‫تمرین ‪( 7‬فصل ششم کتاب درسی)‬
‫‪-1‬متغیرهای تصادفی 𝑥 و 𝑦 روی فضای ‪ 0 < 𝑥 < 𝑦 < 1‬به طور مشترک توزیع‬
‫شده اند‪:‬‬
‫‪𝑘𝑥 0 < 𝑥 < 𝑦 < 1‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑒𝑠𝑖𝑤𝑟𝑒‪𝑜𝑡ℎ‬‬
‫{ = )𝑦 ‪𝑓𝑋,𝑌 (𝑥,‬‬
‫مقدار 𝑘 را بیابید‪ .‬همچنین مقدار واریانس و کواریانس 𝑥 و 𝑦 را بیابید‪.‬‬
‫‪ 𝑥-2‬یک متغیر تصادفی توزیع پواسون است با پارامتر ‪ λ‬و 𝑦 یک متغیر تصادفی‬
‫‪2‬‬
‫نرمال با میانگین ‪ µ‬و واریانس ‪ σ‬است‪ .‬با فرض اینکه 𝑥 و 𝑦 دو متغیر مستقل‬
‫هستند به سواالت زیر پاسخ دهید‪.‬‬
‫الف) تابع مولد گشتاور مشترک 𝑥 و 𝑦 را بیابید‪.‬‬
‫ب) تابع مولد گشتاور 𝑦 ‪ 𝑥 +‬را بیابید‪.‬‬
‫‪ -3‬متغیر های تصادفی نمایی 𝑥 و 𝑦 با پارامتر مشترک ‪ λ‬را در نظر بگیرید‪.‬‬
‫الف) ])𝑦 ‪ 𝐸[min(𝑥,‬را محاسبه کنید‪.‬‬
‫ب) ])𝑦 ‪ 𝐸[m𝑎𝑥(2𝑥,‬را محاسبه کنید‪.‬‬
‫‪ 𝑝. 𝑑. 𝑓 -4‬مشترک دو متغیر 𝑦 ‪ 𝑥,‬به صورت زیر داده شده است‪.‬‬
‫‪0 < 𝑥, 𝑦 , 0 < 𝑥 + 𝑦 ≤ 1‬‬
‫‪𝑜. 𝑤.‬‬
‫𝑥‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫{ = )𝑦 ‪𝑓𝑥𝑦 (𝑥,‬‬
‫الف) 𝑓 ‪ 𝑝. 𝑑.‬مربوط به 𝑦 ‪ 𝑥 −‬را محاسبه کنید‪.‬‬
‫ب) ]𝑦 ‪ 𝑉𝑎𝑟[𝑥 +‬را محاسبه کنید‪.‬‬
‫‪-5‬برای هر دو متغیر تصادفی 𝑦 ‪ 𝑥,‬نشان دهید نامساوی زیر برقرار است‪.‬‬
‫‪≤1‬‬
‫]𝑦 ‪σ[𝑥 +‬‬
‫]𝑦[‪σ[𝑥 ] + σ‬‬
‫‪2‬‬
‫توجه کنید که] 𝑥[ ‪𝑣𝑎𝑟[𝑥] = σ‬‬
‫‪ -6‬اگر 𝑦 ‪ 𝑥,‬دو متغیر تصادفی مستقل باشند‪ 𝑎 ،‬را بیابید به طوری که مقدار 𝑧 حداقل‬
‫شود‪.‬‬
‫‪𝑧 = 𝑎𝑥 + (1 − 𝑎)𝑦 ,0 ≤ 𝑎 ≤ 1‬‬