‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪا‬
‫داﻧﺸﮕﺎه ﺻﻨﻌﺘﻲ ﺷﺮﻳﻒ‬
‫داﻧﺸﻜﺪهي ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‬
‫ﻧﻈﺮﻳﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﻲ ﺑﺎزيﻫﺎ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺳﺮي دوم‬
‫ﻣﻬﻠﺖ ﺗﺤﻮﻳﻞ ‪ 26 :‬ﻓﺮوردﻳﻦ ‪91‬‬
‫‪ .1‬ﺑﺎزي ‪ OX‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ ﻳﻚ ﻧﻮﻋﻲ از ﺑﺎزي ‪ XO‬اﺳﺖ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻓﺮق ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺑﺎزي ﻫﺮﻛﺲ در ﺳﻪ‬
‫ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﺑﺮ روي ﻳﻚ ﺧﻂ ﻋﻼﻣﺖ ﮔﺬاري ﻛﺮده ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎزي را ﺑﺎﺧﺘﻪ اﺳﺖ)ﺑﻪ ﺟﺎي اﻳﻨﻜﻪ ﺑﺮﻧﺪه‬
‫ﺷﻮد(‪.‬اﺳﺘﺮاﺗﮋي اي ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﺷﺮوع ﻛﻨﻨﺪه ﻫﻤﻴﺸﻪ ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﻧﻤﻲﺑﺎزد‪.‬‬
‫‪ .2‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﭘﻨﺞ ﺳﻴﺎﺳﺖ ﻣﻤﻜﻦ ‪ 4 ،3 ،2 ،1‬و ‪ 5‬در ﺳﺎزﻣﺎﻧﻲ در دﺳﺖ ﺑﺮرﺳﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ دو ﺷﺨﺺ ﺑﺮاي‬
‫اﻳﻨﻜﻪ ﻛﺪام ﺳﻴﺎﺳﺖ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮد ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻣﻲﮔﻴﺮﻧﺪ و اﻧﺘﺨﺎب آﻧﻬﺎ ﺑﻪ اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻔﺮ اول ﻳﻜﻲ از اﻳﻦ‬
‫ﺳﻴﺎﺳﺖ ﻫﺎ را ﺣﺬف ﻣﻲﻛﻨﺪ ﺑﻌﺪ اﮔﺮ ﺳﻴﺎﺳﺘﻲ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﺎﻧﺪ ﻧﻔﺮ دوم از ﻣﻴﺎن ﺳﻴﺎﺳﺖﻫﺎي ﺑﺎﻗﻲ ﻣﺎﻧﺪه ﻳﻜﻲ را‬
‫ﺣﺬف ﻣﻲﻛﻨﺪ و ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬ﺗﺎ ﺟﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﺳﻴﺎﺳﺖ ﺑﺎﻗﻲ ﺑﻤﺎﻧﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺗﺮﺟﻴﺢ‬
‫ﺑﺎزﻳﻜﻦ اول ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﺎﺳﺖﻫﺎ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ‪ ۵<۴<٣<٢<1‬ﺑﺎﺷﺪ و ﺗﺮﺟﻴﺢ ﺑﺎزﻳﻜﻦ دوم ‪ ١<٢<٣<۴<5‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫اﻳﻦ ﻓﻀﺎي رﻗﺎﺑﺘﻲ را ﻣﺪل ﻛﻨﻴﺪ و ﺗﻌﺎدلﻫﺎي ﻧﺶ آن را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪ .‬در اداﻣﻪ ﺗﻤﺎم ‪ sPNE1‬ﻫﺎي ﻣﻤﻜﻦ اﻳﻦ ﺑﺎزي را‬
‫ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪ .‬آﻳﺎ در اﻳﻦ ﺑﺎزي ﺗﻌﺎدل ﻧﺸﻲ ﻫﺴﺖ ﻛﻪ ‪ subgame perfect equilibrium‬ﻧﺒﺎﺷﺪ؟‬
‫‪ .3‬در ﺑﺎزي زﻳﺮ ﺗﻤﺎم ‪ sPNE‬ﻫﺎي ﻣﻤﻜﻦ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫‪subgame Perfect Nash Equlibria‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .4‬ﺷﺮﻛﺖ ﺑﺰرگ ‪ I‬ﻛﻪ در ﻳﻚ زﻣﻴﻨﻪي ﺧﺎص ﺻﻨﻌﺘﻲ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ دارد ﻫﻤﻮاره ﺑﺎ ورود ﻳﻚ رﻗﻴﺐ ‪ Ch‬ﻣﻮاﺟﻪ‬
‫اﺳﺖ‪.‬در اﺑﺘﺪا ‪ Ch‬اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻲﻛﻨﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ وارد ﺑﺎزار ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ‪ I‬ﺑﺸﻮد ﻳﺎ ﻧﻪ‪ .‬اﮔﺮ وارد ﺻﺤﻨﻪي رﻗﺎﺑﺖ ﻧﺸﻮد‬
‫ﻫﻴﭻ ﻳﻚ از اﻳﻦ ﺷﺮﻛﺖﻫﺎ ‪action‬ي ﻧﺨﻮاﻫﻨﺪ داﺷﺖ و ﺳﻮد ﺷﺮﻛﺖ ‪ I‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ) TM‬ﻛﻪ ‪ M‬ﺳﻮد درﻳﺎﻓﺘﻲ در‬
‫ﻫﺮ دورهي ﺗﻨﺎوب‪،‬و ≤ ‪ 1‬اﺳﺖ( و ﺳﻮد رﻗﻴﺐ)‪ (Ch‬ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬اﮔﺮ رﻗﻴﺐ وارد ﺑﺎزار ﺷﻮد‬
‫ﻫﺰﻳﻨﻪي < ‪ 0‬را ﺑﺮاي اﻳﻦ ورود ﻣﻲﭘﺮدازد و در ﻫﺮ دورهي ‪ ، T‬ﺷﺮﻛﺖ ‪ I‬ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻣﻲﮔﻴﺮد ﻛﻪ ﺑﺎ ‪Ch‬‬
‫رﻗﺎﺑﺖ ﻛﻨﺪ ﻳﺎ اﻳﻨﻜﻪ ﺑﺎ آن ﻣﺸﺎرﻛﺖ اﻧﺠﺎم دﻫﺪ و ﺑﻌﺪ از آن ‪ Ch‬ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻣﻲﮔﻴﺮد ﻛﻪ در ﺑﺎزار ﺑﻤﺎﻧﺪ و ﻳﺎ اﻳﻨﻜﻪ‬
‫ﺧﺎرج ﺷﻮد‪ .‬اﮔﺮ در ﻫﺮ دورهي ﺗﻨﺎوب‪ ،‬رﻗﻴﺐ در ﺑﺎزار ﺑﺎﻗﻲ ﺑﻤﺎﻧﺪ و ﺷﺮﻛﺖ ‪ I‬ﻗﺼﺪ رﻗﺎﺑﺖ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻫﺮ دو‬
‫ﺷﺮﻛﺖ در آن دوره‪ ،‬ﺳﻮد ‪ 0 > −‬درﻳﺎﻓﺖ ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ و اﮔﺮ ﻗﺼﺪ ﻣﺸﺎرﻛﺖ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻫﺮ دو ﺳﻮد‬
‫ < ‪ max,‬ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﺮد‪ .‬اﮔﺮ در ﻫﺮ دورهاي ﺷﺮﻛﺖ رﻗﻴﺐ ﻗﺼﺪ ﺧﺮوج داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻫﺮ دو ﺷﺮﻛﺖ‬
‫در آن دوره ﺳﻮد ﺻﻔﺮ درﻳﺎﻓﺖ ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ) ﻣﺠﺰا از رﻓﺘﺎر ﺷﺮﻛﺖ ‪ (I‬و در ﻫﺮ زﻳﺮﺗﺮﺗﻴﺐ از ﻫﺮ دوره ﺷﺮﻛﺖ ‪I‬‬
‫ﺳﻮد < ‪ 2‬و ﺷﺮﻛﺖ رﻗﻴﺐ ﺳﻮد ﺻﻔﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآورد‪ .‬اﮔﺮ ﺷﺮﻛﺖ رﻗﻴﺐ ﺧﺎرج ﺷﻮد‪ ،‬ﻧﻤﻲﺗﻮاﻧﺪ در‬
‫ﻳﻚ زﻳﺮ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﻪ ﺑﺎزار ﺑﺮﮔﺮدد‪ .‬ﺑﺮاي ﻫﺮ ﺷﺮﻛﺖ ﻣﺠﻤﻮع ﺳﻮد درﻳﺎﻓﺘﻲ ﺑﺮاﻳﺸﺎن اﻫﻤﻴﺖ دارد‪.‬‬
‫‪ (a‬اﻳﻦ ﺑﺎزي را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻓﺮم ﺗﺮﺗﻴﺒﻲ ﻣﺪل ﻛﻨﻴﺪ و ‪ sPNE‬ﻫﺎي آن را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ (b‬ﺣﺎل ﻳﻚ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ دﻳﮕﺮ در اﻳﻦ ﺑﺎزي را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ ﺷﺮﻛﺖ رﻗﻴﺐ ﺣﺪاﻛﺜﺮ در ﻣﻘﺎﺑﻞ ‪ T-2‬ﺑﺎر‬
‫رﻗﺎﺑﺖ ﺷﺮﻛﺖ ‪ I‬ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺗﺤﻤﻞ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻔﺎوﺗﻲ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎ ﺣﺎﻟﺖ ﻗﺒﻞ داردﺗﻨﻬﺎ در اﻳﻦ اﺳﺖ‬
‫ﻛﻪ )‪ (1‬در اﺑﺘﺪاي ﺑﺎزي ﺷﺮﻛﺖ رﻗﻴﺐ وارد ﺷﺪه اﺳﺖ و )‪ (2‬ﺗﺎرﻳﺨﭽﻪﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺷﺮﻛﺖ ‪ I‬در ‪ T-1‬دوره‬
‫رﻓﺘﺎر رﻗﺎﺑﺘﻲ را اﺗﺨﺎذ ﻛﺮده ﺑﺎﺷﺪ ﺗﺎرﻳﺨﭽﻪي ﻧﻬﺎﻳﻲ‪ 2‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﺗﺎرﻳﺨﭽﻪﻫﺎي ﻧﻬﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺷﺮﻛﺖ ‪ I‬در‬
‫‪ T-1‬دورهي اول ﮔﺰﻳﻨﻪي رﻗﺎﺑﺖ را اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮده ﺳﻮد ‪ − − 2‬و ﺷﺮﻛﺖ رﻗﻴﺐ ﺳﻮد‬
‫‪Terminal history‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ − − − 2‬ﺑﻪ دﺳﺖ آوردهاﻧﺪ) در دورهي ‪ T-1‬ام ﺳﻮد ﺷﺮﻛﺖ ‪ I‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ و در دورهي‬
‫آﺧﺮ ‪ M‬اﺳﺖ(‪.‬ﺑﺮاي ﺗﺎرﻳﺨﭽﻪﻫﺎي ﻧﻬﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺷﺮﻛﺖ ‪ I‬در ﻳﻜﻲ از ‪ T-1‬ﺗﺎرﻳﺨﭽﻪ اول ﻣﺸﺎرﻛﺖ را و در‬
‫ﺑﻘﻴﻪي ﻣﻮارد و آﺧﺮﻳﻦ دوره‪ ،‬رﻗﺎﺑﺖ را اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮده اﺳﺖ ﺳﻮد ﺷﺮﻛﺖ ‪ I‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ − − 2‬و‬
‫ﺳﻮد ﺷﺮﻛﺖ رﻗﻴﺐ ‪ − + − − 2‬اﺳﺖ‪ sPNE .‬ﻫﺎي اﻳﻦ ﺑﺎزي را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ .5‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ روي ﻳﻚ ﻣﻴﺰ ‪ n‬ﻛﺒﺮﻳﺖ ﻗﺮار دارد و در ﻫﺮ ﺑﺎر دو ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻳﻚ‪ ،‬دو‪ ،‬ﻳﺎ ﺳﻪ ﺗﺎ از اﻳﻦ‬
‫ﻛﺒﺮﻳﺖ ﻫﺎ رو از روي ﻣﻴﺰ ﺑﺮ ﻣﻲدارﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮﻧﺪه ﻛﺴﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ آﺧﺮﻳﻦ ﻛﺒﺮﻳﺖ را ﺑﺮدارد ﺑﻪ ﻃﻮري ﻛﻪ ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬
‫دﻳﮕﺮ ﻗﺎدر ﺑﻪ اﻧﺠﺎم ﺣﺮﻛﺘﻲ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ (a‬ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ ﻛﻪ ‪ n=5‬اﺳﺖ ‪ SPNE‬اﻳﻦ ﺑﺎزي را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ (b‬ﺑﺮاي ﭼﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮي از ‪ ، n‬ﺑﺎزﻳﻜﻨﻲ ﻛﻪ اوﻟﻴﻦ ﺣﺮﻛﺖ را اﻧﺠﺎم ﻣﻲدﻫﺪ اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﻗﻄﻌﻲ ﺑﺮد دارد؟اﺳﺘﺮاﺗﮋي‬
‫ﺑﺮد را ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ (c‬ﺑﺮاي ﭼﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮي از ‪ ،n‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ دوم اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﺑﺮد دارد؟‬
‫‪ .6‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ‪ 17,2‬از ﻛﺘﺎب ﻧﻈﺮﻳﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﻲ ﺑﺎزﻳﻬﺎ‬
‫‪ .7‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ‪ 17,5‬از ﻛﺘﺎب ﻧﻈﺮﻳﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﻲ ﺑﺎزﻳﻬﺎ‬
‫‪ .8‬ﺑﺎزي ﺳﺎﺧﺖ ﺷﺒﻜﻪ‪ 3‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ‪ n‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﺑﺮاي ﺳﺎﺧﺘﻦ ﻳﻚ ﺷﺒﻜﻪ ﺗﻼش ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻫﺮ‬
‫ﺑﺎزﻳﻜﻦ از اﻳﻦﻛﻪ ﺑﻪ ﺑﺎزﻳﻜﻦﻫﺎي دﻳﮕﺮ ﻧﺰدﻳﻚ ﺑﺎﺷﺪ ﺧﻮﺷﺤﺎل ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬از ﻃﺮﻓﻲ ﺳﺎﺧﺘﻦ ﻳﻚ ﺧﻂ ارﺗﺒﺎﻃﻲ‬
‫ﺑﻴﻦ دو ﻧﻔﺮ ﻫﺰﻳﻨﻪ ﺑﺮ اﺳﺖ‪ .‬اﻳﻦ ﺑﺎزي ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻳﻚ ﮔﺮاف ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺪل ﻛﺮدن اﺳﺖ ﺑﻪ ﻃﻮري ﻛﻪ ﻫﺮ راس‬
‫ﮔﺮاف ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪهي ﻳﻚ ﺑﺎزﻳﻜﻦ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮﻗﺮاري ﻳﻚ ﺧﻂ ارﺗﺒﺎﻃﻲ ﻧﻴﺰ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻳﺎل ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫در اﻳﻦ ﻣﺪل اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﻫﺮ ﺑﺎزﻳﻜﻦ اﻧﺘﺨﺎب ﻳﺎلﻫﺎﻳﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﺰﻳﻨﻪ ﺳﺎﺧﺖ آنﻫﺎ را ﭘﺮداﺧﺖ ﻣﻲﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ‬
‫ﻋﺒﺎرﺗﻲ دﻳﮕﺮ ﺑﺎزﻳﻜﻦ ‪ i‬ﺑﺎﻳﺪ زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪاي از ﺑﻘﻴﻪ ﺑﺎزﻳﻜﻦﻫﺎ ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻨﺪ و ﻫﺰﻳﻨﻪ ﺳﺎﺧﺖ ﻳﺎلﻫﺎي‬
‫ﺑﻴﻦ ‪ i‬و را ﭘﺮداﺧﺖ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﺎ ﻣﻌﻠﻮم ﺷﺪن اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﺗﻤﺎم ﺑﺎزﻳﻜﻦﻫﺎ ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ﮔﺮاف‬
‫‪Network Creation Game‬‬
‫‪3‬‬
‫ﺣﺎﺻﻞ ﺑﻪ ﻧﺎم ‪ G‬ﭼﻪ ﻳﺎلﻫﺎﻳﻲ دارد‪ .‬اﻳﻦ ﮔﺮاف ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻳﺎلﻫﺎﻳﻲ را دارد ﻛﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻚ ﻧﻔﺮ ﻫﺰﻳﻨﻪ ﺳﺎﺧﺖ‬
‫آن را ﭘﺮداﺧﺖ ﻛﺮده اﺳﺖ‪ .‬دﻗﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ ﻛﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻚ ﻧﻔﺮ ﻫﺰﻳﻨﻪ ﺳﺎﺧﺖ ﻳﻚ ﻳﺎل را ﭘﺮداﺧﺖ ﻛﻨﺪ‪،‬‬
‫ﺑﻘﻴﻪ ﻧﻴﺰ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻨﺪ از آن ﻳﺎل اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاي ﺳﺎدﮔﻲ ﻧﻴﺰ ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻫﺰﻳﻨﻪ ﺳﺎﺧﺖ ﺗﻤﺎم ﻳﺎلﻫﺎ ﻳﻜﺴﺎن و‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ a‬اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﻓﺎﺻﻠﻪ دو راس ‪ i‬و ‪ j‬در ﮔﺮاف ‪ G‬را ﺑﺎ )‪ d(i,j‬ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ‪ ،‬ﻫﺰﻳﻨﻪ ﺑﺎزﻳﻜﻦ ‪ i‬را ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫ﻫﺪف ﻫﺮ ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻛﻤﻴﻨﻪ ﻛﺮدن ﻫﺰﻳﻨﻪ اﺳﺖ‪.‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻫﺰﻳﻨﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﻫﺰﻳﻨﻪ ﺗﻤﺎم ﺑﺎزﻳﻜﻦﻫﺎ و ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫ ∑ = اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ (a‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺑﺮاي ‪ a<2‬ﻛﻤﻴﻨﻪ ﻫﺰﻳﻨﻪ اﺟﺘﻤﺎﻋﻲ ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ ﻛﻪ ﮔﺮاف ﺣﺎﺻﻞ ﻳﻚ ﮔﺮاف‬
‫ﻛﺎﻣﻞ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ (b‬ﻫﺰﻳﻨﻪ آﺷﻮب‪ 4‬ﺑﺮاي اﻳﻦ ﺑﺎزي ﺑﺮاي ‪ a<1‬را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ (c‬ﻫﺰﻳﻨﻪ آﺷﻮب ﺑﺮاي اﻳﻦ ﺑﺎزي ﺑﺮاي ‪ 1<a<2‬را ﺣﺴﺎب ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ .9‬ﺑﺎزي ﺳﺎﺧﺖ ﺷﺒﻜﻪ در ﺳﻮال ﻗﺒﻞ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‪:‬‬
‫‪ (a‬ﺑﺮاي > ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺰﻳﻨﻪ آﺷﻮب )‪ O(1‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ (b‬ﺑﺮاي < ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺰﻳﻨﻪ آﺷﻮب !√ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .10‬ﺑﺎزي ﺷﻜﻞ دادن ﺷﺒﻜﻪ‪ 5‬ﻛﻪ در ﻛﻼس ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺪ‪ ،‬را ﺑﺎ ‪ n‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﺜﺎﻟﻲ ﻧﺸﺎن‬
‫دادﻳﻢ ﻛﻪ ﻫﺰﻳﻨﻪ ﭘﺎﻳﺪاري‪ 6‬در اﻳﻦ ﺑﺎزي ﺣﺪاﻗﻞ ‪ "# = ∑#&' 1/%‬اﺳﺖ‪ .‬در اﻳﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻫﺪف اﺛﺒﺎت اﻳﻦ‬
‫ﻣﻄﻠﺐ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ ﻫﺰﻳﻨﻪ ﭘﺎﻳﺪاري در اﻳﻦ ﺑﺎزي ﺣﺪاﻛﺜﺮ ‪ "#‬اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺑﺎزﻳﻜﻦﻫﺎ اﺳﺘﺮاﺗﮋﻳﻲ‪-‬‬
‫ﻫﺎ ﺧﻮد را اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮدهاﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻳﺎل ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ e‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ) *" ) = )(‪ ،‬ﻛﻪ ) ﺑﺮاﺑﺮ ﻫﺰﻳﻨﻪ ﻳﺎل ‪e‬‬
‫و ) ﺗﻌﺪاد اﻓﺮادي ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ از ﻳﺎل‪ e‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ )( )∑ = ( و ‪ Cost‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﻫﺰﻳﻨﻪ‬
‫‪4‬‬
‫‪Price of Anarchy‬‬
‫‪Network Formation Game‬‬
‫‪6‬‬
‫‪Price of Stability‬‬
‫‪5‬‬
‫ﭘﺮداﺧﺖ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ﺗﻤﺎﻣﻲ ﺑﺎزﻳﻜﻦﻫﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬دﻗﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ( و ‪ Cost‬ﺗﻮاﺑﻊ واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ اﺳﺘﺮاﺗﮋي‬
‫ﺑﺎزﻳﻜﻦﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ (a‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻓﻘﻂ ﺑﺎزﻳﻜﻦ ‪ i‬اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﺧﻮد را ﻋﻮض ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺗﻐﻴﻴﺮات در ﺗﺎﺑﻊ ‪ L‬دﻗﻴﻘﺎ ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫ﺗﻐﻴﻴﺮات در ﻫﺰﻳﻨﻪ ﺑﺎزﻳﻜﻦ‪ i‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ (b‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻧﻘﻄﻪاي ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ‪ L‬را ﻛﻤﻴﻨﻪ ﻣﻲﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻌﺎدل ﻧﺶ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ (c‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪاي از ﺑﺎزي ‪.+, ≤ ( ≤ "# × +,‬‬
‫‪ (d‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺰﻳﻨﻪ ﭘﺎﻳﺪاري ﺣﺪاﻛﺜﺮ ‪ "#‬اﺳﺖ‪.‬‬