‫ﺑﺎﺳﻤﻪ ﺗﻌﺎﻟ‬
‫ﻃﺮاﺣ و ﺗﺤﻠﯿﻞ اﻟ ﻮرﯾﺘﻢﻫﺎ )‪(۴٠-٣۵۴‬‬
‫‪Design and Analysis of Algorithms‬‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﻣﺤﻤﺪ ﻗﺪﺳ‬
‫ﻣﻮﻋﺪ ارﺳﺎل‪١٣٩١/٢/٩ :‬‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﮐﺘﺒ ‪ -‬ﺷﻤﺎرهی ‪٢‬‬
‫• ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎی ﺧﻮد را ﺑﻪ آدرس ‪ [email protected]‬ﺑﺎ ﻋﻨﻮان »‪ «HW2-STDID‬ارﺳﺎل ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ در آن ‪STDID‬‬
‫ﺷﻤﺎرهی داﻧﺸﺠﻮﯾ ﺷﻤﺎﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .١‬ﻫﭙﯿﺪ ﻣ ﺧﻮاﻫﺪ از ﻧﻘﻄﻪ ‪ A‬ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ ‪ B‬در ﯾ‬
‫ﺑﺰرﮔﺮاه ﺑﺮود ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ زﻣﺎﻧ را ﮐﻪ ﺑﺮای ﺑﻨﺰﯾﻦ زدن ﺗﻮﻗﻒ ﻣ ﮐﻨﺪ‪،‬‬
‫ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﻇﺮﻓﯿﺖ ﺑﺎک ﻣﺎﺷﯿﻦ ﻫﭙﯿﺪ ‪ C‬اﺳﺖ‪ .‬ﻧﺮخ ﻣﺼﺮف ﺳﻮﺧﺖ را ﺑﺮاﺑﺮ )‪ F (lit/km‬ﻟﯿﺘﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ و ﻇﺮﻓﯿﺖ‬
‫ﭘﺮ ﮐﺮدن ﺑﺎک )‪ r (litr/min‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺤﻞ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻦ ﭘﻤﭗ ﻫﺎی ﺑﻨﺰﯾﻦ ﻧﯿﺰ ‪ A = x١ , . . . , B = xn‬اﺳﺖ‪ .‬اﻟ ﻮرﯾﺘﻤ‬
‫ﺑﻪ ﻫﭙﯿﺪ ﻃﺮح ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﻬﺖ ﮐﻤ‬
‫‪ .٢‬ﻣﺴﺌﻠﻪ زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ :‬ورودی ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ A = a١ , . . . , an‬از ‪ n‬ﻧﻘﻄﻪ روی ﻣﺤﻮر ﺣﻘﯿﻘ اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺴﺌﻠﻪ ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن‬
‫ﯾ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‪ S‬از ﺑﺎزه ﻫﺎی ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ ١‬ﺑﺎ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﺗﻌﺪاد ﻋﻀﻮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎط ‪ A‬را ﺑﭙﻮﺷﺎﻧﺪ‪ .‬اﻟ ﻮرﯾﺘﻤ ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﻬﺖ‬
‫ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن ‪ S‬ﭘﯿﺸﻨﻬﺎد ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٣‬ﺗﻌﺪاد ‪ n‬اﺳ‬
‫ﻫﺮ اﺳ‬
‫ﺑﺎز ﺑﺎ ﻗﺪ ‪ p١ , . . . , pn‬و ‪ n‬اﺳ‬
‫ﺑﺎز ﯾ‬
‫ﯾﻌﻨ اﮔﺮ ‪ ith‬اﺳ‬
‫اﺳ‬
‫ﺑﺎ ﻃﻮل ‪ s١ , . . . , sn‬در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺑﻪ‬
‫ﻧﺴﺒﺖ ﺑﺪﻫﯿﻢ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﺧﺘﻼف ﻃﻮل اﺳ‬
‫ﺑﺎز ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ اﺳ‬
‫و ﻗﺪ اﺳ‬
‫ﺑﺎز ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﺷﻮد‪.‬‬
‫) ‪ α(i‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع زﯾﺮ را ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﮐﻨﺪ‪:‬‬
‫‪١ n‬‬
‫| ) ‪| p i − s α (i‬‬
‫∑‪n i‬‬
‫‪=١‬‬
‫اﻟ ﻮرﯾﺘﻤ ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﻬﺖ اﯾﻦ ﮐﺎر اراﺋﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .۴‬ﯾ‬
‫ﻟﯿﺴﺖ ﻣﺮﺗﺐ از ‪ n‬ﮐﻠﻤﻪ در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ ،‬ﻃﻮل ﻟﻐﺖ ‪ i‬ام ﺑﺮاﺑﺮ ‪ wi‬اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺑﯿﻦ ﮐﻠﻤﺎت ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻗﺮار ﻧﻤ‬
‫دﻫﯿﻢ‪ .‬ﻫﺪف در اﯾﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﮐﺮدن اﯾﻦ ﻟﯿﺴﺖ از ﮐﻠﻤﺎت در ﭼﻨﺪ ﺧﻂ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﮐﻠﻤﺎت ﺗﻐﯿﯿﺮ‬
‫ﻧ ﻨﺪ‪ .‬ﻃﻮل ﯾ‬
‫ﺧﻂ ﻣﺠﻤﻮع ﻃﻮل ﮐﻠﻤﺎت آن اﺳﺖ‪ .‬و ﻃﻮل ﺧﻂ اﯾﺪهآل ﺑﺮاﺑﺮ ‪ L‬اﺳﺖ‪ .‬ﻫﯿ ﺧﻄ ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﺪ از ‪ L‬ﺑﻠﻨﺪﺗﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺟﺮﯾﻤﻪ ﺧﻄ ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ K‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ L − K‬اﺳﺖ و ﺟﺮﯾﻤﻪ ﮐﻠ ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﻤ ﺟﺮﯾﻤﻪ ﺧﻄﻮط اﺳﺖ‪ .‬ﻃﻮری اﯾﻦ ﮐﻠﻤﺎت را‬
‫در ﺧﻄﻮط ﻗﺮار دﻫﯿﺪ ﮐﻪ‬
‫اﻟﻒ ( ﺟﺮﯾﻤﻪ ﮐﻠ ﮐﻤﯿﻨﻪ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ب ( ﻣﺎﮐﺴﯿﻤﻢ ﺟﺮﯾﻤﻪ ﺧﻄﻮط ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪ .۵‬دو ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ R = r١ , . . . , rn‬و ‪ C = c١ , . . . , cn‬از اﻋﺪاد ﻣﺜﺒﺖ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ‪ A n × n‬ﺑﺎ دراﯾﻪ ﻫﺎی‬
‫‪ ٠, ١‬را ﺧﻮب ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد ‪ ١‬ﻫﺎی آن در ﺳﻄﺮ ‪i‬ام ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ri‬و ﺗﻌﺪاد ‪ ١‬ﻫﺎی آن در ﺳﺘﻮن ‪ i‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ci‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫اﻟ ﻮرﯾﺘﻤ ﺑﻬﯿﻨﻪ اراﺋﻪ دﻫﯿﺪ ﮐﻪ در ﺻﻮرت اﻣ ﺎن ﯾ‬
‫ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ ﺧﻮب ﺑﺴﺎزد‪.‬‬
‫‪ .۶‬درﺧﺖ ‪ T‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺑﻌﻀ از رﺋﻮس ‪ T‬ﺷﻬﺮﻫﺎی ﻫﭙﯿﺪ آﺑﺎد و ﺑﻘﯿﻪ ﻣﺰارع را ﻣ ﺳﺎزﻧﺪ‪ .‬ﺑﻌﻀ از اﯾﻦ ﺷﻬﺮﻫﺎ ﺑﻪ‬
‫وﯾﺮوس ﻃﺎﻋﻮن آﻟﻮده ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻫﺮ ﺷﻬﺮ ﺳﺎﻟﻢ ‪ c‬ﺟﻤﻌﯿﺘ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ pc‬دارد ‪.‬ﺑﺮای ﻗﻄ ﮐﺮدن ارﺗﺒﺎط ﯾﺎل ‪ e‬زﻣﺎن ‪ te‬ﻣﻮرد ﻧﯿﺎز‬
‫‪١‬‬
‫اﺳﺖ‪ .‬اﻟ ﻮرﯾﺘﻤ اراﺋﻪ دﻫﯿﺪ ﮐﻪ ﯾ‬
‫ﺳﺎﻟﻤ ﻣﺴﯿﺮی ﺑﻪ ﯾ‬
‫ﺗﺮﺗﯿﺐ از ﯾﺎﻟﻬﺎی ‪ e١ , . . . , ek‬ﻣﻌﺮﻓ ﮐﻨﺪ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﺑﺎ ﺑﺮداﺷﺘﻦ آﻧﻬﺎ‪ ،‬ﻫﯿ ﺷﻬﺮ‬
‫ﺗ‬
‫ﺷﻬﺮ آﻟﻮده ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﺘﻮﺳﻂ زﻣﺎﻧ را ﮐﻪ ﻃﻮل ﻣ ﮐﺸﺪ ﺗﺎ ﺗ‬
‫اﻓﺮاد ﯾ‬
‫ﺷﻬﺮ ﻫﺎی آﻟﻮده اﯾﺰوﻟﻪ ﺷﻮﻧﺪ را ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﯾﻌﻨ ﻣﺠﻤﻮع زﯾﺮ روی ﺷﻬﺮ ﻫﺎی ﺳﺎﻟﻢ را ﻣﯿﻨﯿﻤﻢ ﮐﻨﺪ‪:‬‬
‫ﺷﻬﺮ ﺳﺎﻟﻢ از‬
‫)‪w(c‬‬
‫‪∑ c p c ∑ k =١ t e k‬‬
‫ﮐﻪ‬
‫)‪ w(c‬ﺑﺮاﺑﺮ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﻋﺪدی اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮداﺷﺘﻦ ﯾﺎل ﻫﺎی )‪ e١ , . . . , ew(c‬ﺷﻬﺮ ﺳﺎﻟﻢ ‪ c‬را از ﺗﻤﺎم ﺷﻬﺮﻫﺎی آﻟﻮده اﯾﺰوﻟﻪ ﻣ‬
‫ﮐﻨﺪ‪ .‬اﻟ ﻮرﯾﺘﻤ ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺟﻬﺖ ﮐﻤ‬
‫‪ .٧‬ﯾ‬
‫ﮐﺎرﺧﺎﻧﻪ دارای ﯾ‬
‫ﺑﻪ ﻫﭙﯿﺪﺷﺎه اراﺋﻪ دﻫﯿﺪ‪.‬‬
‫وزﻧ ﻣﻌﺎدل ‪ wi‬دارد ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺒ از‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻨﺪی ﮐﺎﻻ ﺑﻪ ﺷﺮح زﯾﺮ اﺳﺖ ‪ n‬ﮐﺎﻻ ﮐﻪ ﻫﺮ ﯾ‬
‫ﭘﯿﺶ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺷﺪه وارد ﻣﺮﮐﺰ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻨﺪی ﻣ ﺷﻮد‪ .‬در ﻣﺮﮐﺰ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻨﺪی دو ﺑﺴﺘﻪ ﺑﺎز ﻗﺮار دارد ﮐﻪ ﻫﺮﯾ‬
‫وزن را در ﺧﻮد ﺟﺎی ﻣ دﻫﺪ‪ .‬ﺳﯿﺴﺘﻢ ﻣﺎ در ﺑﺮاﺑﺮ ﮐﺎﻻﯾ ﮐﻪ وارد ﻣ ﺷﻮد ﯾ‬
‫ﺣﺪاﮐﺜﺮ ‪ P‬واﺣﺪ‬
‫از اﯾﻦ دو ﻋ ﺲ اﻟﻌﻤﻞ را ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﺪ‪.‬‬
‫‪ .١‬آن را درﯾ‬
‫‪ .٢‬ﯾ‬
‫از ﺑﺴﺘﻪ ﻫﺎی ﻓﻌﻠ ﻗﺮار دﻫﺪ ‪.‬‬
‫ﺑﺴﺘﻪ ﺧﺎﻟ ﻣﺸﺎﺑﻪ را ﺑﻪ ﺟﺎﯾﺶ ﻗﺮار دﻫﺪ و ﮐﺎﻻ را در آن ﻗﺮار دﻫﺪ‪.‬دراﻧﺘﻬﺎی‬
‫از ﺑﺴﺘﻪ ﻫﺎ را ﺑﺒﻨﺪ و ﮐﻨﺎر ﺑ ﺬارد و ﯾ‬
‫ﮐﺎر‪ ،‬ﺑﺴﺘﻪ ﻫﺎی ﻏﯿﺮ ﺧﺎﻟ ﻓﻌﻠ را ﺑﺴﺘﻪ و ﮐﻨﺎر ﻣ ﮔﺬارﯾﻢ ‪.‬‬
‫ﻫﺪف ﻣﺎ ﮐﻢ ﮐﺮدن ﺗﻌﺪاد ﺑﺴﺘﻪ ﻫﺎﯾ اﺳﺖ ﮐﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﺮده اﯾﻢ‪.‬اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ ﺑﺎ زﻣﺎن اﺟﺮای )‪O(n × p‬را اراﺋﻪ دﻫﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٨‬ﻫﭙﯿﺪ ﯾ‬
‫ﺳﺮی اﺳﺒﺎب ﺑﺎزی ﺧﺮﯾﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻫﺮ اﺳﺒﺎب ﺑﺎزی اش ﺑﻪ ﺻﻮرت ﯾ‬
‫ﭼﻨﺪ وﺟﻬ ‪ k‬ﺑﻌﺪی اﺳﺖ ﮐﻪ ﻗﺎﺑﻠﯿﺖ‬
‫ﭼﺮﺧﺶ در ﻫﻤﻪ اﺑﻌﺎد را دارﻧﺪ‪ .‬ﯾﻌﻨ ﻫﻤﻪ !‪ k‬ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺮای ﻫﺮ اﺳﺒﺎب ﺑﺎزی ﻣﺤﺘﻤﻞ اﺳﺖ‪ .‬ﻫﭙﯿﺪ ﻣ ﺧﻮاﻫﺪ اﺳﺒﺎب ﺑﺎزی‬
‫ﻫﺎﯾﺶ را درون ﻫﻢ ﻗﺮار دﻫﺪ‪ .‬ﻫﺮ اﺳﺒﺎب ﺑﺎزی ﺑﻪ ﺷﺮﻃ در اﺳﺒﺎب ﺑﺎزی دﯾ ﺮ ﻣ رود ﮐﻪ اﺿﻼﻋﺶ در ﯾ‬
‫اﮐﯿﺪا ﮐﻮﭼ ﺘﺮ از اﻋﻀﺎی ﻧﻈﯿﺮ ﺑﻪ ﻧﻈﯿﺮش در ﺣﺪاﻗﻞ ﯾ‬
‫ﺟﺎﯾ ﺸﺖ‬
‫ﺟﺎﯾ ﺸﺖ دﯾ ﺮ اﺳﺒﺎب ﺑﺎزی دﯾ ﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﭙﯿﺪ ﮐﻤ‬
‫ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺎ در زﻣﺎن ﺑﻬﯿﻨﻪ ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﻃﻮﻻﻧ ﺗﺮﯾﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ اﺳﺒﺎب ﺑﺎزی ﻫﺎﯾﺶ را ﮐﻪ درون ﻫﻢ ﻣ روﻧﺪ ﺑﯿﺎﺑﺪ‪.‬‬
‫‪ .٩‬ﯾ‬
‫ﮔﺮاف)‪ G = (V, E‬داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﯾﺎﻟﻬﺎﯾﺶ را ﻃﻮری ﺟﻬﺖ دﻫ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺷﺮﻃﻬﺎی زﯾﺮ ﺑﺮﻗﺮار ﺷﻮﻧﺪ‪:‬‬
‫‪ .١‬ﮔﺮاف ﺟﻬﺘﺪار ﺷﺪه ﺣﺎﺻﻞ‪ ،‬ﺷﺎﻣﻞ ﯾ‬
‫درﺧﺖ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺟﻬﺖ ﻫﻤﻪ ﯾﺎﻟﻬﺎﯾﺶ از رﯾﺸﻪ دور ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬ﻫﺮ ﯾﺎﻟ ﮐﻪ ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ درﺧﺖ ﺑﺎﻻ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬ﯾ‬
‫دور ﺟﻬﺖ دار از ﯾﺎل ﻫﺎی درﺧﺖ را ﮐﺎﻣﻞ ﮐﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ .١٠‬در ﮔﺮاف ﺟﻬﺖ دار ﺑﺪون دور )‪ k ، G = (V, E‬ﻣﺎﮐﺴﯿﻤﻢ ﺗﻌﺪاد ﯾﺎﻟﻬﺎی ﯾ‬
‫ﻣﺴﯿﺮ در ‪ G‬را ﻧﺸﺎن ﻣ دﻫﺪ‪.‬اﻟ ﻮرﯾﺘﻤ‬
‫ﻃﺮاﺣ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ رﺋﻮس را ﺑﻪ ‪ k + ١‬دﺳﺘﻪ اﻓﺮاز ﮐﻨﺪ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﺑﺮای ﻫﺮ دو راس ‪ v‬و ‪ w‬ﮐﻪ در ﮔﺮوه ﯾ ﺴﺎﻧ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪،‬‬
‫ﻫﯿ ﻣﺴﯿﺮی از ‪ v‬ﺑﻪ ‪ w‬و ﯾﺎ ﺑﺎﻟﻌ ﺲ وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ ﺑﺎﯾﺪ در زﻣﺎن ﺧﻄ اﺟﺮا ﺷﻮد‪ ).‬اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ در زﻣﺎن‬
‫ﺑﻬﯿﻨﻪ (‬
‫‪ .١١‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ G = (V, E‬ﮔﺮاﻓ ﺟﻬﺖ دار اﺳﺖ ﮐﻪ ﻣﺸﺨﺼﻪ زﯾﺮ را دارا ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ G .‬ﺷﺎﻣﻞ ﯾ‬
‫دور ‪ H‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﻫﻤﻪ راس ﻫﺎی ‪ G‬ﻣ ﺷﻮد و ﻫﻢ ﭼﻨﯿﻦ ‪ G‬ﺷﺎﻣﻞ ﯾ‬
‫ﻃﻮری ﮐﻪ ﻫﺮ ﻣﺴﯿﺮ در ‪ G‬ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﯾ‬
‫ﻣﺴﯿﺮ ﻫﺎ از ﯾ‬
‫ﯾﺎل ﺑﺮﮔﺸﺘ دارد‪ .‬ﯾ‬
‫ﺗﻌﺪادی ﻫﻢ ﯾﺎل ﺑﺮﮔﺸﺘ اﺳﺖ ﺑﻪ‬
‫اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ ﺧﻄ ﻃﺮاﺣ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﻫﻤﻪ ﮐﻮﺗﺎﻫﺘﺮﯾﻦ‬
‫ﻣﺒﺪا ﻣﺸﺨﺺ را ﺑﻪ ﻫﻤﻪ راس ﻫﺎی ‪ G‬ﺑﯿﺎﺑﺪ‪ ) .‬اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ ﺑﺎ زﻣﺎن ﺑﻬﯿﻨﻪ(‬
‫‪٢‬‬
‫زﯾﺮ ﮔﺮاف ﺑﺪون‬