‫به نام خدا‬
‫تمرین سری چهارم آمار و احتمال مهندسی‬
‫مهلت تحویل‪ :‬یکشنبه ‪ 71‬اردیبهشت‬
‫‪ -7‬متغير تصادفي ‪ X‬داراي توزيع نرمال با ميانگين ‪ 5‬و واريانس ‪ 2‬مي باشد‪ .‬اگر متغير تصادفي ‪ y‬را به صورت ‪ Y=3X+1‬تعريف‬
‫کنيم‪ ،‬مطلوب است محاسبه ي ‪:‬‬
‫الف) ]‪E[Y‬‬
‫ب) ]‪VAR[Y‬‬
‫ج)‬
‫‪ -2‬اگر متغير تصادفي ‪ X‬به طور يکنواخت روي فاصله ي (‪1‬و‪ )0‬توزيع شده باشد‪ ،‬تابع چگالي‬
‫‪ -3‬متغير تصادفي ‪ X‬داراي تابع چگالي به صورت‬
‫را به دست اوريد‪.‬‬
‫مي باشد‪ .‬اگر متغير تصادفي ‪ Y‬را به صورت ‪Y=-‬‬
‫‪ 2X+1‬تعريف کنيم‪ ،‬مطلوب است محاسبه ي تابع چگالي احتمال و تابع توزيع تجمعي ‪ .Y‬ميانگين و واريانس ‪ X‬و ‪ Y‬را نيز‬
‫حساب کنيد‪.‬‬
‫‪ -4‬انحراف استاندارد متغير تصادفي ‪ X‬که با نماد )‪ SD(X‬نشان داده مي شود‪ ،‬به صورت زير تعريف مي شود‪:‬‬
‫√‬
‫اگر ‪ X‬داراي واريانس‬
‫باشد‪ ،‬مقدار )‪ SD(aX+b‬را به دست اوريد‪.‬‬
‫‪ -5‬تابع چگالي ‪ X‬به صورت زير است‪:‬‬
‫{‬
‫اگر‬
‫] [ مقادير ‪ a‬و ‪ b‬را به دست اوريد‪.‬‬
‫‪ -6‬طول عمر يک المپ الکتريکي( بر حسب ساعت) يک متغير تصادفي با تابع چگالي زير است‪:‬‬
‫متوسط و واريانس طول عمر چنين المپي را محاسبه کنيد‪.‬‬
‫‪ -7‬تابع چگالي متغير تصادفي استاندارد کوشي به صورت زير است‪:‬‬
‫اگر ‪ X‬يک متغير تصادفي کوشي استاندارد باشد‪ ،‬نشان دهيد که نيز يک متغير تصادفي کوشي استاندارد است‪ .‬ميانگين و‬
‫وارايانس آن را به دست آوريد‪.‬‬
‫‪ -8‬اگر ‪ X‬يک متغير تصادفي دو جمله اي با پارامترهاي ‪ n‬و ‪ p‬باشد (‬
‫)‪ ،‬نشان دهيد که تابع مشخصه ان به فرم‬
‫زير مي باشد‪ .‬سپس ميانگين و واريانس آن را با استفاده از اين تابع مشخصه حساب کنيد‪.‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪ -9‬اگر ‪ X‬ميانگين ‪ μ‬و انحراف معيار باشد‪ ،‬نشان دهيد‪:‬‬
‫}‬
‫|{‬
‫|‬
‫‪ -71‬اگر ‪ X‬داراي توزيع يکنواخت روي فاصله ي )‪ (a,b‬باشد‪ ،‬چه متغير تصادفي که با ‪ X‬رابطه ي خطي دارد‪ ،‬داراي توزيع‬
‫يکنواخت روي فاصله ي (‪1‬و‪ )0‬است؟‬
‫‪ -77‬نشان دهيد که ]‬
‫[ حد اقل مقدار خود را در ] [‬
‫اختيار مي کند‪.‬‬
‫‪ -72‬اگر ‪ X‬يک متغير تصادفي پواسون با ميانگين ‪ 20‬باشد‬
‫الف) با به کارگيري نامساوي مارکوف يک کران باال براي }‬
‫{‬
‫به دست اوريد‪.‬‬
‫ب) با به کارگيري نامساوي چبيشف يک کران باال براي به دست اوريد‪.‬‬
‫‪ -73‬اگر ‪ X‬يک متغير تصادفي پيوسته با تابع توزيع تجمعي ‪ F‬باشد‪ ،‬متغير تصادفي ‪ Y‬را به صورت )‪ Y=F(X‬تعريف مي کنيم‪.‬‬
‫نشان دهيد که ‪ Y‬داراي توزيع يکنواخت روي فاصله (‪1‬و‪ )0‬است‪.‬‬
‫‪ -11‬متوسط عمر يک يخچال ‪ 10‬سال با انحراف معيار ‪ 2‬سال ميباشد‪ .‬سازنده کليه موتورهايي که قبل از گارانتي خراب شده اند‬
‫را تعويض ميکند‪ .‬اگر او مايل به تعويض ‪ 3‬درصد از يخچال خراب باشد بايد زمان گارانتي را چه مدت تعيين کند؟ (فرض کنيد که‬
‫عمر يخچال ها داراي توزيع نرمال باشد‪.‬‬
‫‪ -15‬يک سکه ‪ 100‬بار پرتاپ ميشود‪ ،‬با به کار بردن تقريب منحني نرمال ئيدا کنيد احتمال به دست آوردن‪:‬‬
‫الف) مابين ‪ 185‬و ‪ 210‬شير را‬
‫ب) دقيقا ‪ 205‬شير را‬
‫پ) کمتر از ‪ 171‬يا بيشتر از ‪ 227‬شير را‬
‫‪ -11‬مدت زماني که الزم است تا يک ماشين را تعمير کنيم (بر حسب ساعت)‪ ،‬داراي توزيع نمايي با پارامتر‬
‫‪ λ‬است‪.‬‬
‫الف) احتمال اينکه مدت تعمير بيش از ‪ 2‬ساعت طول بکشد را به دست آوريد‬
‫ب) احتمال شرطي اينکه مدت زمان تعمير حداقل ‪ 10‬ساعت طول بکشد به شرط اينکه بيش از ‪ 9‬ساعت از زمان تعمير‬
‫گذشته باشدرا به دست آوريد‪.‬‬
‫‪ -17‬متغيير تصادفي ‪ X‬داراي توزيع نرمال با ميانگين ‪ 18‬و انحراف معيار ‪ 2.5‬است‪ .‬پيدا کنيد‪:‬‬
‫الف) )‪P(x<15‬‬
‫ب) )‪p(17 < x < 21‬‬
‫ج) مقدار ‪ k‬به طوريکه ‪p(X < k) = 0.2578‬‬
‫د) مقدار ‪ k‬به طوريکه ‪p(X < k) = 0.1539‬‬