‫تمرین ‪(8‬فصل ششم کتاب درسی)‬
‫‪ -1‬تابع چگالی توام ‪X‬و‪ Y‬به صورت زیر داده شده است‪:‬‬
‫‪k ( x  2 y ), 0  x  1,0  y  1‬‬
‫‪f XY ( x, y )  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪otherwise .‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ 𝑃 (𝑋 ≤ 2 | 𝑌 = 2‬را بیابید‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ -2‬برای تابع چگالی ذکر شده در سوال یک‪ 𝐸(𝑋|𝑌 = 1/2) ،‬و )‪ 𝑉𝑎𝑟 (𝑋|𝑌 = 2‬را بیابید‪.‬‬
‫‪ -3‬تابع چگالی توام ‪ X‬و‪ Y‬به صورت زیر داده شده است‪:‬‬
‫‪0  x  1,0  y  2‬‬
‫‪otherwise .‬‬
‫‪ 6 2 xy‬‬
‫) ‪ (x ‬‬
‫‪f XY ( x , y )   7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ 𝑃(𝑌 > 2 | 𝑋 < 1/2‬را بیابید‪.‬‬
‫‪ -4‬دو متغیر تصادفی مستقل 𝑥و 𝑦 که )‪ 𝑁(0,2‬هستند‪ ،‬داریم‪ .‬متغیر تصادفی 𝑦 ‪ 𝑧 = 2𝑥 +‬و‬
‫𝑦 ‪ 𝑤 = 𝑥 −‬را می سازیم‪ f(z|w) .‬و }‪ E{z|w = 5‬را بیابید‪.‬‬
‫‪ -5‬تابع چگالی توام ‪X‬و ‪ Y‬برابر است با‬
‫‪0  x   , x  y  x‬‬
‫‪otherwise .‬‬
‫‪C ( x 2  y 2 )e  x‬‬
‫‪f XY ( x, y )  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫چگالی شرطی ‪ Y‬را بیابید‪.‬‬
‫‪ -6‬تابع چگالی توام ‪X‬و‪ Y‬به شکل زیر داده شده است ‪:‬‬
‫‪0  x   ,0  y  ‬‬
‫‪otherwise .‬‬
‫چگالی شرطی 𝑋 ) 𝑦 = 𝑌 (و چگالی شرطی‬
‫𝑌‬
‫)‪ xe  x ( y 1‬‬
‫‪f XY ( x, y )  ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫)𝑥 = 𝑋(را بیابید‪.‬‬
‫‪ -7‬ثابت کنید که )‪ E(E(X|Y)) = E(X‬است‪.‬‬
‫‪ -8‬تابع چگالی توام𝑋و 𝑌 به صورت زیر داده شده است‪:‬‬
‫‪0  x   ,0  y  ‬‬
‫‪otherwise .‬‬
‫مقدار }‪ P{X > 1 | Y = y‬را بیابید‪.‬‬
‫‪  xy  y‬‬
‫‪e e‬‬
‫‪f XY ( x , y )  ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬