‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩٢-٩١‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺣﻤﯿﺪ ﺿﺮاﺑ زاده‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﻫﻔﺘﻢ‬
‫ﮔﺮافﻫﺎ و درﺧﺖﻫﺎ‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ٢٩ :‬اردیﺑﻬﺸﺖ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .١‬زﯾﺮﮔﺮاف دوﺑﺨﺸ‬
‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺳﺘﻘﺮا ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ در ﻫﺮ ﮔﺮاف ﺳﺎده‪ ،‬زﯾﺮﮔﺮاف دوﺑﺨﺸ ای وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﺑﯿﺶ از ﻧﯿﻤ از‬
‫ﯾﺎلﻫﺎی ﮔﺮاف اﺻﻠ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬رأس دلﺧﻮاه ‪ v‬را از ﮔﺮاف ﺑﺮدارﯾﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﻓﺮض ﺑﺮﻗﺮار ﺑﻮدن ﺣ ﻢ ﺑﺮای ‪ n − ١‬رأس‪ v ،‬را ﺑﻪ ﯾ از دو ﺑﺨﺶ‬
‫ﻃﻮری اﺿﺎﻓﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد ﯾﺎلﻫﺎی ﺑﯿﻦ ‪ v‬و رﺋﻮس در ﺑﺨﺶ اﺿﺎﻓﻪﺷﺪه ﮐﻢﺗﺮ از ﺗﻌﺪاد ﯾﺎلﻫﺎﯾ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﯿﻦ ‪v‬‬
‫▶‬
‫و ﺑﺨﺶ دﯾ ﺮ وﺟﻮد دارﻧﺪ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٢‬درﺧﺖ‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﮔﺮ ‪ T‬درﺧﺘ ﺑﺎ ‪ k‬ﯾﺎل و ‪ G‬ﮔﺮاف ﺳﺎدهای ﺑﺎ ﺷﺮط ‪ δ(G) ⩾ k‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آنﮔﺎه ‪ G‬دارای زﯾﺮﮔﺮاﻓ ﯾ رﯾﺨﺖ‬
‫ﺑﺎ ‪ T‬اﺳﺖ‪] .‬راﻫﻨﻤﺎﯾ ‪ :‬از اﺳﺘﻘﺮا و ﺣﺬف ﯾ ﺑﺮگ اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪[.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬از درﺧﺖ ‪ T‬ﯾ از ﺑﺮگﻫﺎ )ﻣﺜﻼ ‪ (v‬را ﺑﺮﻣ دارﯾﻢ‪ .‬درﺧﺖ ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪه ﻃﺒﻖ ﻓﺮض اﺳﺘﻘﺮاء زﯾﺮﮔﺮاف ‪ G‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫درﺟﻪی رأس ﻗﺒﻞ از ‪ v‬در درﺧﺖ )‪ (u‬در درﺧﺖ ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪه ﺣﺪاﮐﺜﺮ ‪ k − ١‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺷﺮط ﻣﻮﺟﻮد‬
‫▶‬
‫ﺑﺮای درﺟﻪی رﺋﻮس ‪ ،G‬اﯾﻦ رأس ﺣﺘﻤﺎً ﺣﺪاﻗﻞ ﻣﺠﺎور ﯾ رأس دﯾ ﺮ در ﮔﺮاف اﺻﻠ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٣‬ﯾﺎل ﺑﺮﺷ‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﯾﺎل ‪ e‬در ﮔﺮاف ‪ G‬ﺑﺮﺷ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪ e‬ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ﻫﻤﻪی درﺧﺖﻫﺎی ﻓﺮاﮔﯿﺮ ﮔﺮاف ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ (⇐ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﻢ ‪ e‬ﻋﻀﻮ ﯾ درﺧﺖ ﻓﺮاﮔﯿﺮ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﻌﺪ از ﺣﺬف آن ﮔﺮاف ﻫﻢﭼﻨﺎن ﻫﻤﺒﻨﺪ ﻣ ﻣﺎﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺑﺎ ﺑﺮﺷ ﺑﻮدن آن ﻣﺘﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪.‬‬
‫⇒( ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﻢ اﮔﺮ ‪ e‬ﺑﺮﺷ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬درﺧﺖ ﻓﺮاﮔﯿﺮی وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ‪ e‬ﻋﻀﻮ آن ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬از آنﺟﺎﯾ ﮐﻪ ‪e‬‬
‫▶‬
‫ﺑﺮﺷ ﻧﯿﺴﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﺎ ﺣﺬف آن ﻫﻤﭽﻨﺎن ﻫﻤﺒﻨﺪ ﻣ ﻣﺎﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ درﺧﺖ ﻓﺮاﮔﯿﺮی ﺑﺎ اﯾﻦ ﺧﺼﻮﺻﯿﺖ دارﯾﻢ‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۴‬دور ﻓﺮد‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻫﺮ ﮔﺸﺖ ﺑﺴﺘﻪی ﻓﺮد‪ ،‬دوری ﺑﻪ ﻃﻮل ﻓﺮد دارد‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬اﮔﺮ اﯾﻦ ﮔﺸﺖ ﮔﺮهی ﺗ ﺮاری ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ ﺧﻮد دوری ﺑﻪ ﻃﻮل ﻓﺮد اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ اﮔﺮ ﭼﻨﯿﻦ رأﺳ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬
‫ﯾ از رأسﻫﺎی ﺗ ﺮاری را اﻧﺘﺨﺎب ﮐﺮده و دو ﻗﺴﻤﺖ ﮔﺸﺖ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ اﯾﻦ رأس ﺟﺪا ﻣ ﺷﻮﻧﺪ را در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪.‬‬
‫از آﻧﺠﺎﯾ ﮐﻪ ﮔﺸﺖ ﺑﻪ ﻃﻮل ﻓﺮد اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ دو ﻗﺴﻤﺖ اﯾﺠﺎد ﺷﺪه ﯾ ﺑﻪ ﻃﻮل ﻓﺮد و دﯾ ﺮی ﺑﻪ ﻃﻮل زوج اﺳﺖ‪.‬‬
‫دوﺑﺎره اﯾﻦ ﺣﺮﮐﺖ را ﺑﺮای ﻗﺴﻤﺖ ﻓﺮد ﺗﺸ ﯿﻞ ﺷﺪه در ﻣﺮﺣﻠﻪی ﻗﺒﻞ ﺗ ﺮار ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺳﺘﻘﺮاﯾ ﺣ ﻢ ﺛﺎﺑﺖ‬
‫▶‬
‫ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۵‬ﮔﺮاف ﺧﻮدﻣ ﻤﻞ‬
‫‪١‬‬
‫ﮔﺮاف »ﺧﻮدﻣ ﻤﻞ« ﮔﺮاﻓ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻣ ﻤﻞ ﺧﻮد ﯾ رﯾﺨﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﯾ‬
‫اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪ n‬ﯾﺎ ‪ n − ١‬ﺑﺮ ‪ ۴‬ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫]راﻫﻨﻤﺎﯾ ‪ :‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﺪلﺳﺎزی ﯾ ﮔﺮاف ‪ ۴‬و ‪ ۵‬رأﺳ ﮔﺮاف ﺧﻮد را ﺑﺴﺎزﯾﺪ‪[.‬‬
‫ﮔﺮاف ‪ n‬رأﺳ ﺧﻮدﻣ ﻤﻞ‬
‫ﺣﻞ‪ .‬اوﻻ در ﮔﺮاف ﺧﻮدﻣ ﻤﻞ ﻧﯿﻤ از ﮐﻞ ﯾﺎلﻫﺎ در ﺧﻮد ﮔﺮاف و ﻧﯿﻢ دﯾ ﺮ در ﻣ ﻤﻞ آن اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ‪n(n − ١)/٢‬‬
‫ﺑﺎﯾﺪ زوج ﺑﺎﺷﺪ ﭘﺲ ‪ n‬ﯾﺎ ‪ n − ١‬ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺮ ﭼﻬﺎر ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﺳﺎﺧﺘﻦ ﯾ ﮔﺮاف ﺧﻮدﻣ ﻤﻞ ‪ ۴n‬رأﺳ ‪ ،‬اﺑﺘﺪا‬
‫رأسﻫﺎی ﮔﺮاف را ﺑﻪ ‪ ۴‬ﮔﺮوه ﺗﻘﺴﯿﻢ ﮐﺮده و اﯾﻦ ‪ ۴‬ﮔﺮوه را ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﺘﺼﻞ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪:‬‬
‫در ﺷ ﻞ ﻓﻮق‪ Kn ،‬ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪهی ﮔﺮاف ﮐﺎﻣﻞ ‪ n‬رأﺳ و ‪ En‬ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪهی ﮔﺮاف ﺑﺪون ﯾﺎل ‪ n‬رأﺳ اﺳﺖ‪ .‬ﻣ ﻤﻞ‬
‫ﮔﺮاف ﺣﺎﺻﻞ ﺑﺎ ﮔﺮاف اوﻟﯿﻪ ﯾ رﯾﺨﺖ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ اﺿﺎﻓﻪ ﮐﺮدن ﯾ رأس دﯾ ﺮ ﮔﺮاف را ﻫﻤﭽﻨﺎن ﺧﻮدﻣ ﻤﻞ ﻧ ﻪ داﺷﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﺪل زﯾﺮ را ﻣ ﺗﻮان ﻣﺸﺎﺑﻪ‬
‫ﺷ ﻞ ﻗﺒﻞ روی ﮔﺮافﻫﺎی ‪ ۴n + ١‬رأﺳ ﻧﯿﺰ ﺗ ﺮار ﮐﺮد‪.‬‬
‫▶‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۶‬ﻣﺮزﺑﻨﺪی‬
‫ﻃﺒﻖ ﻣﺬاﮐﺮات اﻧﺠﺎمﺷﺪه ﺑﯿﻦ ‪ n‬ﮐﺸﻮر‪ ،‬ﻗﺮار ﺑﺮ اﯾﻦ ﺷﺪه ﮐﻪ ﻣﺤﺎﻓﻈﺖ از ﻣﺮزﻫﺎی ﺑﯿﻦ ﮐﺸﻮرﻫﺎ ﺑﺮای ﻣﻘﺎﺑﻠﻪ ﺑﺎ‬
‫ﻗﺎﭼﺎﻗﭽﯿﺎن ﺑﻪ ﯾ از دو ﮐﺸﻮر ﺻﺎﺣﺐ آن ﻣﺮز ﺳﭙﺮده ﺷﻮد‪ .‬از ﻃﺮﻓ ﻫﺮ ﮐﺸﻮر ﺗﻮاﻧﺎﯾ ﻣﺎﻟ و ﻧﻈﺎﻣ ﮐﺎﻓ ﺑﺮای‬
‫ﻣﺤﺎﻓﻈﺖ از ﺑﯿﺶﺗﺮ از ﻧﯿﻤ از ﻣﺮزﻫﺎی ﮐﺸﻮرش را ﻧﺪارد و ﺑﺎ اﯾﻦ وﺟﻮد ﻧ ﺮان اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻣﺤﺎﻓﻈﺖ از ﮐﻢﺗﺮ‬
‫از ﻧﯿﻤ از ﻣﺮزﻫﺎﯾﺶ‪ ،‬ﺗﺴﻠﻂ ﺧﻮد را ﺑﺮ ﻣﺮزﻫﺎﯾﺶ از دﺳﺖ ﺑﺪﻫﺪ‪ .‬راه ﺣﻠ ﺑﺮای ﻣﺮزﺑﻨﺪی ﮐﺮدن اﯾﻦ ﮐﺸﻮرﻫﺎ اراﯾﻪ‬
‫دﻫﯿﺪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﻫﻤﻪی ﮐﺸﻮرﻫﺎ از ﻣﺮزﺑﻨﺪی دادهﺷﺪه راﺿ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾ ﺮ‪ ،‬در اﯾﻦ ﻣﺮزﺑﻨﺪی ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ‬
‫ﻗﺪرﻣﻄﻠﻖ اﺧﺘﻼف ﻣﺮزﻫﺎی ﻣﺤﺎﻓﻈﺖ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ﯾ ﮐﺸﻮر ﺑﺎ ﻣﺮزﻫﺎی ﻣﺤﺎﻓﻈﺖﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ﻫﻤﺴﺎﯾﻪﻫﺎﯾﺶ ﮐﻢﺗﺮ از‬
‫ﯾ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﮔﺮاف اوﻟﯿﻪی ﺣﺎﺻﻞ از ﮐﺸﻮرﻫﺎ ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﮐﺸﻮرﻫﺎ را ﻣﻌﺎدل رأسﻫﺎ و ﯾﺎل ﺑﯿﻦ دو ﮐﺸﻮر ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪهی ﻣﺮز ﺑﯿﻦ آن دو ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﯾﺎلﻫﺎﯾ ﮐﻪ‬
‫ﻧﺸﺎندﻫﻨﺪهی ﻣﺮزﻫﺎی ﻣﺤﺎﻓﻈﺖ ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ﯾ ﮐﺸﻮر ﻫﺴﺘﻨﺪ را ﺑﺎ ﯾ رﻧ و ﺳﺎﯾﺮ ﯾﺎلﻫﺎی آن رأس را ﺑﺎ رﻧ‬
‫دﯾ ﺮ رﻧ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﮔﺮ ﮔﺮاف رأس درﺟﻪ ﻓﺮدی داﺷﺖ‪ ،‬ﯾ رأس ﺑﻪ ﮔﺮاف اﺿﺎﻓﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و آن را ﺑﻪ ﺗﻤﺎم رﺋﻮس‬
‫درﺟﻪ ﻓﺮد ﻣﺘﺼﻞ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﮔﺮ ﻫﻢ رأس درﺟﻪ ﻓﺮد ﻧﺪاﺷﺖ ﮐﻪ ﮔﺮاف ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺎﻗ ﻣ ﻣﺎﻧﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ در اﯾﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﮔﺮاف‬
‫ﺣﺎﺻﻞ‪ ،‬دارای ﺗﻮر اوﯾﻠﺮی اﺳﺖ‪ .‬ﯾﺎلﻫﺎی ﺗﻮر اوﯾﻠﺮی را ﯾ در ﻣﯿﺎن ﺳﻔﯿﺪ و ﺳﯿﺎه ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺳﭙﺲ اﮔﺮ رأﺳ اﺿﺎﻓﻪ‬
‫▶‬
‫ﮐﺮده ﺑﻮدﯾﻢ‪ ،‬آن رأس را ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﻤﺎم ﯾﺎلﻫﺎﯾﺶ ﺣﺬف ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﮔﺮاف ﺣﺎﺻﻞ‪ ،‬ﺧﺎﺻﯿﺖ ﻣﻮردﻧﻈﺮ را دارد‪.‬‬
‫‪٢‬‬