‫پاسخ تمرین ‪(5‬فصل ششم کتاب درسی)‬
‫‪-1‬تابع چگالی توام 𝑋 و 𝑌 به صورت زیر داده شده است‪.‬مقدار 𝐶 را بیابید‪.‬‬
‫𝑦‪𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐(𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑒 −‬‬
‫پاسخ‪:‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪𝑐(𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑒 −𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1‬‬
‫∞‪+‬‬
‫∫‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‪+‬‬
‫∫ ⇒ ‪𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‪+‬‬
‫∫‬
‫∫‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‪−‬‬
‫ازآنجایی که محدوده هر یک از متغیر های 𝑥 و 𝑦 در عبارت فوق توسط صورت سوال محدود‬
‫شده است این محدودیت را در بازه انتگرال گیری لحاظ می کنیم‪.‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪(𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑒 −𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1‬‬
‫∞‪+‬‬
‫∫‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‪+‬‬
‫𝑦‬
‫‪∫ (𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑒 −𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1‬‬
‫‪𝑥3‬‬
‫𝑦‬
‫⇒ ‪(𝑦 𝑥 − ) | −𝑦𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 1‬‬
‫‪3‬‬
‫∫ 𝑐 ⇒ ‪𝑑𝑥 ) 𝑑𝑦 = 1‬‬
‫𝑦‪2 ) −‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑒 𝑥 ‪(∫ (𝑦 −‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑦‪𝑦 3 −‬‬
‫⇒ ‪(𝑦 − )𝑒 𝑑𝑦 = 1‬‬
‫‪3‬‬
‫∫𝑐⇒‬
‫∫𝑐⇒‬
‫𝑦‪−‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑦‪−‬‬
‫∞‪+‬‬
‫𝑦‬
‫∞‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪3‬‬
‫𝑦‬
‫𝑦‬
‫‪(𝑦 −‬‬
‫∫ 𝑐 ‪+ 𝑦 3 − )𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 1 ⇒ 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫∫𝑐‬
‫‪0‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪4‬‬
‫‪𝑐 ∫ 𝑦 3 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 1‬‬
‫‪3 0‬‬
‫حل انتگرال باال به صورت جز به جز به سادگی انجام میگیرد ‪:‬‬
‫∞‪+‬‬
‫∞‪+‬‬
‫∞‪+‬‬
‫𝑦‪𝑦 3 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = −𝑦 3 𝑒 −𝑦 |(+∞, 0) + ∫ 3𝑦 2 𝑒 −𝑦 = ∫ 3𝑦 2 𝑒 −‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫∞‪+‬‬
‫∞‪+‬‬
‫∫‬
‫𝑦‪= −3𝑦 2 𝑒 −𝑦 (+∞, 0) + ∫ 6𝑦𝑒 −𝑦 = ∫ 6𝑦𝑒 −‬‬
‫‪0‬‬
‫∞‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫∞‪+‬‬
‫)‪= −6𝑦𝑒 −𝑦 (+∞, 0) + ∫ 6𝑒 −𝑦 = ∫ 6𝑒 −𝑦 = −6𝑒 −𝑦 (+∞, 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫= 𝑐⇒‪=6⇒ 𝑐×6=1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ -2‬برای به دست آوردن امید ریاضی متغیر تصادفی 𝑥 ابتدا می بایست تابع فراوانی‬
‫چگالی حاشیه ای مربوط به این متغیر را داشته باشیم‪.‬میدانیم که‬
‫∞=𝑦‬
‫∫ = ) 𝑥(𝑓‬
‫)𝑦 ‪𝑓(𝑥,‬‬
‫∞‪𝑦=−‬‬
‫و از طرفی در مورد امید ریاضی از فصول قبلی به یاد داریم که ‪:‬‬
‫∞=𝑥‬
‫‪1‬‬
‫∫‬
‫𝑦𝑑 𝑥𝑑 𝑦‪𝑥(𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑒 −‬‬
‫‪𝑥=−∞ 8‬‬
‫∞‪𝑦=+‬‬
‫∞‪𝑥=+‬‬
‫∫ = )𝑥(𝑓𝑥‬
‫∞‪𝑦=−‬‬
‫‪𝑥=∞ 1‬‬
‫∫ = ) 𝑥( 𝐸‬
‫∞‪𝑥=−‬‬
‫حاصل انتگرال 𝑥𝑑 𝑦‪ ∫𝑥=−∞ 8 𝑥(𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑒 −‬با توجه به تقارن متغیر 𝑥 ( فرد‬
‫بودن تابع) برابر ‪ 0‬خواهد بود‪.‬‬
‫‪-3‬‬
‫شکل تابع را رسم می کنیم ‪:‬‬
‫‪0<𝑦<1‬‬
‫‪1<𝑦<2‬‬
‫𝑦‬
‫{ = 𝑥𝑑)𝑦 ‪𝑓𝑌 (𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥,‬‬
‫𝑦‪2−‬‬
‫𝑥‬
‫‪-4‬‬
‫یادآوری‬
‫)𝐵 ∩ 𝐴(𝑃‬
‫)𝐵(𝑃‬
‫= )𝐵|𝐴(𝑃‬
‫‪1‬‬
‫𝑋(𝑃‬
‫<‬
‫)𝑌 > 𝑋 𝐷𝑁𝐴‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= )𝑌 > 𝑋| ‪𝑃 (𝑋 < 2‬‬
‫)𝑌 > 𝑋(𝑃‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥6‬‬
‫𝑦𝑥‬
‫𝑥𝑑 𝑦𝑑 ) ‪∫02 ∫0 7 (𝑥 2 + 2‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪1 𝑥6‬‬
‫𝑦𝑥‬
‫‪16‬‬
‫𝑥𝑑 𝑦𝑑 ) ‪∫0 ∫0 7 (𝑥 2 + 2‬‬
‫‪-5‬‬
‫𝑋(𝑃 ‪𝑃(max(𝑋, 𝑌) ≥ 1) = 1 − 𝑃(max(𝑋, 𝑌) < 1) = 1 −‬‬
‫)‪< 1 𝑎𝑛𝑑 𝑌 < 1‬‬
‫)‪𝑃(𝑋 < 1 𝑎𝑛𝑑 𝑌 < 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑦𝑑 𝑥𝑑 𝑥𝑦‪= ∫ ∫ 𝑦 𝑒 −𝑦(1+𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 −𝑦 ∫ 𝑦 𝑒 −‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1‬‬
‫( 𝑦‪−‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 − 𝑒 −𝑦 )𝑑𝑦 = 𝑒 −1 + − 𝑒 −2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫𝑒 ∫=‬
‫‪0‬‬
‫‪-6‬‬
‫)𝑧 ≥ 𝑦𝑥(𝑝 ‪𝑃(𝑥𝑦 ≤ 𝑧) = 1 −‬‬
‫𝑧‬
‫𝑦‬
‫≥ 𝑥 >= 𝑧 ≥ 𝑦𝑥‬
‫𝑧≤𝑦‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑦𝑑 𝑥𝑑) 𝑥 ‪1 − ∫ ∫ 2(1 −‬‬
‫𝑧‬
‫𝑦‬
‫𝑧‬
‫‪1‬‬
‫‪(𝑦 − 𝑧)2‬‬
‫= 𝑥𝑑) 𝑥 ‪∫ 2(1 −‬‬
‫𝑧‬
‫‪𝑦2‬‬
‫𝑦‬
‫(‪1‬‬
‫‪𝑦 − 𝑧)2‬‬
‫∫‪1−‬‬
‫‪𝑑𝑦 = 1 + 𝑧 2 + 2𝑧𝑙𝑛(𝑧) − 1‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑦‬
‫𝑧‬
‫حال از این عبارت بایستی مشتق بگیریم ‪:‬‬
‫‪2𝑧 + 2 ln(𝑧) + 2‬‬
-8
:‫برای این سوال به راه حل پیشنهادی کتاب توجه کنید‬
Solution Reference: Papules Book Reference manual edition 4
‫این سوال را به صورت عادی یعنی حساب کردن انتگرال تابع توزیع تجمعی و سپس‬
‫مشتقل گرفتن از آن نیز می شود حل کرد اما در باال کتاب به کمک مشتق گیری از‬
‫انتگرال این راه را کوتاه تر کرده است‪.‬‬
‫‪-9‬‬
‫‪Solution Reference: Papules Book Reference manual edition 4‬‬
‫‪-10‬‬
‫چون توزیع یک نواخت برای دو متغیر تصادفی می باشد اگر سطح محصور را برابر ‪ s‬در‬
‫نظر بگیریم آنگاه تابع چگالی برابر می شود با‬
‫‪1‬‬
‫𝑠‬
‫‪1‬‬
‫در این سوال در صورتی که اقدام به رسم شکل کنیم شکلی مثلثی با مساحت ‪ 2‬به‬
‫دست می آید در نتیجه تابع توزیع برابر با ‪ 2‬خواهد بود‪.‬‬
‫الف)‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫𝑥 ≤ 𝑦 ≤ >= 𝑦 ≤ >= 𝑧 ≤‬
‫𝑦‬
‫𝑧‬
‫𝑧‬
‫𝑧≤𝑥≤‪0‬‬
‫𝑥‬
‫𝑧‬
‫𝑦𝑑 𝑥𝑑 ‪C.D.F=∫0 ∫𝑥 2‬‬
‫𝑧‬
‫سپس اقدام به مشتق گیری می نماییم‪:‬‬
‫ب)‬
‫مشابه سواالت قبلی انتگرال را محاسبه و مساله را حل می کنیم‪.‬‬