‫اﻟﮕﻮﺷﻨﺎﺳﻲ آﻣﺎري ‪40-725‬‬
‫ﻧﻴﻤﺴﺎل دوم ‪91-92‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺳﺮي اول‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺳﻠﻴﻤﺎﻧﻲ‬
‫ﻣﻮﻋﺪ ﺗﺤﻮﻳﻞ‪ 13 :‬اﺳﻔﻨﺪ ‪91‬‬
‫ﺳﻮال ‪ 10) 1‬ﻧﻤﺮه(‪ :‬رواﺑﻂ آﻣﺎري زوج ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎي ﺗﺼﺎدﻓﻲ‬
‫دو ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺗﺼﺎدﻓﻲ‬
‫و‬
‫را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و ﻣﻌﻴﺎرﻫﺎي زﻳﺮ را ﺑﺮاي راﺑﻄﻪ اﻳﻦ دو ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺗﺼﺎدﻓﻲ ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ‪:‬‬
‫)‬
‫‪)( −‬‬
‫‪( −‬‬
‫=) ‪( ,‬‬
‫=‬
‫‪,‬‬
‫=‬
‫) ‪( ,‬‬
‫) ( ) (‬
‫‪ln‬‬
‫=) ‪( ,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ 2) (a‬ﻧﻤﺮه( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺎﻣﺴﺎوي ﻛﻮﺷﻲ‪-‬ﺷﻮارﺗﺰ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ‪≤ 1‬‬
‫‪ 2) (b‬ﻧﻤﺮه( راﺑﻄﻪ ‪= 0 ⇒ ( , ) = 0‬‬
‫≤ ‪.−1‬‬
‫را در ﺻﻮرت درﺳﺘﻲ اﺛﺒﺎت ﻧﻤﻮده و در ﺻﻮرت ﻧﺎدرﺳﺖ ﺑﻮدن ﺑﺮاي آن‬
‫ﻣﺜﺎل ﻧﻘﺾ ﺑﻴﺎورﻳﺪ‪.‬‬
‫⇒ ‪ ( , ) = 0‬را در ﺻﻮرت درﺳﺘﻲ اﺛﺒﺎت ﻧﻤﻮده و در ﺻﻮرت ﻧﺎدرﺳﺖ ﺑﻮدن ﺑﺮاي آن‬
‫‪ 2) (c‬ﻧﻤﺮه( راﺑﻄﻪ ‪= 0‬‬
‫ﻣﺜﺎل ﻧﻘﺾ ﺑﻴﺎورﻳﺪ‪.‬‬
‫‪ 2) (d‬ﻧﻤﺮه( آﻳﺎ ‪= 0‬‬
‫‪ 2) (e‬ﻧﻤﺮه( ﭼﻨﺎنﭼﻪ‬
‫ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪه اﺳﺘﻘﻼل‬
‫و‬
‫و‬
‫اﺳﺖ؟ ‪ ( , ) = 0‬ﭼﻄﻮر؟ )ﺗﻮﺿﻴﺢ(‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻞ آﻣﺎري ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬در ﻣﻮرد ﻣﻘﺪار‬
‫و ) ‪ ( ,‬ﭼﻪ اﻇﻬﺎرﻧﻈﺮي ﻣﻲﺗﻮان ﻛﺮد؟‬
‫ﺳﻮال ‪ 10) 2‬ﻧﻤﺮه(‪ :‬ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻛﻮرارﻳﺎﻧﺲ و ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﺎﻫﺎﻻﻧﺒﻴﺲ‬
‫ﺗﻮزﻳﻊ ﮔﺎوﺳﻲ ﭼﻨﺪ ﻣﺘﻐﻴﺮه ) ‪ ( ,‬را در ﻓﻀﺎي وﻳﮋﮔﻲ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪:‬‬
‫‪(a‬‬
‫)‪ 2‬ﻧﻤﺮه( ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﺎﻫﺎﻻﻧﺒﻴﺲ ﺑﺮدار‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺳﺎده ﻛﻨﻴﺪ ))‬
‫‪(b‬‬
‫را ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﻮده و راﺑﻄﻪ را ﺑﺮاي ﺣﺎﻟﺘﻲ ﻛﻪ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻛﻮارﻳﺎﻧﺲ ﻗﻄﺮي‬
‫‪.( = diag( , … ,‬‬
‫)‪ 1‬ﻧﻤﺮه( در ﭼﻪ ﺷﺮاﻳﻄﻲ ﻓﺎﺻﻠﻪ اﻗﻠﻴﺪﺳﻲ ﺑﺎ‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﺎﻫﺎﻻﻧﺒﻴﺲ ﺑﺎ ﺗﻮزﻳﻊ ) ‪ ( ,‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؟‬
‫‪ 2) (c‬ﻧﻤﺮه( در ﭼﻪ ﺷﺮاﻳﻄﻲ اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﺎﻫﺎﻻﻧﺒﻴﺲ ﺑﻬﺘﺮ از ﻓﺎﺻﻠﻪ اﻗﻠﻴﺪﺳﻲ اﺳﺖ؟ و ﺑﺎﻟﻌﻜﺲ؟‬
‫‪ 3) (d‬ﻧﻤﺮه( راﻫﻜﺎري ﺑﺮاي ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﺎﻫﺎﻻﻧﺒﻴﺲ ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻓﺎﺻﻠﻪ دو ﻧﻘﻄﻪ‬
‫ﻛﻨﻴﺪ؟ در ﭼﻪ ﺣﺎﻟﺘﻲ اﻳﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ اﻗﻠﻴﺪﺳﻲ‬
‫و‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؟‬
‫و‬
‫)از اﻳﻦ ﺗﻮزﻳﻊ( از ﻫﻤﺪﻳﮕﺮ اراﺋﻪ‬
‫‪ 2) (e‬ﻧﻤﺮه( وﺟﻮد ﻣﻘﺪار وﻳﮋه ﺻﻔﺮ ﺑﺮاي ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻛﻮوارﻳﺎﻧﺲ ﻳﻚ ﮔﺎوﺳﻲ ﺑﻪ ﭼﻪ ﻣﻌﻨﺎﺳﺖ؟ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﭼﻪ ﺗﺎﺛﻴﺮي ﺑﺮ روي‬
‫ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﺎﻫﺎﻻﻧﺒﻴﺲ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﺎ ﮔﺎوﺳﻲ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﻣﻲﮔﺬارد؟‬
‫ﺳﻮال ‪ 14) 3‬ﻧﻤﺮه(‪ :‬ﺗﺠﺰﻳﻪ وﻳﮋه ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻛﻮوارﻳﺎﻧﺲ و ﺗﺒﺪﻳﻼت ﺧﻄﻲ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ‬
‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ‪ Matlab‬ﺑﺮاي ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ داده ﻣﻮﺟﻮد در ﻓﺎﻳﻞ "‪ "data_3.mat‬ﺑﻪ ﭘﺮﺳﺶﻫﺎي زﻳﺮ ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ‪:‬‬
‫=‬
‫‪ 2) (a‬ﻧﻤﺮه( ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ‬
‫روي‬
‫را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺨﻤﻴﻨﻲ از ﻛﻮوارﻳﺎﻧﺲ وﻳﮋﮔﻲﻫﺎ ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ داده ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ ) از‬
‫‪−‬‬
‫و ﺑﺎ ﻛﻢ ﻛﺮدن ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎ از ﻫﻤﻪي دادهﻫﺎ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه اﺳﺖ‬
‫= (‪.‬‬
‫‪ 2) (b‬ﻧﻤﺮه( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻘﺎدﻳﺮ دراﻳﻪﻫﺎي ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻛﻮارﻳﺎﻧﺲ در ﻣﻮرد ارﺗﺒﺎط ﻫﺮ ﻛﺪام از زوج وﻳﮋﮔﻲﻫﺎ و ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬
‫ﭘﺮاﻛﻨﺪﮔﻲ ﻣﻘﺪار ﻫﺮ ﻳﻚ از وﻳﮋﮔﻲﻫﺎ ﺑﺤﺚ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫⋯‬
‫‪ 2) (c‬ﻧﻤﺮه( ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ‬
‫=‬
‫ﻛﻪ ﺳﺘﻮنﻫﺎي آن ﺑﺮدارﻫﺎي وﻳﮋه )ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻣﻘﺎدﻳﺮ وﻳﮋه ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ( ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ‬
‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‬
‫را ﺗﺸﻜﻴﻞ دﻫﻴﺪ‪ .‬ﺿﺮب داﺧﻠﻲ دوﺑﻪدوي اﻳﻦ ﺑﺮدارﻫﺎي وﻳﮋه را ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از رواﺑﻂ‬
‫ﻧﻴﺰ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ‪.‬‬
‫= ‪ ′‬ﺑﻪ ﻓﻀﺎي ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺒﺮﻳﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﻳﻚ ﺑﺎر دادهﻫﺎ را ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﻳﻚ از زوج‬
‫‪ 3) (d‬ﻧﻤﺮه( دادهﻫﺎ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺒﺪﻳﻞ‬
‫اﺑﻌﺎد ) ‪ ( , ) ،( ,‬و ) ‪ ( ,‬در ﻓﻀﺎي دوﺑﻌﺪي ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ و ﻳﻚﺑﺎر در ﻓﻀﺎﻫﺎي ﺟﺪﻳﺪ ) ‪ ( , ) ،( ,‬و‬
‫) ‪ ( ,‬رﺳﻢ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ و ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪدﺳﺖ آﻣﺪه را ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ 3) (e‬ﻧﻤﺮه( ﺑﺮاي دادهﻫﺎي ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻛﻮارﻳﺎﻧﺲ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ‪ .‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از رواﺑﻂ ﻧﻴﺰ‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ‪.‬‬
‫‪/‬‬
‫‪ 2) (f‬ﻧﻤﺮه( ﭼﻨﺎنﭼﻪ از ﺗﺒﺪﻳﻞ‬
‫ﺑﺮدارﻫﺎي وﻳﮋه ﻣﻮﺟﻮد در ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ‬
‫= ‪ ′‬اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد ) ﻣﺎﺗﺮﻳﺴﻲ ﻗﻄﺮي اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ وﻳﮋه ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ‬
‫ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ روي ﻗﻄﺮ آن واﻗﻊ ﺷﺪهاﻧﺪ(‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از رواﺑﻂ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ‬
‫ﻛﻮارﻳﺎﻧﺲ دادهﻫﺎ در ﻓﻀﺎي ﺟﺪﻳﺪ ﻫﻤﺎﻧﻲ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺳﻮال ‪ 22) :4‬ﻧﻤﺮه( ﺧﻄﺎ و رﻳﺴﻚ ﺑﻴﺰ‬
‫ﻳﻚ ﻣﺴﺎﻟﻪ دﺳﺘﻪﺑﻨﺪي ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﺑﺮاي ﻳﻚ دﺳﺘﻪﺑﻨﺪ ﻛﻪ ﻓﻀﺎ را ﺑﻪ ﻧﻮاﺣﻲ ‪ ℛ‬و ‪ ℛ‬اﻓﺮاز ﻣﻲﻛﻨﺪ‪ ،‬اﺣﺘﻤﺎل ﺧﻄﺎ‬
‫ﺑﺮاي دﺳﺘﻪﻫﺎي اول و دوم ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫ﺧﻄﺎي ﻛﻠﻲ دﺳﺘﻪﺑﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ )‬
‫( ×‬
‫‪)+‬‬
‫| (‬
‫)‬
‫( ×‬
‫‪ℛ‬‬
‫=‬
‫و‬
‫| (‬
‫)‬
‫‪ℛ‬‬
‫=‬
‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﺷﻮد و اﺣﺘﻤﺎل‬
‫‪.‬‬
‫‪ 4) .1.4‬ﻧﻤﺮه( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﺑﺮاي دﺳﺘﻪﺑﻨﺪ ﺑﻬﻴﻨﻪ )‪ ( = 2‬اﺣﺘﻤﺎل ﺧﻄﺎ ﺑﻴﺸﺘﺮ از ‪ 0.5‬ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﺗﻌﻤﻴﻢ اﻳﻦ ﮔﺰاره ﺑﺮاي ﺣﺎﻟﺘﻲﻛﻪ‬
‫ﺗﻌﺪاد دﺳﺘﻪﻫﺎ ﻣﺤﺪود ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪ ﻧﺒﺎﺷﺪ ﭼﻴﺴﺖ؟ درﺳﺘﻲ ﮔﺰاره ﺣﺎﺻﻞ را ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ 3) .2.4‬ﻧﻤﺮه( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ رﻳﺴﻚ دﺳﺘﻪﺑﻨﺪي ﺑﻪ ﻧﻮاﺣﻲ ‪ ℛ‬و ‪ ℛ‬ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫)‬
‫‪−‬‬
‫()‬
‫( ‪+‬‬
‫)‬
‫‪−‬‬
‫()‬
‫( ‪+‬‬
‫)‬
‫( ‪+‬‬
‫)‬
‫( =‬
‫‪ 5) .3.4‬ﻧﻤﺮه( اﮔﺮ اﺣﺘﻤﺎل ﭘﻴﺸﻴﻦ دﺳﺘﻪﻫﺎ ﺑﺮاﺑﺮ و ﭼﮕﺎﻟﻲ ﺷﺮﻃﻲ دﺳﺘﻪﻫﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫) ‪( | )~ ( ,‬‬
‫) ‪( | )~ ( ,‬‬
‫ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ اﺣﺘﻤﺎل ﺧﻄﺎي دﺳﺘﻪﺑﻨﺪ ﺑﻴﺰ ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ ﻣﺴﺎوي ) ‪ (( − )⁄ ) − (( − )⁄‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫≡ ) ( و )‪. ~ (0,1‬‬
‫) ≤ (‬
‫‪ 5) .4.4‬ﻧﻤﺮه( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺮدارﻫﺎي وﻳﮋﮔﻲ در ﻫﺮ دو دﺳﺘﻪ‪ ،‬ﮔﺎوﺳﻲ ﺑﺎ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻛﻮوارﻳﺎﻧﺲ‬
‫دﺳﺘﻪ‬
‫و‬
‫و ﺑﺮدارﻫﺎي ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ دو‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ اﺣﺘﻤﺎل ﭘﻴﺸﻴﻦ دو دﺳﺘﻪ ﻣﺴﺎوي ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ اﺣﺘﻤﺎل ﺧﻄﺎي دﺳﺘﻪﺑﻨﺪ ﺑﻴﺰ از راﺑﻄﻪ‬
‫زﻳﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪/‬‬
‫‪√2‬‬
‫ﻛﻪ‬
‫ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﺎﻫﺎﻻﻧﺒﻴﺲ‬
‫و‬
‫=)‬
‫‪/‬‬
‫را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ‪.‬‬
‫)راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ‪ :‬ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ اﺣﺘﻤﺎل ﺧﻄﺎي ﺑﻴﺰ ﻳﻚ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺗﺼﺎدﻓﻲ‬
‫‪)، ∈ℛ‬‬
‫‪/2,‬‬
‫(‬
‫(‬
‫و ﺑﺮاي ‪) ، ∈ ℛ‬‬
‫‪/2,‬‬
‫)‬
‫| (‬
‫)‬
‫| (‬
‫‪ = ln‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﻨﻴﺪ و ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺮاي‬
‫‪ (−‬اﺳﺖ(‬
‫‪ 5) .5.4‬ﻧﻤﺮه( ﺑﺮاي ﻣﺴﺎﻟﻪ دﺳﺘﻪﺑﻨﺪي ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻳﻚ وﻳﮋﮔﻲ ﻛﻪ ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﻘﺎدﻳﺮ وﻳﮋﮔﻲ در ﻫﺮ دو دﺳﺘﻪ ﮔﺎوﺳﻲ‬
‫ﻓﺮض ﻣﻲﺷﻮد‪ ،‬ﺗﺎﺑﻌﻲ در ‪ Matlab‬ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ و اﻧﺤﺮاف اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﮔﺎوﺳﻲﻫﺎي ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ و ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬
‫اﺣﺘﻤﺎل ﭘﻴﺸﻴﻦ دو دﺳﺘﻪ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﺧﻄﺎي ﺑﻴﺰ را ﺑﺮﮔﺮداﻧﺪ‪ .‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻪدﺳﺖ آﻣﺪه را ﺑﻪ ازاي ورودي ‪= 0.5‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪= 0.75 ،‬‬
‫‪=2 ،‬‬
‫‪،‬‬
‫‪ ( ) = ( ) ،‬ﮔﺰارش ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫ﺳﻮال ‪ 20) :5‬ﻧﻤﺮه( ﻣﺮزﻫﺎي ﺗﺼﻤﻴﻢﮔﻴﺮي ﺑﺎ ﻓﺮض ﺗﻮزﻳﻊﻫﺎي ﮔﺎوﺳﻲ‬
‫)‬
‫| (‬
‫ﻳﻚ ﻣﺴﺎﻟﻪ دﺳﺘﻪﺑﻨﺪي ﺑﺎ دو دﺳﺘﻪ را درﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎي ﻫﺮ دﺳﺘﻪ ﻳﻚ ﺗﻮزﻳﻊ ﮔﺎوﺳﻲ در ﻓﻀﺎي دو ﺑﻌﺪي وﻳﮋﮔﻲﻫﺎ‬
‫دارد‪.‬‬
‫‪ .1.5‬ﭼﻨﺎنﭼﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎي ﺗﻮزﻳﻊ ﺑﺮدارﻫﺎي وﻳﮋﮔﻲ در دو دﺳﺘﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪−1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫و اﺣﺘﻤﺎل ﭘﻴﺸﻴﻦ دو دﺳﺘﻪ ﻳﻜﺴﺎن ﻓﺮض ﺷﻮد‪:‬‬
‫‪ 2) .a‬ﻧﻤﺮه( ﻣﺮز ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه ﺗﻮﺳﻂ دﺳﺘﻪﺑﻨﺪ ﺑﻴﺰ را ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ 2) .b‬ﻧﻤﺮه( ﭼﻨﺎنﭼﻪ از ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﺿﺮر زﻳﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد ﻣﺮز ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺣﺎﺻﻞ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؟‬
‫‪0 1‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪ 2) .c‬ﻧﻤﺮه( اﮔﺮ ﺑﻪ ﺟﺎي ﻓﺮض اﺣﺘﻤﺎل ﭘﻴﺸﻴﻦ ﺑﺮاﺑﺮ دﺳﺘﻪﻫﺎ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ) ( ‪ ( ) = 3‬ﻣﺮز ﺗﺼﻤﻴﻢ در اﻳﻦ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ و ﺑﺎ ﻟﺤﺎظ ﻛﺮدن ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﺿﺮر ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺪه در ﻗﺴﻤﺖ ‪ b‬ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؟‬
‫‪ .2.5‬ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺗﻮزﻳﻊ و ﻣﺮز دﺳﺘﻪﻫﺎ در ‪Matlab‬‬
‫‪ 8) .a‬ﻧﻤﺮه( ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ درﻳﺎﻓﺖ ﺑﺮدار ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ و ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ ﻛﻮارﻳﺎﻧﺲ ﻫﺮ دﺳﺘﻪ و ﺑﺎ ﻓﺮض اﺣﺘﻤﺎل ﭘﻴﺸﻴﻦ‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺮاي دﺳﺘﻪﻫﺎ‪ ،‬ﺗﻮزﻳﻊ دادهﻫﺎي دﺳﺘﻪﻫﺎ و ﻣﺮز ﺑﻴﻦ دو دﺳﺘﻪ را ﺑﺮاي دﺳﺘﻪﺑﻨﺪ ﺑﻴﺰ ﻧﻤﺎﻳﺶ دﻫﺪ‪.‬‬
‫‪ 6) .b‬ﻧﻤﺮه( ﺑﻪ ازاي ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻮﺟﻮد در ﻓﺎﻳﻞ "‪ "Problems.mat‬ﺗﺼﻮﻳﺮ ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻨﺪه ﺗﻮزﻳﻊ دادهﻫﺎ و‬
‫ﻣﺮزﻫﺎ را در ﮔﺰارش ﺧﻮد ﺑﻴﺎورﻳﺪ‪.‬‬
‫ﺳﻮال ‪ 9) 6‬ﻧﻤﺮه(‪ :‬رﻳﺴﻚ ﺑﻴﺰ و ﻛﻨﺶ ﻋﺪم ﺗﺸﺨﻴﺺ‬
‫در ﻳﻚ ﻣﺴﺎﻟﻪ دﺳﺘﻪﺑﻨﺪي ﺑﻪ دﺳﺘﻪ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺑﺮاي ﺗﺼﻤﻴﻢﮔﻴﺮي ‪ + 1‬ﻛﻨﺶ‬
‫ﻛﻨﺶ اول ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ اﻧﺘﺴﺎب ﺑﻪ دﺳﺘﻪي اول ﺗﺎ ‪-‬ام ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻛﻨﺶ‬
‫‪,…,‬‬
‫‪,‬‬
‫=‬
‫در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه ﻛﻪ‬
‫ﺑﺮاي رد ﻛﺮدن )ﻋﺪم ﺗﺸﺨﻴﺺ( ﻟﺤﺎظ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض‬
‫ﻛﻨﻴﺪ ﺗﺎﺑﻊ ﺿﺮر ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫=‬
‫‪+1‬‬
‫‪. .‬‬
‫‪(a‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫=‬
‫)‪ 3‬ﻧﻤﺮه( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﻗﺎﻧﻮن ﺗﺼﻤﻴﻢ زﻳﺮ رﻳﺴﻚ را ﻛﻤﻴﻨﻪ ﻣﻲﻛﻨﺪ‪:‬‬
‫‪/‬‬
‫‪decide‬‬
‫‪| )≥1−‬‬
‫(‬
‫‪and‬‬
‫≥) |‬
‫( ‪If ∀ ≠ ,‬‬
‫‪Otherwise decide‬‬
‫ﺑﺮ ﻧﺤﻮهي ﺗﺼﻤﻴﻢﮔﻴﺮي ﺑﺤﺚ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ 2) (b‬ﻧﻤﺮه( در ﻣﻮرد ﺗﺎﺛﻴﺮ ﻣﻘﺪار‬
‫‪ 4) (c‬ﻧﻤﺮه( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﺟﺪاﺳﺎز زﻳﺮ ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺑﻬﻴﻨﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪:‬‬
‫‪= 1, … ,‬‬
‫)‬
‫‪= +1‬‬
‫)‬
‫( )‬
‫( )‬
‫| (‬
‫| (‬
‫‪−‬‬
‫=) (‬
‫ﺳﻮال ‪ 15) 7‬ﻧﻤﺮه(‪ :‬اﻧﻮاع ﻣﻌﻴﺎرﻫﺎي ﺗﺼﻤﻴﻢ‬
‫‪ .1.7‬ﻣﺴﺎﻟﻪي دﺳﺘﻪﺑﻨﺪي ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪ ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل ﭘﻴﺸﻴﻦ ﻳﻜﺴﺎن و )‪ ( | )~ (0,1‬و )‪ ( | )~ (−0.5,1.5‬را در ﻧﻈﺮ‬
‫ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪:‬‬
‫‪ 1) .a‬ﻧﻤﺮه( ﻧﻮاﺣﻲ ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺑﻴﺰ را ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ 2) .b‬ﻧﻤﺮه( ﻧﻤﻮدار ‪ ROC‬را ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺮزي ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﺘﻐﻴﺮ رﺳﻢ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ‪.‬‬
‫‪.c‬‬
‫)‪ 3‬ﻧﻤﺮه( ﻧﻮاﺣﻲ ﺗﺼﻤﻴﻢ ‪ Neyman-Pearson‬را ﺑﺮاي ‪= 0.2‬‬
‫ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ 4) .d‬ﻧﻤﺮه( ﻧﻮاﺣﻲ ﺗﺼﻤﻴﻢ ‪ Minimax‬را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻧﻤﺎﻳﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ 5) .2.7‬ﻧﻤﺮه( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ در ﻣﻌﻴﺎر ‪ Neyman-Pearson‬اﮔﺮ‬
‫را ﺑﺮاﺑﺮ ﺛﺎﺑﺖ‬
‫در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ ﻛﺮدن‬
‫ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ‬
‫ﺗﺼﻤﻴﻢﮔﻴﺮي ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ‪:‬‬
‫اﮔﺮ‬
‫>‬
‫ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاي اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه ﻛﻪ ‪= α‬‬
‫ﻛﻪ‬
‫) |‬
‫(‬
‫) |‬
‫(‬
‫آﻧﮕﺎه‬
‫را اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻦ وﮔﺮﻧﻪ‬
‫‪.‬‬
‫ﺑﺮﻗﺮار ﺷﻮد‪.‬‬
‫)راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ‪ :‬از ﻳﻚ ﺿﺮﻳﺐ ﻻﮔﺮاﻧﮋ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ و ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﻟﻪي ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﻛﺮدن‬
‫‪)+‬‬
‫‪−‬‬
‫(‬
‫اﺳﺖ‪(.‬‬