‫بسمه تعالی‬
‫زمان تحویل‪ 8 :‬آبانماه ‪۲۹۳۱‬‬
‫تمرین سری دوم ساختمانهای گسسته‬
‫استقرا و بازگشت‬
‫شمارهی‌دانشجویی‌زوج ‪۰۱-۱۹-۱۱-۱۷-۱۱-۱۱-۱۱-۱۱-۹-۷-۳-۱ :‬‬
‫‌‬
‫دانشجویان با‬
‫شمارهی‌دانشجویی‌فرد ‪۰۱-۱۹-۱۱-۱۶-۱۱-۱۳-۱۰-۱-۶-۱-۱-۰ :‬‬
‫‌‬
‫دانشجویان با‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫به کمک استقرا ثابت کنید برای هر‬
‫أ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪13 | 42n‬‬
‫ب‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪52n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪21 | 4n‬‬
‫با استقرا ثابت کنید حاصلضرب هر ‪ n‬عدد متوالی بر ! ‪ n‬بخشپذیر است‪ .‬راهنمایی‪:‬‬
‫)‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪(m‬‬
‫!)‪1‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ n‬روابط زیر برقرار است‪:‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪m(m‬‬
‫‪(m‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪2‬‬
‫!‪n‬‬
‫!‪n‬‬
‫اعداد فیبوناتچی به این شکل تعریف میشوند که ‪1‬‬
‫برای هر‬
‫‪1)m(m‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪(n‬‬
‫‪ n‬داریم ‪1‬‬
‫‪(m‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪f22n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(m‬‬
‫)‪1‬‬
‫‪f1‬‬
‫‪ f0‬و‬
‫‪2‬‬
‫‪fn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪fn‬‬
‫‪ . fn‬ثابت کنید‬
‫‪. f2n 1f2n‬‬
‫‪f2n‬‬
‫‪f2‬‬
‫‪f2n‬‬
‫‪. f0‬‬
‫‪.4‬‬
‫ثابت کنید برای اعداد فیبوناتچی داریم‬
‫‪.5‬‬
‫‪2n n‬‬
‫ثابت کنید برای هر عدد طبیعی ‪ n‬داریم‬
‫‪3‬‬
‫‪.6‬‬
‫یک ماشین عجیب در اختیار داریم که با گرفتن یک عدد دودویی به طول ‪ n‬یکی از دو کار زیر را‬
‫‪1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪.‬‬
‫میتواند انجام دهد‪:‬‬
‫أ‪ .‬سمت راستترین بیت را تغییر وضعیت دهد (از صفر به یک و از یک به صفر)‬
‫ب‪ .‬سمت راستترین بیت ‪ 1‬را پیدا کند و بیت سمت چپ آن را (در صورت وجود) تغییر وضعیت‬
‫دهد‪ .‬دقت کنید که اگر رشته تماماً صفر باشد‪ ،‬این عمل تغییری در رشته ایجاد نخواهد کرد‪.‬‬
‫ثابت کنید بوسیلهی اعمال این ماشین میتوان از هر عدد دودویی ‪ n‬رقمی به هر عدد دودویی ‪n‬‬
‫رقمی دیگر رسید‪.‬‬
‫‪m(m‬‬
‫‪.7‬‬
‫برای هر ‪ n‬نشان دهید رشتههای دودویی به طول ‪ n‬را میتوان دور یک دایره نوشت به طوری که‬
‫اوال تمام ‪ 2n‬رشته دودویی دور این دایره ظاهر شوند و ثانیا هر دو رشته مجاور دور دایره‪ ،‬دقیقاً در‬
‫یک بیت با هم تفاوت داشته باشند‪( .‬مثال برای ‪2‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪1‬‬
‫فرض کنید ‪ x‬طوری باشد که‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x n‬نیز عددی صحیح خواهد بود‪.‬‬
‫‪xn‬‬
‫فرض کنید ‪ a1,a2, ,an‬عددهایی صحیح باشند به طوری که برای ‪n‬‬
‫‪ x‬عددی صحیح شود‪ .‬ثابت کنید برای هر ‪ n‬طبیعی‪،‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ak‬‬
‫‪ .0‬همچنین میدانیم ‪an‬‬
‫مثبت و منفی وجود دارد به طوری که ‪0‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪)01001011‬‬
‫‪, , , :n‬‬
‫‪ 1 k‬داریم‬
‫‪ a1‬عددی زوج است‪ .‬ثابت کنید انتخابی از عالمت های‬
‫‪an‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪. a1‬‬
‫یک مکعب به ضلع ‪ 2‬را که مکعبی به ضلع واحد از یکی از گوشههای آن حذف شده باشد یک قطعه‬
‫مینامیم‪ .‬ثابت کنید اگر از یک مکعب به ضلع ‪ 2n‬که به ‪ 23n‬مکعب واحد تقسیم شده است یک‬
‫مکعب واحد را به دلخواه حذف کنیم‪ ،‬آنگاه شکل باقیمانده را میتوانیم به تعدادی قطعه ببریم‪.‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪ N‬المپ و ‪ M‬کلید داریم‪ .‬میدانیم هر المپ به حداقل یک کلید و هر کلید به حداقل یک المپ‬
‫متصل است (ممکن است یک المپ به چند کلید یا یک کلید به چندین المپ وصل باشد)‪ .‬فشردن‬
‫هر کلید باعث تغییر وضعیت تمام المپهای متصل به آن کلید خواهد شد‪ .‬در ابتدا تمام ‪ N‬المپ‬
‫خاموش هستند‪ .‬نشان دهید میتوانیم تعدادی از این ‪ M‬کلید را فشار دهیم به طوری در انتها‪،‬‬
‫حداقل نیمی از المپها روشن باشند‪( .‬راهنمایی‪ :‬یک کلید و تمام المپهای متصل به آن را حذف‬
‫کنید)‬
‫‪.12‬‬
‫الف) ‪ n‬خط در صفحه داده شدهاند به طوری که هیچ دوتایی موازی و هیچ سهتایی همرس نیستند‪.‬‬
‫)‪n(n 1‬‬
‫نشان دهید این ‪ n‬خط صفحه را به ‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ب) ‪ n‬دایره صفحه را حداکثر به چند ناحیه تقسیم می کنند؟ ابتدا حدس زده و سپس حدس خود‬
‫ناحیه تقسیم میکنند‪.‬‬
‫را اثبات کنید‪.‬‬
‫ج) ‪ n‬بیضی صفحه را حداکثر به چند ناحیه تقسیم می کنند؟‬
‫‪.11‬‬
‫‪ 2n‬شکالت در ‪ n‬قوطی گذاشته شدهاند به طوری که هر قوطی دستکم یک شکالت دارد‪ .‬با‬
‫شروع از نوید‪ ،‬نوید و سعید به نوبت و هر بار یک شکالت برمیدارند‪ .‬ثابت کنید سعید میتواند‬
‫طوری شکالت انتخاب کند که دو شکالت آخر متعلق به یک قوطی باشند‪.‬‬
‫‪.14‬‬
‫میزان بنزینی که یک ماشین نیاز دارد تا دور یک مسیر دایرهای را بچرخد بین ‪ n‬پمپ بنزین که‬
‫در این مسیر قرار دارند تقسیم شده است‪ .‬ثابت کنید نقطهای روی دایره وجود دارد که ماشینِ با‬
‫باک خالی با شروع از آن نقطه میتواند کل مسیر را طی کند‪ .‬فرض کنید ظرفیت باک ماشین به‬
‫اندازه کافی زیاد باشد‪.‬‬
‫‪.15‬‬
‫تعداد کل روشهای پرانتزگذاریهای معتبر را با استفاده از ‪ n‬پرانتز باز و ‪ n‬پرانتز بسته را بدست‬
‫آورید (حل رابطهی بازگشتی لزومی ندارد)‪.‬‬
‫‪.16‬‬
‫الف) تعداد کل روشهای پر کردن مستطیل ‪ 2 n‬با مستطیلهای ‪ 2 1‬را محاسبه کنید‪.‬‬
‫ب) تعداد کل روشهای پر کردن مستطیل ‪ 3 n‬با مستطیلهای ‪ 2 1‬را محاسبه کنید‪.‬‬
‫‪.17‬‬
‫مسئلهی برجهای هانوی را در نظر بگیرید و فرض کنید مهرهها در سه میلهی ‪ A, B,C‬قرار دارند‪.‬‬
‫محدودیتی که در این حرکات داریم این است که نمیتوانیم مهرهای را از روی میلهی ‪ A‬برداشته و‬
‫بر روی میلهی ‪ B‬بگذاریم‪ .‬همینطور نمیتوانیم مهرهای از روی میلهی ‪ C‬برداشته و بر روی‬
‫میلهی ‪ A‬بگذاریم‪ .‬اگر در ابتدا ‪ n‬مهره بر روی میلهی ‪ A‬قرار داشته باشد چند حرکت الزم است‬
‫تا آنها را بر روی میلهی ‪ C‬قرار داد؟ (رابطهی بازگشتی بدست آورید)‬
‫‪.18‬‬
‫اصل استقرا را با فرض درستی اصل خوشترتیبی ثابت کنید (اصل خوشترتیبی‪ :‬هر زیرمجموعهی‬
‫ناتهی از اعداد طبیعی‪ ،‬کوچکترین عضو دارد)‪ .‬همینطور با فرض درستی اصل استقرا‪ ،‬اصل‬
‫خوشترتیبی را ثابت کنید‪ .‬با این کار ثابت کردهاید که (اصل استقرا‬
‫‪.19‬‬
‫اصل خوشترتیبی)‪.‬‬
‫الف) با استقرا روی ‪ k‬ثابت کنید برای اعداد حقیقی مثبت ‪ a1, , a2k‬داریم‪:‬‬
‫‪a2k‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a1a2 a2k‬‬
‫‪2‬‬
‫ب) ثابت کنید اگر برای ‪ n‬عدد حقیقی مثبت ‪ a1, , an‬داشته باشیم‬
‫‪2k‬‬
‫‪an‬‬
‫‪a1a2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪an‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a1‬‬
‫آنگاه داریم‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪a1a2‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪.‬‬
‫ج) ثابت کنید برای هر عدد طبیعی ‪ n‬و ‪ n‬عدد حقیقی مثبت ‪ a1, , an‬همواره داریم‬
‫‪an‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪a1a2 an‬‬
‫‪n‬‬
‫که در اثبات این نامساوی به کار رفت‪ ،‬روش قهقرایی نیز گفته میشود‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .‬به این نابرابری‪ ،‬نابرابری حسابی‪-‬هندسی میگویند‪ .‬به روشی‬
‫‪.21‬‬
‫جایگشتی از اعداد ‪ 1‬تا ‪ n‬در یک سطر نوشته شدهاند‪ .‬هر بار میتوان ‪ k‬تا عضو چپ دنباله (‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ )1‬را معکوس کرد‪ .‬ثابت کنید همواره میتوان با ‪3‬‬
‫‪ n‬حرکت دنباله را مرتب کرد‪.‬‬
‫موفق باشید‬
‫ایزدی‪ ،‬کریمی‪ ،‬جاللمنش‬