‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪا‬
‫ﲤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﭘﻨﺠﻢ آﻣﺎر و اﺣﺘﻤﺎل ﻣﻬﻨﺪﺳﯽ‬
‫ﺑﻬﺎر ‪۹۱‬‬
‫‪----------------------------------------------‬‬‫‪ .1‬اﻧﺘﮑﺮال ﻫﺎی دوﮔﺎﻧﻪ زﯾﺮ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .2‬ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﻮأم دو ﻣﺘﻐﯿﺮ ‪ X‬و ‪ Y‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻣﯽ‌ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫‪0 y2‬‬
‫‪0x1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪xy‬‬
‫‪f  x , y =  x 2 ‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫اﻟﻒ( ﺗﺼﺪﯾﻖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﯾﻦ ﺗﺎﺑﻊ واﻗﻌﺎً ﯾﮏ ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﻮأم اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ‪ X‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ج( ﻣﻘﺪار } ‪ P { X Y‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .3‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ X 1, X 2,. .. , X n‬ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﻣﺴﺘﻘﻠﯽ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﻫﻤﮕﯽ دارای ﺗﻮزﯾﻊ ﯾﮑﻨﻮاﺧﺖ‬
‫روی ﺑﺎزه ی ‪ 0,1‬ﻣﯽ‌ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ . M =Maximum X 1, X 2,. .. , X n ‬ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻮزﯾﻊ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫‪ M‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .4‬ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﻮأم ‪ X‬و ‪ Y‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻣﯽ‌ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ ‪ X‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ب( ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ ‪ Y‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ج( آﯾﺎ ‪ X‬و ‪ Y‬ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫د( اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﻮأم آن‌ﻫﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻄﻮر؟‬
‫‪ .5‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﻮأم ‪ X‬و ‪ Y‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ f  X , Y =k  X ×l Y ‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧﮕﺎه‬
‫‪ X‬و ‪ Y‬ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ ) ‪ k‬و ‪ l‬ﺗﻮاﺑﻌﯽ ﺗﮏ ﻣﺘﻐﯿﺮه ﻫﺴﺘﻨﺪ(‪.‬‬
‫‪ .6‬ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﻮأم ‪ X‬و ‪ Y‬ﺑﻪ ﺷﮑﻞ زﯾﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ‪ Z =X −Y‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .7‬ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ‪ X‬و ‪ Y‬ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺑﻮده و دارای ﺗﻮزﯾﻊ‌ﻫﺎی اﺣﺘﻤﺎل زﯾﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬
‫}‪f X  x =exp {− x U  x ‬‬
‫}‪f Y  y= exp {− y U  y ‬‬
‫ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﺗﺼﺎدﻓﯽ زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪:‬‬
‫اﻟﻒ‪2XY :‬‬
‫ب‪X −Y :‬‬
‫‪X‬‬
‫ج‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫د‪max  X , Y  :‬‬
‫ه‪:‬‬
‫‪min  X ,Y ‬‬
‫‪ .8‬ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﻮأم دو ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ X‬و ‪ Y‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻣﯽ‌ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫‪Y 0‬‬
‫‪X 0‬‬
‫‪1 −Y  X /Y ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪Y‬‬
‫=‪f  X , Y ‬‬
‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ ] ‪ E [ X‬و ] ‪ E [Y‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﳕﻮده و ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ‪. Cov  X ,Y =1‬‬
‫‪ .9‬ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ اﺣﺘﻤﺎل ﺗﻮأم ‪ X‬و ‪ Y‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻣﯽ‌ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫∞‪0 X ∞ , 0Y ‬‬
‫ﻣﻘﺪار ] ‪ E [ X 2∣Y = y‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪e− X /Y e−Y‬‬
‫‪Y‬‬
‫=‪f  X , Y ‬‬
‫ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ‪ X 1 , X 2 ,... , X n‬را ‪k‬ﺗﺎﯾﯽ ﻣﺴﺘﻘﻞ )‪ (k-wise independent‬ﻣﯿﮕﻮﯾﯿﻢ اﮔﺮ ﺑﺎ‬
‫‪.10‬‬
‫اﻧﺘﺨﺎب ﻫﺮ ‪ k‬ﺗﺎی آن‌ﻫﺎ ﻣﺜﻞ ‪ X ' 1 , X ' 2 ,... , X ' k‬و ﻣﻘﺎدﯾﺮ ‪ a1 , a2 ,... , ak‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ‪:‬‬
‫‪ak ‬‬
‫‪X'k‬‬
‫‪ a1 , a2 , ... , a  k −1× f‬‬
‫‪X ' 1 , X ' 2 , ..., X '  k−1 ‬‬
‫‪a1 , a2 , ... ,ak = f‬‬
‫‪X ' 1 , X ' 2 , ..., X ' k‬‬
‫‪f‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ دوﺗﺎﯾﯽ ﻣــﺴﺘﻘﻞ را ‪ pairwise independent‬و ﺣﺎﻟﺖ ‪ n‬ﺗﺎﯾﯽ ﻣــﺴﺘﻘﻞ را ‪mutual‬‬
‫‪ independent‬ﻣﯽ‌ﮔﻮﯾﻨﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨـﯿﺪ ﺑﺮای ‪ ، 2k ≤n‬اﮔﺮ ‪ k X 1, X 2, ... , X n‬ﺗﺎﯾﯽ ﻣـﺴﺘﻘﻞ ﺑـﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬آﻧـﮕﺎه ‪ k-1‬ﺗﺎﯾﯽ‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻧﯿﺰ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ب( ﻣـﺜﺎﻟﯽ ﺑﺮای ‪ X 1 , X 2 , X 3‬اراﺋﻪ ﮐﻨـﯿﺪ ﮐﻪ اﯾﻦ ﺳﻪ ﻣﺘﻐـﯿﺮ‪ 2 ،‬ﺗﺎﯾﯽ ﻣـﺴﺘﻘﻞ ﺑـﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ‪ 3‬ﺗﺎﯾﯽ‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ‪) .‬دﻗﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺑﺮای راﺣﺘﯽ ﻣﯽ‌ﺗﻮاﻧﯿﺪ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﺜﺎل ﺑﺰﻧﯿﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺘﻐﯿﺮﻫﺎی ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ X‬و ‪ Y‬ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺑﻮده و ﻫﺮ دو دارای ﺗﻮزﯾﻊ ‪ N 0 ; 2 ‬ﻣﯽ‌ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای‬
‫‪.11‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻣﺘﻐﯿﺮ ∣ ‪ ، W =∣ X −Y‬ﻣﻘﺎدﯾﺮ ] ‪ E [ Z‬و ] ‪ E [ Z‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ﺑﺮای ﻫﺮ دو ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ﺣﻘﯿﻘﯽ ﯾﺎ ﻣﺨﺘﻠﻂ ‪ X‬و ‪ Y‬دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪.12‬‬
‫اﻟﻒ‪∣E [ XY ]∣ ≤E [∣ X ∣ ] E [∣Y ∣ ] :‬‬
‫ب‪)  E [∣ X Y∣2 ]≤  E [∣ X ∣2 ] E [∣Y ∣2 ]. :‬ﻧﺎﻣﺴﺎوی ﻣﺜﻠﺚ(‬
‫‪2‬‬
‫‪.13‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ اﮔﺮ ] ‪ E [ X 2 ]=E [Y 2 ]=E [ XY‬آن ﮔﺎه ‪. X =Y‬‬
‫‪ X‬و ‪ Y‬دو ﻣﺘﻐـﯿﺮ ﺗـﺼﺎدﻓﯽ ﺑﺎ وارﯾﺎﻧﺲ ﻫﺎی ‪  X‬و ‪  Y‬و ﮐـﻮارﯾﺎﻧﺲ ‪  XY‬ﻣﯽ‌ﺑـﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫‪.14‬‬
‫ﻣﻘﺪار ‪ a‬را ﻃﻮری ﺗﻌﯿﯿﻦ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ وارﯾﺎﻧﺲ ‪ z =aX 1−a Y‬ﮐﻤﯿﻨﻪ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ ﺗﻮام دو ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ X‬و ‪ Y‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪.15‬‬
‫‪f  x , y =x e− x y1  x0 , y0‬‬
‫‪.16‬‬
‫اﺣﺘﻤﺎل ﺷﺮﻃﯽ ‪ Y‬ﺑﻪ ﺷﺮط ‪ X=x‬و اﺣﺘﻤﺎل ﺷﺮﻃﯽ ‪ X‬ﺑﻪ ﺷﺮط ‪ Y=y‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﭼﮕﺎﻟﯽ ﺗﻮام دو ﻣﺘﻐﯿﺮ ﺗﺼﺎدﻓﯽ ‪ X‬و ‪ Y‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 − y y ‬‬
‫‪f  x , y = e‬‬
‫‪x0 , y0‬‬
‫‪y‬‬
‫ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ‪ X‬و ﻣﯿﺎﻧﮕﯿﻦ ‪ Y‬را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ و ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪Cov(X,Y)=0 :‬‬
‫‪.17‬‬
‫‪.18‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ ] ‪ E [ X −a‬در ‪ a=E  X ‬ﮐﻤﯿﻨﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد‪.‬‬
‫اﮔﺮ ‪ X‬و ‪ Y‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﻫﻢ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ‪:‬‬
‫] ‪E [ X ∣Y = y ]=E [ X‬‬
‫ﯾﮏ ﺗﺎس را ده ﺑﺎر ﻣﯽ اﻧﺪازﯾﻢ‪ .‬ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺟﻤﻊ اﻋﺪاد ﻇﺎﻫﺮ ﺷﺪه در اﯾﻦ ‪ ۱۰‬ﺑﺎر ﭘﺮﺗﺎب ﭼﻪ ﻗﺪر‬
‫‪.19‬‬
‫اﺳﺖ؟‬
‫‪ N‬ﻧﻔﺮ ﺑﻪ ﯾﮏ ﻣﻬﻤﺎﻧﯽ دﻋﻮت ﺷﺪه اﻧﺪ ﮐﻪ ﺑﻪ ﯾﮏ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺗﺼﺎدﻓﯽ وارد آن ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬در‬
‫‪.20‬‬
‫ﻫﻨﮕﺎم ورود ﻫﺮ ﻧﻔﺮ ﻧﮕﺎه ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ آﯾﺎ دوﺳﺘﯽ در ﻣﯿﺎن ﺟﻤﻊ دارد ﯾﺎ ﺧﯿﺮ‪ .‬اﮔﺮ داﺷﺖ ﺳﺮ ﻣﯿﺰ‬
‫ﯾﮑﯽ از دوﺳﺘﺎﻧﺶ ﻣﯽ ﻧﺸﯿﻨﺪ و در ﻏﯿﺮ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺮ ﺳﺮ ﯾﮏ ﻣﯿﺰ ﺟﺪﯾﺪ ﻣﯽ ﻧﺸﯿﻨﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ‬
‫ﻫﺮ ﯾﮏ از اﯾﻦ‬
‫‪N  N −1‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺟـﻔﺖ آدم ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣـﺴﺘﻘﻞ و ﺑﺎ اﺣﺘـﻤﺎل ‪ p‬ﺑﺎ ﻫﻢ دوﺳﺖ ﻫـﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺗﻌﺪاد ﻣﯿﺰﻫﺎی ﺧﺎﻟﯽ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ n‬ﺗﻮپ و ‪ n‬ﺳﺒﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﺷﻤﺎره ﻫﺎی ‪ 1‬ﺗﺎ ‪ n‬ﺷﻤﺎره ﮔﺬاری ﺷﺪه اﻧﺪ دارﯾﻢ‪ .‬ﺗﻮپ ‪ i‬ام ﺑﺎ‬
‫‪.21‬‬
‫اﺣﺘﻤﺎل ﻣﺴﺎوی در ﯾﮑﯽ از ﺳﺒﺪﻫﺎی ‪ 1‬ﺗﺎ ‪ i‬ﻗﺮار ﻣﯽ ﮔﯿﺮد‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺗﻌﺎد ﺳﺒﺪﻫﺎی ﺧﺎﻟﯽ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫ب( اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻨﮑﻪ ﻫﯿﭻ ﮐﺪام از ﺳﺒﺪﻫﺎ ﺧﺎﻟﯽ ﳕﺎﻧﺪ را ﻧﯿﺰ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬