Integral Apollonian Gaskets
Alex Kontorovich
Yale University
Apollonius of Perga (262-190 BCE)
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1362
63
611
1118
782
510
1227
735
1362
Frederick Soddy (1877-1956)
From: Soddy “The Kiss Precise”, Nature, 1936
Four circles to the kissing come. \ The smaller are the bender.
The bend is just the inverse of \ The distance from the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There’s now no need for rule of thumb.
Since zero bend’s a dead straight line \ And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends \ Is half the square of their sum.
...
To spy out spherical affairs \ An oscular surveyor
Might find the task laborious, \ The sphere is much the gayer,
And now besides the pair of pairs
A fifth sphere in the kissing shares.
Yet, signs and zero as before, \ For each to kiss the other four
The square of the sum of all five bends \ Is thrice the sum of their squares.
(Jos Leys)
(Jos Leys)