‫پاسخ سواالت تمرین سری ‪8‬‬
‫سوال ‪:1‬‬
‫𝑐‬
‫‪+𝑐 =1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫= 𝑥𝑑)‪∫ ∫ 𝑘(𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑘 (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ 𝑐(𝑥 + 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫∞‪−∞ −‬‬
‫‪0‬‬
‫از رابطه ی باال به این نتیجه می رسیم ‪. c=2/3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑦 ‪f XY ( x, y ) dx. = ∫0 (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 = +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2𝑥+2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) = 𝑌|𝑥( 𝑓‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪fY ( y) ‬‬
‫‪2‬‬
‫=𝑌‬
‫‪5‬‬
‫‪12‬‬
‫)𝑦‪f ( x, y ) 3(𝑥+2‬‬
‫‪f X |Y ( x | Y  y )  XY‬‬
‫‪1‬‬
‫)𝑦‪(1+4‬‬
‫)‪f Y ( y‬‬
‫‪3‬‬
‫= 𝑥𝑑‬
‫‪1‬‬
‫‪2𝑥+2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪| 𝑌 = ) = ∫0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=< 𝑥(𝑃‬
‫سوال ‪: 2‬‬
‫‪1‬‬
‫در سوال قبل مقدار ) = 𝑌|𝑥( 𝑓 را برای ‪ 0<x<1‬بدست آوردیم ( برای سایر مقادیر هم که صفر‬
‫‪2‬‬
‫است)‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫= 𝑥𝑑)‪𝐸 (𝑋| ) = ∫ 𝑥 (𝑥 + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪0 3‬‬
‫از طرف دیگر هم داریم‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫= 𝑥𝑑)‪𝐸 (𝑋 | ) = ∫ 𝑥 2 (𝑥 + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪18‬‬
‫‪0 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5 2‬‬
‫‪13‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) = 𝑌|𝑋( 𝑟𝑎𝑉‬
‫= ) (‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪162‬‬
‫سوال ‪: 3‬‬
‫‪) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0.154017‬‬
‫𝑦𝑥‬
‫𝑦𝑥‬
‫‪) = 0.17851‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫1 ∫0 7 (𝑥 2 +‬‬
‫‪(𝑥 2 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪26‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫∫ ∫‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.154017‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ) < 𝑋| > 𝑌( 𝑃‬
‫‪= 0.8625‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.17851‬‬
‫سوال ‪:4‬‬
‫باید‬
‫)‪f ZW ( z , w‬‬
‫)‪f W ( w‬‬
‫را حساب کنیم‪.‬وقتی داریم که 𝑧 = 𝑦 ‪ 2𝑥 +‬و 𝑤 = 𝑦 ‪ 𝑥 −‬با حل دستگاه به این نتیجه می رسیم که ‪:‬‬
‫𝑤‪𝑧−2‬‬
‫‪3‬‬
‫𝑤‪𝑧+‬‬
‫= 𝑦‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫=𝑥‬
‫پس چون ‪ x‬و ‪ y‬هم نسبت به هم مستقلند صورت کسر مورد نظر را با ضرب دو احتمال که ‪ x‬و ‪ y‬برابر‬
‫اعداد بدست آمده باشند می توان حساب کرد) چون می خواهیم چگالی توام ‪ Z,W‬را از روی چگالی توام‬
‫𝑍𝜕‬
‫‪ X,Y‬بیان کنیم باید در معکوس قدرمطلق‬
‫𝑍𝜕‬
‫𝑋𝜕‬
‫𝑊𝜕|ضرب کنیم‪..‬‬
‫𝑌𝜕‬
‫|‬
‫𝑊𝜕‬
‫𝑌𝜕‬
‫‪𝑧−2𝑤 2‬‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫(‬
‫‪−‬‬
‫𝑒‬
‫‪1‬‬
‫𝜋√‪2‬‬
‫×‬
‫‪𝑧+𝑤 2‬‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫(‬
‫‪−‬‬
‫𝑋𝜕‬
‫𝑒‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝜋√‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫× =)‬
‫𝑤‪𝑧−2‬‬
‫‪3‬‬
‫= 𝑦( 𝑓 × )‬
‫𝑤‪𝑧+‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫= 𝑥( 𝑓 × ‪f ZW ( z , w) = 3‬‬
‫حاال در مورد مخرج کسر مورد نظر هم چون ترکیب خطی دو متغیر تصادفی نرمال مستقل را داریم خود‬
‫‪ W‬هم یک متغیر تصادفی نرمال به شکل )‪ N(0,4‬است‪.‬‬
‫‪𝑤2‬‬
‫‪𝑒− 8‬‬
‫‪1‬‬
‫𝜋√‪2‬‬
‫= )‪f W (w‬‬
‫حاال با داشتن این دو مقدار به نتیجه مورد نظر می رسیم‪.‬‬
‫در قسمت قبل به جای ‪ w‬عدد ‪ 5‬را قرار می دهیم و چگالی شرطی ‪ Z‬را به شرط ‪ W=5‬بدست می آوریم که اگر آن را )‪ f(z‬بنامیم‬
‫∞‬
‫حال باید انتگرال 𝑧𝑑)𝑧(𝑓𝑧 ∞‪ ∫−‬را بدست آوریم که امید شرطی ‪ Z‬به شرط ‪ W=5‬است‪.‬‬
‫سوال ‪:5‬‬
‫𝑥‬
‫∞‬
‫∞‬
‫𝑥𝑑𝑦𝑑 𝑥‪𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝐶(𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑒 −‬‬
‫𝑥‪−‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑥‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫‪2‬‬
‫𝑒) 𝑦 ‪∫ ∫ 𝐶(𝑥 −‬‬
‫∞‬
‫‪𝑦2‬‬
‫𝑥‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑥𝑑 ) ‪= ∫ 𝑐𝑒 (𝑥 𝑦 −‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫∞‪−∞ −‬‬
‫با گرفتن انتگرال باال به روش جز به جز به این نتیجه می رسیم که ‪c=1/8‬‬
‫𝑥‪𝑥 3 𝑒 −‬‬
‫‪6‬‬
‫𝑥‬
‫𝑥‪)] |−‬‬
‫=‬
‫‪𝑦3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥 1‬‬
‫‪f XY ( x, y ) dy. = ∫−𝑥 (𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑒 −𝑥 𝑑𝑦 = [ 𝑒 −𝑥 × (𝑥 2 𝑦 −‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f X ( x) ‬‬
f X |Y ( y | X  x ) 
f XY ( x, y )
f X ( x)

3(𝑥 2 −𝑦 2 )
4𝑥3
: 6 ‫سوال‬
: 7 ‫سوال‬
∞
∞
∞ ∞
𝐸(𝐸 (𝑋|𝑌)) = ∫−∞(∫−∞𝑥 f X |Y (𝑥|𝑦)𝑑𝑥) fY ( y ) 𝑑𝑦 = ∫−∞
∫−∞𝑥 ×
∞
f XY ( x, y )
dx) f Y ( y ) dy=
fY ( y)
∞
∫−∞ ∫−∞ 𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐸(𝑥)
: 8 ‫سوال‬