‫تمرين ‪(6‬فصل ششم کتاب درسي)‬
‫‪ -1‬عبارت )𝑤 ‪ 𝐹𝑧𝑤 (𝑥,‬را در قالب )𝑦 ‪ 𝐹𝑥𝑦 (𝑥,‬بيان کنيد اگر )𝑦 ‪ 𝑧 = max(𝑥,‬و = 𝑤‬
‫)𝑦 ‪ min(𝑥,‬باشند‪.‬‬
‫‪ -2‬متغير هاي تصادفي 𝑥 و 𝑦 متغير هاي تصادفي با توزيع 𝑚𝑜𝑟𝑓𝑖𝑛𝑢 در بازه )‪ (0,1‬مي‬
‫باشند‪.‬متغير هاي تصادفي )𝑦 ‪ 𝑤 = max(𝑥,‬و )𝑦 ‪ 𝑧 = min(𝑥,‬را در نظر بگيريد‪.‬تابع‬
‫چگالي احتمال را براي متغير تصادفي 𝑧 ‪ 𝑟 = 𝑤 −‬به دست بياوريد‪.‬‬
‫‪ -3‬فرض کنيد 𝑥 و 𝑦 متغير هاي تصادفي مستقل و داراي توزيع نمايي ‪ identical‬با پارامتر‬
‫مشترک 𝜆 باشند‪.‬متغير تصادفي 𝑧 را به صورت‬
‫𝑦‬
‫)𝑦‪max(𝑥,‬‬
‫= 𝑧 تعريف مي کنيد‪.‬تابع چگالي‬
‫احتمال را براي متغير تصادفي 𝑧 بيابيد‪.‬‬
‫‪ -4‬فرض کنيد 𝑥 و 𝑦 متغير هاي تصادفي مستقل نرمال با ميانگين صفر و واريانس ‪1‬‬
‫باشند‪.‬حال متغير هاي تصادفي ايجاد شده 𝑦 ‪ 𝑢 = 𝑥 +‬و ‪ 𝑣 = 𝑥 2 + 𝑦 2‬را در نظر‬
‫بگيريد‪.‬بررسي کنيد که آيا اين دو متغير تصادفي مستقل هستند يا خير؟‬
‫‪ 𝑥 -5‬و 𝑦 را که دو متغير تصادفي نرمال مستقل و ‪identical‬هستند در نظر بگيريد که داراي‬
‫ميانگين ‪ 0‬و واريانس ‪ 𝜎 2‬ميباشند‪.‬دو متغير تصادفي 𝑢 و 𝑣 را به صورت زير در نظر‬
‫ميگيريم‪.‬‬
‫‪𝑥 2 − 𝑦2‬‬
‫‪√𝑥 2 + 𝑦 2‬‬
‫=𝑢‬
‫𝑦𝑥‬
‫‪√𝑥 2 + 𝑦 2‬‬
‫=𝑣‬
‫الف))𝑣 ‪ 𝑓𝑢𝑣 (𝑢,‬را محاسبه کنيد‪.‬‬
‫ب)آيا اين دو متغير مستقل از هم مي باشند؟‬
‫‪-6‬اگر )‪ 𝑥~𝑁(1,4‬و )‪ 𝑌~𝑁(1,9‬متغير هاي تصادفي مستقل باشند‪.‬آنگاه مقدار 𝑎‬
‫که به ازاي آن رابطه زير بر قرار باشد را بيابيد‪.‬‬
‫)𝑎‪𝑃(2𝑋 + 𝑌 < 2𝑎) = 𝑃(4𝑋 − 2𝑌 > 5‬‬
‫‪-7‬اگر ‪ 𝑥1‬و ‪ 𝑥2‬متغير هاي تصادفي مستقل نمايي با پارامتر هاي به ترتيب ‪ λ1‬و‬
‫‪𝑥1‬‬
‫‪ 𝜆2‬باشند‪.‬تابع چگالي توزيع براي ‪ z = 𝑥2‬و محدوده 𝑧را بيابيد‪.‬‬
‫‪-8‬تابع چگالي توام 𝑥 و 𝑦 به صورت زير داده شده است ‪:‬‬
‫)‪𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 −𝑥(𝑦+1‬‬
‫‪𝑥 > 0 ,𝑦 > 0‬‬
‫واريانس متغير تصادفي 𝑦𝑥 = 𝑧 را بيابيد‪.‬‬