‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩٢-٩١‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺣﻤﯿﺪ ﺿﺮاﺑ زاده‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﺮﮐﯿﺒﯿﺎت‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی اول‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ١ :‬اﺳﻔﻨﺪ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .١‬ﮐﺘﺎبﺧﺎﻧﻪ ]‪ ١٠‬ﻧﻤﺮه[‬
‫ﺗﻌﺪاد ‪ ١٠‬ﮐﺘﺎب رﯾﺎﺿ ‪ ٨ ،‬ﮐﺘﺎب ﻓﯿﺰﯾ‬
‫ﻃﺮﯾﻖ ﻣ ﺗﻮان اﯾﻦ ﮐﺘﺎبﻫﺎ را‪:‬‬
‫اﻟﻒ( درون ﯾ‬
‫و ‪ ٢‬ﮐﺘﺎب ﺗﺎرﯾﺦ دارﯾﻢ‪ .‬ﮐﺘﺎبﻫﺎی ﯾ‬
‫درس ﻣﺸﺎﺑﻪ ﯾ دﯾ ﺮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﭼﻨﺪ‬
‫ﻗﻘﺴﻪ ﻗﺮار داد؟‬
‫ب( درون ﯾ‬
‫ﻗﻘﺴﻪ ﻗﺮار داد‪ ،‬ﺑﻪﺷﺮﻃ ﮐﻪ ﮐﺘﺎبﻫﺎی ﻫﻢﻧﻮع ﻣﺠﺎور ﻫﻢ ﺑﺎﺷﻨﺪ؟‬
‫ج( درون ﯾ‬
‫ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ؟‬
‫ﻗﻔﺴﻪ ﻗﺮار داد‪ ،‬ﺑﻪﺷﺮﻃ ﮐﻪ ﮐﺘﺎبﻫﺎی ﺗﺎرﯾﺦ ﮐﻨﺎر ﻫﻢ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﻫﯿﭻ دو ﮐﺘﺎب ﻓﯿﺰﯾ‬
‫ﮐﻨﺎر ﯾ دﯾ ﺮ‬
‫د( در دو ﮐﺎرﺗﻦ ‪١٠‬ﺗﺎﯾ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻗﺮار داد؟‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫!‪٢٠‬‬
‫!‪١٠!٨!٢‬‬
‫ب( !‪٣‬‬
‫) (‬
‫)‪(١٢‬‬
‫‪× ١٢‬‬
‫ج( ‪٨ = ١١ ٨‬‬
‫!)‪(١٠+١‬‬
‫!‪١٠‬‬
‫د( ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ‪ x‬ﮐﺘﺎب رﯾﺎﺿ و ‪ y‬ﮐﺘﺎب ﻓﯿﺰﯾ و ‪ z‬ﮐﺘﺎب ﺗﺎرﯾﺦ را در ﺟﻌﺒﻪ اول ﻗﺮار داده و ﺑﺎﻗ ﮐﺘﺎبﻫﺎ را‬
‫در ﺟﻌﺒﻪ دﯾ ﺮ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ‪ .‬ﺗﻌﺪاد ﺟﻮابﻫﺎی ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ x + y + z = ١٠‬را ﺣﺴﺎب ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ ،‬ﺑﺎ ﺷﺮط اﯾﻦﮐﻪ‬
‫‪( ) ( ) ( :٠‬‬
‫‪ ٠ ⩽ x ⩽ ١٠, ٠ ⩽ y ⩽ ٨‬و ‪) ⩽ z ⩽ ٢‬‬
‫‪١٢‬‬
‫‪٩‬‬
‫‪٣‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪٢‬‬
‫ﺑﻪ دﻟﯿﻞ ﺗﺸﺎﺑﻪ دو ﺟﻌﺒﻪ ﺣﺎﻟﺖﻫﺎی ﻣﺘﻘﺎرن را ﺣﺬف ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻫﺮ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎﻻ ﯾ ﺟﻔﺖ ﺗ ﺮاری دارد‬
‫ﺑﻪﺟﺰ ﺣﺎﻟﺘ ﮐﻪ ﻫﺮ دو ﺟﻌﺒﻪ ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﺎوی از ﻫﺮ ﮐﺘﺎب داﺷﺘﻪﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺎ ﺣﺬف ﺣﺎﻻت ﺗ ﺮاری ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬
‫داﺷﺖ‪:‬‬
‫)‪(١٢) (٩) (٣‬‬
‫‪٢ − ٢ − ٢ − ١ + ١ = ١۴‬‬
‫‪٢‬‬
‫▶‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٢‬ﻣﺴﯿﺮﻫﺎی درون ﺷﺒ ﻪ ]‪ ٢٠‬ﻧﻤﺮه[‬
‫ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﯿﺮﻫﺎی ﺗﺸ ﯿﻞﯾﺎﻓﺘﻪ از ﺣﺮﮐﺎت رو ﺑﻪ ﺑﺎﻻ ﯾﺎ راﺳﺖ را در ﺷﺒ ﻪی زﯾﺮ از ﻧﻘﻄﻪ ‪ X‬ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ ‪ Y‬ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ از‬
‫‪ BC ،AB‬و ‪ BD‬ﻋﺒﻮر ﻧ ﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺷ ﻞ‪ ،‬ﺗﻤﺎم ﻣﺴﯿﺮﻫﺎی ﻏﯿﺮﻣﺠﺎز از ﻧﻘﻄﻪ ‪ B‬ﻋﺒﻮر ﻣ ﮐﻨﻨﺪ و ﺗﻤﺎم ﻣﺴﯿﺮﻫﺎﯾ ﮐﻪ از ﻧﻘﻄﻪ ‪ B‬ﻋﺒﻮر‬
‫ﻣ ﮐﻨﻨﺪ ﻏﯿﺮﻣﺠﺎز ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮﯾﻦ ﺗﻌﺪاد ﺗﻤﺎم ﻣﺴﯿﺮﻫﺎی ‪ X‬ﺑﻪ ‪ Y‬را ﻣ ﺷﻤﺎرﯾﻢ و ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﯿﺮﻫﺎﯾ ﮐﻪ از ‪ B‬ﻋﺒﻮر‬
‫ﻣ ﮐﻨﻨﺪ را از آن ﮐﻢ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫) () ( ) (‬
‫‪١٢‬‬
‫‪۴ ٨‬‬
‫‪−‬‬
‫‪٨‬‬
‫‪٣ ۵‬‬
‫▶‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٣‬زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ﺧﻮب ]‪ ١٠‬ﻧﻤﺮه[‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی }‪ S = {١, ٢, . . . , ١٣٩٠‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﯾ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ ٣١‬ﻋﻀﻮی از ‪ S‬را زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪای‬
‫ﺧﻮب ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ‪ ،‬ﻫﺮﮔﺎه ﻣﺠﻤﻮع اﻋﻀﺎﯾﺶ ﺑﺮ ‪ ۵‬ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻌﺪاد زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ﺧﻮب ‪ S‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﺗﻌﺪاد زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ‪ ٣١‬ﺗﺎﯾ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻓﻮق ﮐﻪ ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪه آﻧﻬﺎ ﺑﻪ ‪ ۵‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ‪٣ ،٢ ،١ ،‬‬
‫ﯾﺎ ‪ ۴‬ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮای اﯾﻦﮐﺎر ﻫﺮ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ ٣١‬ﺗﺎﯾ را در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ و ﺗ ﺗ ﻋﻨﺎﺻﺮ آن را ﺑﻪ ﭘﯿﻤﺎﻧﻪ‬
‫‪ ١٣٩٠‬ﺑﺎ ﯾ ﺟﻤﻊ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮع ﻋﻨﺎﺻﺮ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺟﺪﯾﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﭘﯿﻤﺎﻧﻪ ‪ ١ ،۵‬واﺣﺪ ﺑﯿﺸﺘﺮ از ﻣﺠﻤﻮع ﻋﻨﺎﺻﺮ‬
‫زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻗﺒﻠ ﺑﻪ ﭘﯿﻤﺎﻧﻪ ‪ ۵‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﺑﻪاﯾﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺗﻨﺎﻇﺮی ﯾ ﺑﻪﯾ ﺑﯿﻦ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ‪٣١‬ﺗﺎﯾ ﮐﻪ ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪه‬
‫ﻣﺠﻤﻮع ﻋﻨﺎﺻﺮ آﻧﻬﺎ ﺑﻪ ﭘﻨﺞ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ x‬اﺳﺖ‪ ،‬و زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ‪٣١‬ﺗﺎﯾ ﮐﻪ ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪه ﻣﺠﻤﻮع ﻋﻨﺎﺻﺮ آﻧﻬﺎ ﺑﻪ ‪ ۵‬ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫)‪ x + ١(mod۵‬اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﺮﻗﺮار ﮐﺮدهاﯾﻢ‪ .‬ﭘﺲ ﺣ ﻢ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺛﺎﺑﺖ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪاﯾﻦ ﺣ ﻢ‪ ،‬ﺟﻮاب ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪(١٣٩٠‬‬
‫) ‪٣١‬‬
‫‪۵‬‬
‫ﺧﻮاﻫﺪﺑﻮد‪.‬‬
‫▶‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۴‬ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ ﺟﺎیﮔﺸﺖ ]‪ ٢٠‬ﻧﻤﺮه[‬
‫در ﺗﻤﺎم ﺟﺎیﮔﺸﺖﻫﺎی ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ }‪ {١, ٢, . . . , n‬ﺑﻪﻃﻮر ﻣﯿﺎﻧ ﯿﻦ ﭼﻨﺪ ﻋﻀﻮ ﺳﺮ ﺟﺎی ﺧﻮد ﻗﺮار ﻧﻤ ﮔﯿﺮﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺗﻌﺪاد ﺣﺎﻻﺗ ﮐﻪ ﯾ ﻋﻀﻮ ﺑﻪﺧﺼﻮص ﺳﺮﺟﺎی ﺧﻮد ﻗﺮار ﺑ ﯿﺮد ﺑﺮاﺑﺮ !)‪ (n − ١‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ اﺣﺘﻤﺎل ﻗﺮارﮔﯿﺮی‬
‫!)‪١‬‬
‫‪ (n−‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﻪﻃﻮر ﻣﯿﺎﻧ ﯿﻦ ﺗﻌﺪاد اﻋﻀﺎﯾ ﮐﻪ ﺳﺮ ﺟﺎی ﺧﻮد ﻗﺮار ﻣ ﮔﯿﺮﻧﺪ‬
‫ﻫﺮ ﻋﻀﻮ در ﻣﺤﻞ ﺧﻮد ﺑﺮاﺑﺮ ‪= n١‬‬
‫!‪n‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ n × n١ = ١‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﻣﯿﺎﻧ ﯿﻦ ﺗﻌﺪاد اﻋﻀﺎﯾ ﮐﻪ ﺳﺮ ﺟﺎی ﺧﻮد ﻗﺮار ﻧﻤ ﮔﯿﺮﻧﺪ ﻧﯿﺰ ﺑﻪﻃﻮر ﺑﺪﯾﻬ ‪n − ١‬‬
‫▶‬
‫ﺧﻮاﻫﺪﺑﻮد‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۵‬اﻧﺘﺨﺎب زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ ]‪ ٢٠‬ﻧﻤﺮه[‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ S‬را ﺑﺎ اﻧﺪازهی ‪ n‬در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬از ‪ S‬ﻃﻮری اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪهاﻧﺪ ﮐﻪ ‪ A‬و ‪B‬‬
‫اﺷﺘﺮاﮐ ﻧﺪارﻧﺪ و ﻫﺮ دو زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ C‬ﻣ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺗﻌﺪاد ﺣﺎﻻت اﻧﺘﺨﺎب ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ S‬ﺑﻪ زﯾﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C − A − B‬و ‪ S − C‬اﻓﺮاز ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﻫﺮ ﻋﻀﻮ از ‪ S‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ‬
‫▶‬
‫در ﯾ از اﯾﻦ ‪ ۴‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻗﺮار ﮔﯿﺮد‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻮاب ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ۴n‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۶‬اﺗﺤﺎد ﺗﺮﮐﯿﺒﯿﺎﺗ ]‪ ٢٠‬ﻧﻤﺮه[‬
‫‪٢‬‬
‫راﺑﻄﻪی زﯾﺮ را ﺑﺎ روش ﺗﺮﮐﯿﺒﯿﺎﺗ اﺛﺒﺎت ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫( )‬
‫)‬
‫() (‬
‫‪n r+n−i−١‬‬
‫‪r−١‬‬
‫)‪(−١‬‬
‫=‬
‫‪n−١‬‬
‫‪i‬‬
‫‪r‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n−‬‬
‫‪∑١‬‬
‫‪i=٠‬‬
‫]راﻫﻨﻤﺎﯾ ‪ :‬از ﻓﺮﻣﻮل ﻗﺮار دادن ‪ r‬ﺷ ء ﯾ ﺴﺎن در ‪ n‬ﺟﻌﺒﻪی ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪[.‬‬
‫)‪(r+n−١‬‬
‫)‪(r+n−١‬‬
‫ﺑﻪدﺳﺖ‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻣ داﻧﯿﻢ ﺗﻌﺪاد راهﻫﺎی ﻗﺮار دادن ‪ r‬ﺷ ﯾ ﺴﺎن در ‪ n‬ﺟﻌﺒﻪ ﻣﺘﻔﺎوت از راﺑﻄﻪ ‪= n−١‬‬
‫‪r‬‬
‫ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺣﺎﻻ ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ اﯾﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﺎ اﯾﻦ ﺷﺮط اﺿﺎﻓ ﺣﻞ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻫﯿﭻ ﺟﻌﺒﻪای ﺧﺎﻟ ﻧﻤﺎﻧﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﻪ دو‬
‫ﺻﻮرت ﻣ ﺗﻮان ﺣﻞ ﮐﺮد‪ .‬در راهﺣﻞ اول اﺑﺘﺪا در ﻫﺮ ﯾ از ‪ n‬ﺟﻌﺒﻪ‪ ،‬ﯾ از ‪ r‬ﺷ را ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ‪ ،‬ﺳﭙﺲ ‪r − n‬‬
‫) ‪( r−١‬‬
‫‪ n−‬ﻃﺮﺑﻖ ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‪ .‬در راهﺣﻞ دوم‬
‫ﺷ ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪه را در ‪ n‬ﺟﻌﺒﻪ ﺗﻮزﯾﻊ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻃﺒﻖ راﺑﻄﻪ ﻣﺬﮐﻮر اﯾﻦ ﮐﺎر ﺑﻪ ‪١‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺻﻞ ﺷﻤﻮل و ﻋﺪم ﺷﻤﻮل ﺣﻞ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫اﯾﻦ دو ﺻﻮرت ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﺑﻪﺗﺮﺗﯿﺐ ﺳﻤﺖ راﺳﺖ و ﭼﭗ ﺗﺴﺎوی را ﺗﺸ ﯿﻞ ﻣ دﻫﻨﺪ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ اﺗﺤﺎد ﻓﻮق ﺛﺎﺑﺖ‬
‫▶‬
‫ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٧‬ﻣﺜﻠﺚﻫﺎ ]‪ ١٠‬ﻧﻤﺮهی اﻣﺘﯿﺎزی[‬
‫ﺗﻌﺪاد ﻣﺜﻠﺚﻫﺎﯾ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ ﻃﻮل اﺿﻼع آنﻫﺎ ﺻﺤﯿﺢ و ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ n‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ n ⩾ a١ ⩾ a٢ ⩾ a٣ ⩾ ١‬اﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺿﻠﻊ ﺑﺰرگ ﻣﺜﻠﺚ‬
‫ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﻫﺮ ﻣﻘﺪار ‪ n ⩾ a١ ⩾ ١‬را داﺷﺘﻪﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻃﺒﻖ ﻧﺎﺑﺮاﺑﺮی ﻣﺜﻠﺜ ‪ ،‬ﺿﻠﻊ وﺳﻂ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﯾﺪ ﺑﯿﺸﺘﺮ ﻧﺼﻒ ﺿﻠﻊ‬
‫ﺑﺰرگﺗﺮ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ⌉ ‪ .a١ ⩾ a٢ ⩾ ⌈ a١٢+١‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻃﺒﻖ ﻧﺎﻣﺴﺎوی ﻣﺜﻠﺜ ‪،‬ﻣﺠﻤﻮع دو ﺿﻠﻊ ﮐﻮﭼ ﺗﺮ‬
‫ﺑﺎﯾﺪ ﺑﯿﺸﺘﺮ از ﺿﻠﻊ ﺑﺰرگﺗﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬در ﻧﺘﯿﭽﻪ ‪.a٢ ⩾ a٣ ⩾ a١ − a٢ + ١‬‬
‫=‪١‬‬
‫‪a١‬‬
‫∑‬
‫‪a٢‬‬
‫∑‬
‫‪a١ =١ a =⌈ a١ +١ ⌉ a٣ =a١ −a٢ +١‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪a١‬‬
‫∑‬
‫= ) ‪(٢a٢ − a١‬‬
‫⌉‬
‫))‪⌉ + ١‬‬
‫‪a١ + ١‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫⌈ ‪− a١ (a١ −‬‬
‫‪a١ +١‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫⌈= ‪a١ =١ a‬‬
‫‪٢‬‬
‫)‪(a١ + ⌈ a١٢+١ ⌉)(a١ − ⌈ a١٢+١ ⌉ + ١‬‬
‫‪٢‬‬
‫ﭘﺲ از ﺳﺎده ﺳﺎزی‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ زوج ﯾﺎ ﻓﺮد ﺑﻮدن ‪ ،a١‬ﻋﺒﺎرت داﺧﻞ زﯾ ﻤﺎ ﺑﻪﺻﻮرت‬
‫و ﺑﻪﺻﻮرت‬
‫‪(a١ +١)٢‬‬
‫‪۴‬‬
‫× ‪(٢‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪a١ =١‬‬
‫‪(a١ +١)٢ −١‬‬
‫‪۴‬‬
‫ﺑﺮای ‪a١‬ﻫﺎی زوج‬
‫ﺑﺮای ‪a١‬ﻫﺎی ﻓﺮد درﻣ آﯾﺪ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﻋﺒﺎرت ﻓﻮق ﺑﺮاﺑﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﺑﺎ‪:‬‬
‫)‪(n+١)(n+٢)(٢n+٣‬‬
‫⌋ ‪− ١ ⌊ n٢‬‬
‫‪۶‬‬
‫‪−‬‬
‫‪۴‬‬
‫‪۴‬‬
‫‪٣‬‬
‫▶‬