‫بسمه تعالی‬
‫زمان تحویل‪ ۹۲ :‬مهرماه ‪۲۹۲۹‬‬
‫تمرین سری اول ساختمانهای گسسته‬
‫منطق و نظریهی مجموعهها‬
‫‪ .۲‬هر یک از استدالل های زیر را در قالب نمادها بنویسید‪ .‬آنگاه یا درستی استدالل را اثبات کنید‪ ،‬یا یک مثال نقض بیاورید که‬
‫نشان دهد استدالل نامعتبر است‪:‬‬
‫أ‪.‬‬
‫اگر این جمعه هوا سرد باشد‪ ،‬آنگاه آریا نیمتنهی چرمی خود را خواهد پوشید در صورتی که جیبهای آن تعمیر شده‬
‫باشند‪ .‬پیش بینی وضع هوا برای جمعه حاکی از هوای سرد است‪ ،‬ولی جیبها تعمیر نشدهاند‪ .‬بنابراین‪ ،‬آریا نیمتنهی‬
‫چرمی خود را این جمعه نخواهد پوشید‪.‬‬
‫ب‪ .‬قرارداد به سر خواهد رسید اگر‪ ،‬و فقط اگر‪ ،‬در ماه بهمن پنجرههای جدید در خانه نصب شوند‪ .‬اگر در ماه بهمن‬
‫پنجرههای جدید نصب شوند‪ ،‬آنگاه ریحانه می تواند روز اول اسفند به خانه جدیدش نقل مکان کند‪ .‬اگر ریحانه نتواند‬
‫روز اول اسفند نقل مکان کند‪ ،‬آنگاه باید اجاره اسفند آپارتمان خود را بپردازد‪ .‬در ماه بهمن پنجرهها نصب شدهاند یا‬
‫ریحانه باید اجاره اسفند آپارتمان خود را بپردازد‪ .‬بنابراین‪ ،‬ریحانه مجبور نخواهد بود اجاره آپارتمان برای ماه اسفند را‬
‫بپردازد‪.‬‬
‫‪ .۹‬اعداد ‪ 1, 2, , 2n‬را روی تخته سیاه بنویسید ( ‪ n‬یک عدد صحیح است)‪ .‬دو عدد مانند ‪ j, k‬را از روی تخته پاک کنید و‬
‫به جای آنها | ‪k‬‬
‫‪ | j‬را بنویسید‪ .‬این کار را آنقدر ادامه دهید تا تنها یک عدد روی تخته باقی بماند‪ .‬ثابت کنید که این‬
‫عدد فرد است‪.‬‬
‫‪ .۹‬با استفاده از چهار قاعدهی اصلی استدالل‪ ،‬استداللهای زیر را اثبات کنید‪:‬‬
‫أ‪.‬‬
‫قاعدهی پخشپذیری سور کلی بر عطفی‪:‬‬
‫))) ‪(( x f (x )) ( x g(x‬‬
‫}))) ‪{( x(f (x ) g(x‬‬
‫ب‪ .‬قاعدهی پخشپذیری سور وجودی بر فصلی‪:‬‬
‫)) ‪(( x f (x )) ( x g(x‬‬
‫}))) ‪{( x(f (x ) g(x‬‬
‫ج‪ .‬قاعدهی پخشپذیری سور وجودی بر عطفی‪:‬‬
‫)) ‪(( x f (x )) ( x g(x‬‬
‫}))) ‪{( x(f (x ) g(x‬‬
‫د‪ .‬قاعدهی تبدیل متغیرها‪:‬‬
‫})) ‪{( y f (y‬‬
‫})) ‪{( x f (x‬‬
‫})) ‪{( y f (y‬‬
‫})) ‪{( x f (x‬‬
‫‪ .4‬فرض کنید ) ‪ P(n‬یک گزاره در مورد اعداد طبیعی باشد‪ ،‬طوری که )‪4‬‬
‫‪P(n‬‬
‫)‪: P(n‬‬
‫‪ . n‬وضعیت‬
‫گزارههای زیر را تعیین کنید (همیشه درست‪ ،‬همیشه نادرست یا برای بعضی مقادیر درست و برای بعضی نادرست)‪:‬‬
‫أ‪.‬‬
‫) ‪n P(n‬‬
‫)‪P(0‬‬
‫ب‪n P(n) .‬‬
‫ج‪1) .‬‬
‫)‪P(1‬‬
‫‪n P(4n‬‬
‫د‪P(m)) .‬‬
‫‪m n‬‬
‫‪n‬‬
‫(‬
‫))‪( n P(n‬‬
‫))‪P(m‬‬
‫‪m n‬‬
‫‪n‬‬
‫(‬
‫))‪( n P(n‬‬
‫ه‪.‬‬
‫‪ .5‬نشان دهید مجموعهی اعداد حقیقی که ریشهی معادلهی درجهی دویی به شکل ‪0‬‬
‫‪c‬‬
‫‪bx‬‬
‫‪ ax 2‬هستند ( ‪a,b, c‬‬
‫اعدادی صحیحاند)‪ ،‬شمارا است‪( .‬به این دسته از اعداد اعداد جبری حقیقی گفته میشود)‬
‫‪ .6‬نشان دهید اجتماع تعداد شمارا مجموعهی شمارا‪ ،‬شمارا است‪.‬‬
‫‪ .7‬برای هر مجموعهی دلخواه مانند ‪ P(S ) ، S‬را برابر مجموعهی تمام زیرمجموعههای ‪ S‬میگیریم (مجموعهی توانی)‪.‬‬
‫) ‪ f : P(S‬وجود ندارد و بنابراین اندازهی ) ‪ P(S‬از ‪ S‬بیشتر است‪.‬‬
‫ثابت کنید تابعی یک به یک مانند ‪S‬‬
‫‪ ) f :‬از اندازهی مجموعهی اعداد حقیقی‬
‫‪ .8‬ثابت کنید اندازهی مجموعهی همهی توابع حقیقی (تمام توابع به شکل‬
‫بیشتر است‪( .‬راهنمایی‪ :‬ابتدا ثابت کنید اندازهی مجموعهی خواسته شده برابر )‬
‫‪2‬‬
‫(‪ P‬است و آنگاه از سوال قبلی استفاده‬
‫کنید)‬
‫‪ .۲‬درستی روابط زیر را بررسی کنید‪:‬‬
‫) ‪A (B C‬‬
‫‪(A B) C‬‬
‫أ‪.‬‬
‫ب‪(A B) (A C ) .‬‬
‫)‪C‬‬
‫‪(B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .۲1‬نقیض عبارت‬
‫]) ‪y x z [Q(x, y) S (x, y, z‬‬
‫]) ‪R(x, y, z‬‬
‫)‪y x z [P(x ) Q(x, y‬‬
‫را بهدست آورید‪ .‬عالمت نقیض فقط قبل از ‪predicate‬ها میتواند بیاید‪.‬‬
‫‪ .۲۲‬راستی گزارهی زیر را از راه برهان خلف ثابت کنید‪( .‬عالم سخن = مجموعهی اعداد صحیح)‬
‫]])‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .۲۹‬با فرض اینکه ‪, n‬‬
‫‪n‬‬
‫أ‪.‬‬
‫‪An‬‬
‫‪0) (y‬‬
‫‪[(x‬‬
‫)‪0‬‬
‫‪2y‬‬
‫‪ An‬مطلوب است‪:‬‬
‫‪n 1‬‬
‫ب‪A9 A10 .‬‬
‫ج‪.‬‬
‫‪ .۲۹‬اگر ‪B‬‬
‫أ‪.‬‬
‫‪An‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ f :A‬و ‪A‬‬
‫) ‪f (T‬‬
‫) ‪f (S‬‬
‫‪ S,T‬گزارههای زیر را ثابت یا رد کنید‪:‬‬
‫)‪T‬‬
‫‪f (S‬‬
‫‪x y [(3x‬‬
‫ب‪f (T ) .‬‬
‫) ‪f (S‬‬
‫)‪T‬‬
‫‪f (S‬‬
‫ج‪f 1(T ) .‬‬
‫) ‪f 1(S‬‬
‫)‪T‬‬
‫‪f 1(S‬‬
‫د‪f 1(T ) .‬‬
‫) ‪f 1(S‬‬
‫)‪T‬‬
‫‪f 1(S‬‬
‫سوال امتیازی‪:‬‬
‫محمدرضا گرفتار قبیلهای آدمخوار در آفریقا شده است‪ .‬این قبیله سه رئیس دارد‪ .‬آنها میخواهند تا غروب روز آینده او را طبخ و‬
‫میل کنند مگر اینکه محمد رضا بتواند هویت سه رئیس را کشف کند‪ .‬برای این کار او مجاز است که از هر رئیس دقیقاً یک سوال‬
‫بپرسد که جواب آن بله یا خیر است‪ .‬اما رئیسها با زبان خود به این سواالت پاسخ میدهند و از دو عبارت ”‪ “ja‬و ”‪ “da‬استفاده‬
‫میکنند که محمدرضا نمی داند کدام به معنی بله و کدام به معنی خیر است‪ .‬از طرفی رئیسهای این قبیله عادتی به این صورت‬
‫دارند‪ :‬یکی از آن ها همیشه دروغ میگوید‪ ،‬دیگری همیشه راست میگوید و نفر دیگر به طور تصادفی دروغ یا راست میگوید‪ .‬به‬
‫محمدرضا کمک کنید تا هویت رئیسها را کشف کند‪.‬‬
‫موفق باشید‬
‫ایزدی‪ ،‬کریمی‪ ،‬قدیری‬