را ﺑﺎ ﻳﻚ ﺑﺎزي ﻣﺪل ﻛﻨﻴﺪ وﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻳﻚ ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﭼﻪ اﺳﺘﺮاﺗﮋي اﺗﺨﺎذ‬
‫ﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ -9‬ﻣﺮﺗﻀﻲ ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﺪ ﺧﻮد را ﺑﺎ آژاﻧﺲ ﺑﻪ ﻣﺤﻞ ﻗﺮار ﺑﺮﺳﺎﻧﺪ‪ .‬اﻣﺎ ﺣﻮﺻﻠﻪ ﭼﺎﻧﻪ زدن ﺑﺎ راﻧﻨﺪه آژاﻧﺲ ﺑﺮ ﺳﺮ ﻛﺮاﻳﻪ را‬
‫ﻧﺪارد‪ .‬او ﺑﺎ راﻧﻨﺪه ﻗﺮار ﻣﻲﮔﺬارد ﻛﻪ ﻫﺮ ﻳﻚ ﻋﺪدي ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺑﻴﻦ ‪ 5000‬ﺗﺎ ‪ 10000‬ﺗﻮﻣﺎن اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮده و ﻫﻤﺰﻣﺎن اﻋﻼم‬
‫ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬اﮔﺮ اﺧﺘﻼف ﺑﻴﻦ اﻋﺪاد آﻧﻬﺎ ﺣﺪاﻛﺜﺮ ‪ 2000‬ﺗﻮﻣﺎن ﺑﻮد‪ ،‬ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ اﻋﺪاد آﻧﻬﺎ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻛﺮاﻳﻪ ﭘﺮداﺧﺖ ﺷﻮد‪ .‬اﻣﺎ اﮔﺮ‬
‫اﺧﺘﻼف ﺑﻴﻦ اﻋﺪاد آﻧﻬﺎ ﺑﻴﺶ از ‪ 2000‬ﺗﻮﻣﺎن ﺑﻮد‪ ،‬ﺑﻴﻦ آﻧﻬﺎ درﮔﻴﺮي ﺑﻪ وﺟﻮد ﻣﻲ آﻳﺪ و ﻫﺮﻛﺪام ‪ 10000‬ﺗﻮﻣﺎن‬
‫ﺧﺴﺎرت ﻣﻲ ﺑﻴﻨﺪ‪ .‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮﻛﺪام ﭼﻪ اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﺑﺮاي ﻋﺪد ﭘﻴﺸﻨﻬﺎدي ﺧﻮد ﺑﺎﻳﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ -10‬ﻳﻚ ﺑﺎزي ﺑﺎ ‪ n‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻛﻪ ﻫﺮ ﺑﺎزﻳﻜﻦ دو اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﺑﺮاي ﺑﺎزي دارد را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎزﻳﻬﺎي ﺧﺎﻟﺺ‬
‫‪3‬‬
‫ﺗﻤﺎم ﺑﺎزﻳﻜﻦﻫﺎ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‪ ،‬ﺑﺎزي ‪ 2‬وﺿﻴﻌﺖ ﻧﻬﺎﻳﻲ ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﺑﺎزي ﺑﻪ‬
‫ﺣﺎﻓﻈﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻧﻴﺎز دارد‪ .‬در ﺣﺎﻟﺖ ﺧﺎﺻﻲ از ﺑﺎزﻳﻬﺎ ﻣﻴﺰان ﺳﻮد ﻳﻚ ﻓﺮد ﺑﺎ اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﺗﻤﺎم ﺑﻘﻴﻪ ﺑﺎزﻳﻜﻦﻫﺎ واﺑﺴﺘﻪ ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬
‫ﺑﻠﻜﻪ ﺳﻮد ﻳﻚ ﻓﺮد ﺑﻪ اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﻳﻚ ﺗﻌﺪاد ﺧﺎﺻﻲ از ﺑﺎزﻳﻜﻦﻫﺎ واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮاي ﻧﻤﺎﻳﺶ اﻳﻦ ﺑﺎزﻳﻬﺎ از ﻳﻚ ﮔﺮاف‬
‫اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬در اﻳﻦ ﮔﺮاف ﻫﺮ راس ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪهي ﻳﻚ ﺑﺎزﻳﻜﻦ اﺳﺖ‪ .‬و ﻳﻚ ﻳﺎل ﺑﻴﻦ راس ‪ i‬و ‪ j‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﻲ اﺳﺖ‬
‫ﻛﻪ ﺳﻮد ﺑﺎزﻳﻜﻦ ‪ i‬ﺑﻪ اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﺑﺎزﻳﻜﻦ ‪ j‬واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ و ﺑﺮﻋﻜﺲ‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻳﻚ ﺑﺎزي ﺑﺎ ‪ n‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻛﻪ ﻫﺮ ﺑﺎزﻳﻜﻦ دو اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﺑﺮاي ﺑﺎزي دارد‪ ،‬داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ ﻣﻲ‪-‬‬
‫داﻧﻴﻢ ﮔﺮاف ﺑﺎزي ﻳﻚ درﺧﺖ اﺳﺖ ﻛﻪ درﺟﻪ ﻫﺮ راس آن از ‪ 3‬ﺑﻴﺸﺘﺮ ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﻳﻚ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪n‬‬
‫اراﺋﻪ دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ اﻳﻦ ﺑﺎزي ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻌﺎدل ﻧﺶ ﺧﺎﻟﺺ‪ 4‬دارد ﻳﺎ ﻧﻪ‪.‬‬
‫‪ -11‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ n‬ﻛﺎرﺧﺎﻧﻪ ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺑﻪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﭘﻔﻚ در ﺑﺎزار ﻣﻲﮔﻴﺮﻧﺪ‪ .‬اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﻫﺮ ﻛﺎرﺧﺎﻧﻪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﻪ ﻣﻴﺰان‬
‫ﭘﻔﻚ در روز ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ آن را ﺑﺎ ﻋﺪد ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪ .‬ﭘﺲ ﻛﻞ ﭘﻔﻚ ﺗﻮﻟﻴﺪي در ﺑﺎزار ﺑﺮاﺑﺮ ∑ = اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺰﻳﻨﻪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻛﺎرﺧﺎﻧﻪ ﺑﺴﻴﺎر ﻛﻢ اﺳﺖ و از آن را ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ در ﻧﻈﺮ ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬از ﻃﺮﻓﻲ ﻗﻴﻤﺖ‬
‫ﭘﻔﻚ در ﺑﺎزار ﺑﻪ ﻣﻴﺰان ﻋﺮﺿﻪ آن ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد‪ .‬در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻣﻲﺗﻮان ﻗﻴﻤﺖ ﭘﻔﻚ در ﺑﺎزار را ﺑﺎ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻏﻴﺮ ﺻﻌﻮد‬
‫ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻧﺸﺎن داد‪ .‬ﺑﻪ ﺑﻴﺎﻧﻲ دﻳﮕﺮ ﻣﻲداﻧﻴﻢ اﮔﺮ ﺑﻪ ﻣﻴﺰان ‪ q‬ﭘﻔﻚ را ﺑﺎ ﻗﻴﻤﺖ )‪ p(q‬در ﺑﺎزار ﻋﺮﺿﻪ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺗﻤﺎم آن‬
‫ﺑﻪ ﻓﺮوش ﺧﻮاﻫﺪ رﻓﺖ و ﺳﻮد ﻛﺎرﺧﺎﻧﻪ ‪ i‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ pq‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫اﻟﻒ( اﮔﺮ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ‪ ،p(q)=1-q‬ﻫﺮ ﻛﺎرﺧﺎﻧﻪ ﭼﻪ ﻣﻘﺪار ﭘﻔﻚ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد‪.‬‬
‫ب( اﮔﺮ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ‪ ،p(q)=1-‬ﻫﺮ ﻛﺎرﺧﺎﻧﻪ ﭼﻪ ﻣﻘﺪار ﭘﻔﻚ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد‪.‬‬
‫‪Pure‬‬
‫‪Pure Nash Equilibrium‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬