‫تمرین ‪( 5‬فصل ششم کتاب درسی)‬
‫‪-1‬تابع چگالی توام 𝑋 و 𝑌 به صورت زیر داده شده است‪.‬مقدار 𝐶 را بیابید‪.‬‬
‫∞< 𝑦≤‪−𝑦 ≤𝑥 ≤𝑦 0‬‬
‫𝑦‪𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐 (𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑒 −‬‬
‫‪-2‬در سوال قبلی امید ریاضی متغیر تصادفی 𝑥 یا همان )𝑥(𝐸 را محاسبه کنید‪.‬‬
‫‪-3‬فرض کنید متغیر های تصادفی 𝑥 و 𝑦 دارای تابع چگالی توام زیر باشند ‪:‬‬
‫‪0 < 𝑥 < 1, 𝑥 < 𝑦 < 𝑥 + 1‬‬
‫‪𝑜. 𝑤.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫{ = )𝑦 ‪𝑓𝑋,𝑌 (𝑥,‬‬
‫تابع چگالی حاشیه ای 𝑌 را بیابید‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-4‬تابع چگالی توام 𝑥 و 𝑦 به صورت زیر داده شده است‪ 𝑃(𝑋 < 2 |𝑋 > 𝑌).‬را به‬
‫دست بیاورید‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫𝑦𝑥‬
‫‪𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 + ) 0 < 𝑥 < 1 0 < 𝑦 < 2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-5‬فرض کنید که 𝑋 و 𝑌 دو متغیر تصادفی دارای تابع چگالی احتمال توام زیر‬
‫باشند‪.‬‬
‫‪𝑥 > 0 𝑎𝑛𝑑 𝑦 > 0‬‬
‫)𝑥‪𝑓𝑥,𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦𝑒 −(𝑦+‬‬
‫حاصل عبارت )‪ 𝑃(𝑀𝑎𝑥(𝑥, 𝑦) ≥ 1‬را محاسبه کنید‪.‬‬
‫‪ -6‬تابع چگالی احتمال توام برای دو متغیر 𝑥 و 𝑦 آمده است‪.‬تابع چگالی احتمال را‬
‫برای متغیر تصادفی 𝑧 را بیابید‪.‬‬
‫‪2(1 − 𝑥 ) 0 < 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑒𝑠𝑖𝑤𝑟𝑒‪𝑜𝑡ℎ‬‬
‫{ = )𝑦 ‪𝑓𝑥𝑦 (𝑥,‬‬
‫𝑦𝑥 = 𝑧‬
‫‪-7‬دو متغیر تصادفی نرمال 𝑥 و 𝑦 داریم‪.‬‬
‫الف) رابطه واریانس و امید ریاضی متغیر تصادفی 𝑦𝑏 ‪ 𝑎𝑥 +‬را با هر یک از این متغیر‬
‫های تصادفی بیابید‪.‬‬
‫ب) اگر داشته باشیم ) ‪ 𝑥(2, 42‬و ) ‪ 𝑦(4, 32‬آنگاه احتمال آنکه 𝑦‪ 2𝑥 + 3‬بین ‪ 5‬و‬
‫‪ 7‬باشد را بیابید‪.‬‬
‫‪ 𝑥-8‬و 𝑦 متغیر های تصادفی با توزیع برابر ( ‪ )identically distribution‬و به‬
‫صورت مستقل می باشند که تابع چگالی آن ها در زیر آمده است‪.‬‬
‫)𝑦(𝑈 𝑦‪𝑓𝑦 (𝑦) = 𝑒 −‬‬
‫)𝑦‪max(𝑥,‬‬
‫تابع چگالی احتمال را برای متغیر تصادفی )𝑦‪ min(𝑥,‬بیابید‪.‬‬
‫) 𝑥(𝑈 𝑥‪𝑓𝑥 (𝑥 ) = 𝑒 −‬‬
‫‪ 𝑥-9‬و 𝑦 متغیر های تصادفی با توزیع هندسی زیر می باشند‪.‬‬
‫… ‪𝑃(𝑥 = 𝑘) = 𝑝𝑞 𝑘 𝑘 = 0,1,2,‬‬
‫… ‪𝑃(𝑦 = 𝑚) = 𝑝𝑞 𝑚 𝑚 = 0,1,2,‬‬
‫تابع چگالی احتمال را برای 𝑦 ‪ 𝑥 +‬بیابید‪.‬‬
‫‪-11‬متغیر های تصادفی 𝑥 و 𝑦 به صورت یکنواخت (𝑚𝑟𝑜𝑓𝑖𝑛𝑢) در ناحیه مثلثی‬
‫‪ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 1‬پخش شده اند‪.‬‬
‫الف)‬
‫𝑥‬
‫نشان دهید که اگر 𝑦 = ‪ z‬آنگاه‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑓𝑧 (𝑧) = 𝑧 2 𝑧 ≥ 1‬‬
‫ب)تابع چگالی را به ازای 𝑦𝑥 = 𝑧 بیابید‪.‬‬