‫‪There are 10 types of people in the world: Those who‬‬
‫‪understand binary, and those who don’t.‬‬
‫داﻧﺸﮕﺎه ﺻﻨﻌﺘﻲ ﺷﺮﻳﻒ‬
‫داﻧﺸﻜﺪه ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﻧﺎﻣﻪ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺳﺮي اول‬
‫ﺳﺎﺧﺘﻤﺎن ﻫﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال اول‪:‬‬
‫اﻟﻒ( اﻳﻦ ﻋﺒﺎرت اﮔﺮ ﺑﺮاي ﻫﻤﻪي ‪ n‬ﻫﺎ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬درﺳﺖ ﻣﻲﺷﻮد و اﮔﺮ ﻣﺜﺎل ﻧﻘﻀﻲ وﺟﻮد‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻏﻠﻂ ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﮔﻔﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﮔﺎﻫﻲ درﺳﺖ اﺳﺖ و ﮔﺎﻫﻲ ﻏﻠﻂ‪.‬‬
‫ب( ﺗﻨﻬﺎ ﭼﻴﺰي ﻛﻪ ﻣﻲﺗﻮان ﮔﻔﺖ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺣﻜﻢ ﺑﺮاي ﻣﻀﺎرب ‪ 4‬ﻋﺪد ‪ n‬درﺳﺖ اﺳﺖ‬
‫وﮔﺮﻧﻪ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﻧﻈﺮي داد‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺎز ﻫﻢ ﭘﺎﺳﺦ ﮔﺎﻫﻲ درﺳﺖ اﺳﺖ و ﮔﺎﻫﻲ ﻏﻠﻂ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ج( اﮔﺮ ‪ n = 1‬درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻃﺒﻖ اﺳﺘﻘﺮا ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻲﺷﻮد ﺣﻜﻢ ﺑﺮاي ﻫﺮ ‪ 4n + 1‬درﺳﺖ اﺳﺖ‪،‬‬
‫ﭘﺲ ﻋﺒﺎرت داده ﺷﺪه ﻏﻠﻂ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫د( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪ n‬ﻛﻪ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺮاي ‪ n + 4‬و ‪ n + 8‬و ‪ . . .‬ﻫﻢ‬
‫درﺳﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﺎ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﮔﺰارهي درﺳﺖ ﻫﺮ ﭼﻘﺪر ﺑﺰرگ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﻪ ازاي‬
‫ﻫﺮ ‪ n‬وﺟﻮد دارد ﻋﺪدي ﻛﻪ از آن ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﺑﻮده و درﺳﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻋﺒﺎرت داده ﺷﺪه درﺳﺖ‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫ه( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪ n‬ﻛﻪ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻨﻬﺎ ﭼﻴﺰي ﻛﻪ ﻣﻲﺗﻮان ﮔﻔﺖ اﻳﻦ اﺳﺖ‬
‫ﻛﻪ ﺑﺮاي ‪ n + 4‬و ‪ n + 8‬و ‪ . . .‬ﻫﻢ درﺳﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﮔﻔﺖ ﻛﻪ ﻟﺰوﻣﺎ ﻋﺪدي وﺟﻮد‬
‫دارد ﻛﻪ از آﻧﺠﺎ ﺑﻪ ﺑﻌﺪ ﻫﻤﻪ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﮔﺰاره داده ﺷﺪه ﮔﺎﻫﻲ درﺳﺖ و ﮔﺎﻫﻲ‬
‫ﻧﺎدرﺳﺖ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال دوم‪:‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫‪G(c) for an arbitrary c‬‬
‫‪( ) F(c) for an arbitrary c‬‬
‫)‪∀x G(x‬‬
‫) (‬
‫)‪∀ F(x‬‬
‫∀‬
‫ب( از ﻋﻜﺲ ﻧﻘﻴﺾ ﮔﺰاره اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪~G(c) for an arbitrary c‬‬
‫‪~ ( ) ~F(c) for an arbitrary c‬‬
‫)‪∀x ~G(x‬‬
‫) ( ~‬
‫)‪∀ ~F(x‬‬
‫∀‬
‫ج(‬
‫) (‬
‫∃‬
‫) (‬
‫∃‬
‫‪G(c) for some element c‬‬
‫)‪F(c‬‬
‫) (‬
‫) (‬
‫∃‬
‫د(‬
‫) (‬
‫) (‬
‫∀‬
‫∃‬
‫‪F(c) for an arbitrary c‬‬
‫) (‬
‫∀‬
‫‪F(c) for some element c‬‬
‫) (‬
‫∃‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﺳﻮم‪:‬‬
‫‪+a‬‬
‫= )‪f(a, b‬‬
‫ادﻋﺎ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺪه ﺑﻪ ﻫﻴﭻ دو زوﺟﻲ ﻳﻚ ﻋﺪد را ﻧﺴﺒﺖ ﻧﻤﻲدﻫﺪ‪ .‬ﺑﺮﻫﺎن ﺧﻠﻒ‬
‫ﻣﻲزﻧﻴﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ )‪ f(a1, b1) = f(a2, b2‬ﺣﺎل اﮔﺮ ‪ a1 + b1 = a2 + b2‬ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ‬
‫ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ )ﭼﺮا؟( و اﮔﺮ ‪ a1 + b1 ≠ a2 + b2‬ﺑﺎﺷﺪ ﺳﻌﻲ ﻛﻨﻴﺪ ﺑﺎ ﻛﻤﻲ ﺟﺒﺮي ﻛﺎري‬
‫ﺧﻮدﺗﺎن ﺑﻪ ﺗﻨﺎﻗﺾ ﺑﺮﺳﻴﺪ‪) .‬ﺣﺘﻤﺎ ﺳﻌﻲ ﻛﻨﻴﺪ اﺛﺒﺎت ﻛﻨﻴﺪ(‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﭼﻬﺎرم‪:‬‬
‫اﻟﻒ( اﻳﻦ ﻋﺒﺎرت درﺳﺖ ﻧﻤﻲﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل اﮔﺮ }‪ B = {2, 3} ،A = {1, 2, 3, 4‬و‬
‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ }‪ C = {3, 4, 7‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧﮕﺎه }‪ A ∆ (B C) = {1, 7‬ﺷﺪه اﻣﺎ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﻣﺎ‪،‬‬
‫ﻳﻌﻨﻲ }‪(A ∆ C) = {1, 2, 4, 7‬‬
‫)‪ (A ∆ B‬ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( اﺑﺘﺪا ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ اﮔﺮ )‪A ∆ (B∆C‬‬
‫‪ x‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧﮕﺎه ‪(A ∆ B)∆C‬‬
‫‪ x‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ‬
‫‪ x‬ﻳﺎ ﻋﻀﻮ ‪ A‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻳﺎ ﻋﻀﻮ )‪ (B∆C‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ )و در ﻫﺮ دو آنﻫﺎ ﻧﻴﺴﺖ‪ (.‬ﭘﺲ در ﻣﺠﻤﻮع ‪4‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ دارﻳﻢ‪ .‬ﻳﻚ ﺣﺎﻟﺖ اﻳﻨﻜﻪ ‪ x‬ﻋﻀﻮ ‪ A‬ﺑﺎﺷﺪ و ﻋﻀﻮ ﻫﻴﭽﻴﻚ از ‪ B‬و ‪ C‬ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﻳﻦ‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﻃﺒﻌﺎ ‪(A ∆ B)∆C‬‬
‫‪ x‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎﻟﺖ دوم اﻳﻨﻜﻪ ‪ x‬ﻋﻀﻮ ﻫﺮ ﺳﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬
‫در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎز ﻫﻢ ‪(A ∆ B)∆C‬‬
‫اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎز ﻫﻢ ‪(A ∆ B)∆C‬‬
‫‪ x‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺣﺎﻟﺖ ﺳﻮم اﻳﻨﻜﻪ ‪ x‬ﺗﻨﻬﺎ ﻋﻀﻮ ‪ B‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در‬
‫‪ x‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎﻟﺖ ﭼﻬﺎرم ﻫﻢ اﻳﻨﻜﻪ ‪ x‬ﺗﻨﻬﺎ ﻋﻀﻮ ‪C‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻫﻢ ‪(A ∆ B)∆C‬‬
‫‪ x‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻲﺗﻮان ﺛﺎﺑﺖ ﻛﺮد‪ ،‬اﮔﺮ ‪(A ∆ B)∆C‬‬
‫‪ x‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧﮕﺎه )‪A ∆ (B∆C‬‬
‫ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪) .‬ﺑﻪ ﺷﻴﻮهي ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺮ ﻋﻬﺪهي داﻧﺸﺠﻮ(‬
‫ج(‬
‫= ’‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫’‪B‬‬
‫‪C’ = A‬‬
‫’‪B‬‬
‫‪C)’ = A‬‬
‫‪(B‬‬
‫‪A – (B C) = A‬‬
‫)‪(A-B) (A-C‬‬
‫د(‬
‫)’‪C‬‬
‫‪(A‬‬
‫)’‪B‬‬
‫‪C’) = (A‬‬
‫’‪(B‬‬
‫‪C)’ = A‬‬
‫‪(B‬‬
‫‪A – (B C) = A‬‬
‫)‪= (A-B) (A-C‬‬
‫‪x‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﭘﻨﺠﻢ‪:‬‬
‫ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي اﻳﻦ ﺗﻮاﺑﻊ ﺷﻤﺎرا ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ آنﻫﺎ را ﺑﻪ ﺻﻮرت … ‪f1, f2,‬‬
‫ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ‪ .‬ﺣﺎل ﺗﺎﺑﻌﻲ را ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻗﻄﻌﺎ در ﻫﻴﭻ ﻳﻚ از ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﺎﻻ ﻧﻴﺎﻣﺪه‪ .‬ﻓﺮض‬
‫ﻛﻨﻴﺪ ﻣﻘﺪار )‪ g(n‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 2‬ﺑﺎﺷﺪ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪ fn(n) ≠ 2‬و ﻣﻘﺪار )‪ g(n‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 3‬ﺑﺎﺷﺪ اﮔﺮ و‬
‫ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪ fn(n) = 2‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻛﺎﻓﻲ اﺳﺖ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺗﺎﺑﻊ )‪ g(n‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺗﺎﺑﻊ ‪ fi‬ﺑﺎﺷﺪ اﻣﺎ ﭼﻮن‬
‫ﻣﻘﺪار )‪ g(i‬ﺑﺎ )‪ fi(i‬ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ ﭘﺲ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﺷﺸﻢ‪:‬‬
‫در ﻫﺮ رﺷﺘﻪ‪ ،‬رﺷﺘﻪي ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ را ﺑﻪ ﺟﺎي ‪ a‬ﻫﺎﻳﺶ ‪ 1‬و ﺑﻪ ﺟﺎي ‪ b‬ﻫﺎﻳﺶ ‪ 2‬ﻣﻲﮔﺬارﻳﻢ‪ ،‬ﺗﺎ‬
‫ﻋﺪدي در ﻣﺒﻨﺎي ‪ 3‬اﻳﺠﺎد ﺷﻮد‪ .‬ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ اﻳﻦ ﻋﺪد از ﻣﺒﻨﺎي ‪ 3‬ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎي ‪ 10‬رﺷﺘﻪ ﺑﻪ ﻳﻚ‬
‫ﻋﺪد در ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﻋﺪاد ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬ﻛﻪ ﺑﺪﻳﻬﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ اﻋﺪاد ﻣﺘﻔﺎوﺗﻨﺪ زﻳﺮا‬
‫اﮔﺮ ﻳﻜﺴﺎن ﺑﻮدﻧﺪ رﺷﺘﻪﻫﺎي ﺳﺎزﻧﺪه آﻧﻬﺎ ﻧﻴﺰ ﻳﻜﺴﺎن ﻣﻲﺷﺪ‪.‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﻫﻔﺘﻢ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( ﻓﺮﻫﺎد و ﻣﻬﺮان دروﻏﮕﻮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺳﻌﻴﺪ راﺳﺘﮕﻮﺳﺖ )ﭼﺮا؟(‬
‫ب( ﻧﺴﻴﻢ و ﻛﻴﻤﻴﺎ راﺳﺘﮕﻮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻣﺮﻳﻢ و ﻫﺪي دروﻏﮕﻮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪) .‬ﭼﺮا؟(‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﻫﺸﺘﻢ‪:‬‬
‫ﭘﺲ از ﺑﺮرﺳﻲ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ و ﺣﺎﻟﺖﺑﻨﺪي و ﺷﻤﺎرش ﺣﺎﻻت ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﺪ ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﻌﺪاد ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﻧﻬﻢ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( )‪ P(amir, ali‬ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل اﮔﺮ )‪ L(amir‬و )‪ N(amir‬و‬
‫)‪ P(amir, ali‬ﻫﻤﻪ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻏﻠﻂ ﺑﺎﺷﻨﺪ و )‪ M(amir‬درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺪون اﻳﺠﺎد ﻫﺮﮔﻮﻧﻪ‬
‫ﺗﻨﺎﻗﻀﻲ در ﮔﺰارهﻫﺎ و درﺳﺘﻲ ﻫﻤﻪي آنﻫﺎ‪ p(amir, ali) ،‬ﻏﻠﻂ ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫ب( از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ )‪ Q(ali‬ﻏﻠﻂ اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﺎﻟﻄﺒﻊ اﻳﻦ ﮔﺰاره ﻏﻠﻂ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ج( ﻋﺒﺎرت داده ﺷﺪه ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬زﻳﺮا اﮔﺮ )‪ N(ali) ، M(ali) ، K(ali‬و‬
‫)‪ M(amir‬درﺳﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ و )‪ L(amir‬و )‪ N(amir‬ﻏﻠﻂ‪ ،‬آﻧﮕﺎه ﺑﺪون اﻳﺠﺎد ﻫﺮﮔﻮﻧﻪ ﺗﻨﺎﻗﻀﻲ‬
‫در ﮔﺰارهﻫﺎ‪ ،‬ﻋﺒﺎرت داده ﺷﺪه ﻏﻠﻂ ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫د(‬
‫)‪1- K(X) M(X‬‬
‫)‪2- K(X) → Q(X‬‬
‫)‪3- L(X) Q(X) → N(X‬‬
‫))‪4- (N(X) M(Y) P(X, Y‬‬
‫)‪5- Q(ali‬‬
‫)‪6- K(amir‬‬
‫)‪7- L(ali‬‬
‫)‪8- 1, 6 : M(amir‬‬
‫)‪9- 3, 5, 7: N(ali‬‬
‫)‪10- 8, 9, 4: P(ali, amir‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال دﻫﻢ‪:‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫‪~ )Æ‬‬
‫~( ‪c) (~b c) Æ c‬‬
‫~( ‪(a → c) (b → c) Æ‬‬
‫)‪((a b) → c‬‬
‫ب( ﻣﺜﺎل ﻧﻘﺾ ‪ :‬درﺳﺖ ﺑﻮدن ‪ a‬و ﻏﻠﻂ ﺑﻮدن ‪ b‬و ‪c‬‬
‫ج(‬
‫↔ )‪(~p ↔ ~q) ↔ (~p → ~q) (~q → ~p‬‬
‫)‪(p ~q) (q ~p) ↔ (q → p) (p → q) ↔ (p ↔ q‬‬
‫د( ﻣﺜﺎل ﻧﻘﺾ ‪ :‬درﺳﺖ ﺑﻮدن ‪ p‬و ‪q‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﻳﺎزدﻫﻢ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( ﭘﺲ از ﺳﺎده ﺳﺎزي ﮔﺰاره داده ﺷﺪه ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲرﺳﻴﻢ ﻛﻪ ﮔﺰاره ﺑﺎ ‪ p q‬ﻫﻢ‬
‫ارزش اﺳﺖ و ﻣﻲﺗﻮان آن را ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ (p ↑ (q ↑ T0)) ↑ T0‬ﻧﻤﺎﻳﺶ داد‪.‬‬
‫ب( ﺑﺮﻫﺎن ﺧﻠﻒ ﻣﻲزﻧﻴﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﺘﻮان اﻳﻦ ﻛﺎر را اﻧﺠﺎم داد‪ .‬ﻛﻮﭼﻜﺘﺮﻳﻦ رﺷﺘﻪاي‬
‫ﻛﻪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻛﺎراﻛﺘﺮﻫﺎ ﮔﺰارهاي درﺳﺖ ﻣﻲﺳﺎزد را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و آن را ‪ c‬ﺑﻨﺎﻣﻴﺪ‪ .‬در اﻳﻦ‬
‫ﮔﺰاره‪ ،‬دو ﮔﺰارهي ‪ a‬و ‪ b‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﺑﻪ ﻃﻮري ﻛﻪ ‪ a ↑ b‬ﺗﺸﻜﻴﻞ ‪ c‬را ﻣﻲدﻫﺪ‪ .‬اﮔﺮ ‪a‬‬
‫و ‪ b‬ﻫﺮ دو ﻏﻠﻂ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ c ،‬ﻧﻴﺰ ﻏﻠﻂ ﻣﻲﺷﻮد و اﮔﺮ ﻳﻜﻲ از آنﻫﺎ درﺳﺖ ﺑﻮد ﻣﺎ رﺷﺘﻪي‬
‫ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ از ‪ c‬ﻛﻪ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال دوازدﻫﻢ‪:‬‬
‫])‪∀y ∃x ∃z [P(x) ᴧ Q(x, y) ᴧ ~R(x, y, z)] ᴧ ∃y ∀x ∃z [~Q(x, y) ᴧ ~S(x, y, z‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﺳﻴﺰدﻫﻢ‪:‬‬
‫ﺑﺮﻫﺎن ﺧﻠﻒ ﻣﻲزﻧﻴﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﮔﺰاره داده ﺷﺪه درﺳﺖ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﮔﺰاره زﻳﺮ درﺳﺖ اﺳﺖ‪:‬‬
‫]))‪0‬‬
‫‪0) ᴧ (y‬‬
‫‪0) ᴧ ((x‬‬
‫‪√2 y‬‬
‫‪∃x ∃y [(3x‬‬
‫ﺣﺎل اﮔﺮ ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻜﻲ از ‪ x‬ﻳﺎ ‪ y‬ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬دﻳﮕﺮي ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻳﺪ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬
‫ﻫﻴﭽﻴﻚ ﺻﻔﺮ ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ دارﻳﻢ‪y :‬‬
‫√‬
‫= ‪ ،x‬ﻛﻪ از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻋﺒﺎرت ﺳﻤﺖ راﺳﺖ‬
‫ﻏﻴﺮﺻﺤﻴﺢ و ﻋﺒﺎرت ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﭼﻬﺎردﻫﻢ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( ﺧﻴﺮ‪ ،‬ﻣﻌﺎدل ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻣﺜﻼ اﮔﺮ )‪+ y = 0‬‬
‫√( = )‪ P(x, y‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﮔﺰارهي‬
‫)‪ ∀x ∃y P(x, y‬درﺳﺖ اﺳﺖ و ﮔﺰارهي دﻳﮕﺮ ﻧﺎدرﺳﺖ اﺳﺖ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻘﺎرن‬
‫ﮔﺰارهﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻤﻲﺗﻮان ﻳﻜﻲ را از دﻳﮕﺮي ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺖ‪.‬‬
‫ب( ﺧﻴﺮ‪ ،‬ﻣﻌﺎدل ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﻣﺜﻼ در ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي اﻋﺪاد ﻃﺒﻴﻌﻲ اﮔﺮ )‪ P(x‬ﻧﺸﺎﻧﻪي ﻓﺮد ﺑﻮدن ‪ x‬و‬
‫)‪ Q(x‬ﻧﺸﺎﻧﻪي زوج ﺑﻮدن ‪ x‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﮔﺰارهي ))‪ ∀x (P(x) ᴧ Q(x‬درﺳﺖ و دﻳﮕﺮي‬
‫ﻧﺎدرﺳﺖ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ج( ﺑﻠﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻨﺪ‪ ،‬زﻳﺮا اﮔﺮ ‪ x0‬وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﻪ ﻃﻮري ﻛﻪ )‪ Q(x0‬درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آﻧﮕﺎه ﻫﺮ‬
‫دو ﮔﺰاره ﺻﺤﻴﺤﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ اﮔﺮ ﻳﻚ ﭼﻨﻴﻦ ‪ x0‬وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻫﺮ ﻛﺪام از دو ﮔﺰاره‬
‫ﺗﻨﻬﺎ در ﺻﻮرﺗﻲ درﺳﺘﻨﺪ ﻛﻪ )‪ ∀x P(x‬درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﭘﺎﻧﺰدﻫﻢ‪:‬‬
‫= )‪(A2 × B2‬‬
‫)‪B2‬‬
‫‪A2)’ × (B1‬‬
‫)‪A2) × (B1 – B2‬‬
‫‪(A1‬‬
‫)‪(A1 × B1) – (A2 × B2) = A1 × B1 – (A1 × B1‬‬
‫= )‪A1 × B1 – (A1 A2) × (B1 B2‬‬
‫= ’))‪(A1 × B1) ((A1 A2) × (B1 B2‬‬
‫‪(A1 × B1) ((A1 A2)’ × (B1 B2)’ (A1‬‬
‫= )’)‪(A1 A2) × (B1 B2‬‬
‫)’)‪((A1 × B1) ((A1 A2)’ × (B1 B2‬‬
‫))‪((A1 × B1) ((A1 A2)’ × (B1 B2‬‬
‫= )’)‪((A1 × B1) ((A1 A2) × (B1 B2‬‬
‫)’)‪(A1 (A1 A2)’) × (B1 (B1 B2‬‬
‫))‪(A1 (A1 A2)’) × (B1 (B1 B2‬‬
‫)‪B2‬‬
‫= )’)‪(A1 (A1 A2)) × (B1 (B1 B2‬‬
‫‪(A1 – A2) × (B1 – B2) (A1 – A2) × (B1‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﺷﺎﻧﺰدﻫﻢ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( اﺑﺘﺪا ﺗﻤﺎم ﻋﻀﻮﻫﺎي ‪ A‬را ﭼﻮن ﺷﻤﺎرا ﻫﺴﺘﻨﺪ از ‪ 1‬ﺑﻪ ﺑﻌﺪ ﺷﻤﺎرهﮔﺬاري ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﺳﭙﺲ ﻫﺮ ﻳﻚ از اﻳﻦ ﻋﻀﻮﻫﺎ را ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ و آنﻫﺎ را ﻧﻴﺰ ﭼﻮن ﺷﻤﺎرا‬
‫ﻫﺴﺘﻨﺪ از ‪ 1‬ﺑﻪ ﺑﻌﺪ ﺷﻤﺎرهﮔﺬاري ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺣﺎل ﺣﺪاﻛﺜﺮ ‪ N2‬ﻋﻀﻮ در‬
‫ﻣﻮﺟﻮد‬
‫اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ N‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ!‬
‫| ﻫﻤﻴﺸﻪ ﺑﺮاي‬
‫ب( اﮔﺮ ‪ A‬ﺷﻤﺎرا ﻧﺒﺎﺷﺪ ﭘﺲ |‪ |A| > |N‬ﻣﻲﺷﻮد و |‪| ≥ |A‬‬
‫ﻫﺮ ‪ A‬ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ |‪| > |N‬‬
‫| ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﻫﻔﺪﻫﻢ‪:‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫)’‪A‬‬
‫‪B) = B‬‬
‫‪(A‬‬
‫‪(A‬‬
‫)‪B‬‬
‫‪(A‬‬
‫)‪B‬‬
‫‪(A‬‬
‫)‪D‬‬
‫’‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪(A‬‬
‫)‪(A B‬‬
‫‪=B‬‬
‫ب(‬
‫’)‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C’) = (A‬‬
‫)‪B‬‬
‫‪((A‬‬
‫’)‪B‬‬
‫’)‪B’) = (A B‬‬
‫‪B’) (A B C’) = (A‬‬
‫‪(A‬‬
‫‪(A‬‬
‫’‪A‬‬
‫’‪A‬‬
‫ﻃﺒﻖ اﺳﺘﻘﺮا‪:‬‬
‫’)… ‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪… =(A‬‬
‫)’‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪(A‬‬
‫)’‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪(A‬‬
‫)’‪B‬‬
‫‪(A‬‬
‫’‪A‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﻫﺠﺪﻫﻢ‪:‬‬
‫ﺑﺮﻫﺎن ﺧﻠﻒ ﻣﻲزﻧﻴﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﺷﻤﺎرا ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭘﺲ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻫﺮ ﻳﻚ از اﻳﻦ زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎ‬
‫را ﺑﻪ ﻳﻜﻲ از اﻋﺪاد ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻧﺴﺒﺖ دﻫﻴﻢ‪ .‬ﺣﺎل ﻫﺮ ﻳﻚ از اﻳﻦ زﻳﺮﻣﺠﻮﻋﻪﻫﺎ را رﺷﺘﻪاي از ﺻﻔﺮ و‬
‫ﻳﻚ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ ،‬ﻛﻪ ﻋﻨﺼﺮ ‪i‬ام ﻳﻚ زﻳﺮﻣﺠﻮﻋﻪ ﻳﻚ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ ﻋﺪد ‪ i‬در اﻳﻦ‬
‫زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺣﺎﺿﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺣﺎل اﮔﺮ ‪ Si, j‬ﻋﻨﺼﺮ ‪ j‬ام رﺷﺘﻪي ‪ i‬ام ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺷﻮد‪ ،‬ﻣﺎ رﺷﺘﻪي ﺟﺪﻳﺪ‬
‫…‪ S’ = S1, 1S2, 2 S3, 3‬را در ﻧﻈﺮ ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ و ﺗﻤﺎم ﻋﻨﺎﺻﺮ آن را اﮔﺮ ﻳﻚ ﺑﻮد ﺻﻔﺮ و اﮔﺮ ﺻﻔﺮ‬
‫ﺑﻮد ﻳﻚ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﻣﻲﺗﻮان ﮔﻔﺖ رﺷﺘﻪي ﺣﺎﺻﻞ ﺑﺮاﺑﺮ ﻫﻴﭻﻳﻚ از رﺷﺘﻪﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﻪ ‪ N‬ﺗﻨﺎﻇﺮ‬
‫دادﻳﻢ ﻧﻴﺴﺖ )ﭼﺮا؟( ﻛﻪ اﻳﻦ ﻳﻚ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﻧﻮزدﻫﻢ‪:‬‬
‫اﻟﻒ( دﻳﺪن راﺑﻄﻪاي دوﻃﺮﻓﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ اﮔﺮ ﻫﻤﻪ راﺳﺖ ﮔﻔﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﺎﻳﺪ ﺟﻤﻊ ﺗﻌﺪاد اﻳﻦ‬
‫دﻳﺪنﻫﺎ زوج ﺷﻮد‪ ،‬اﻣﺎ ﻓﺮد ﺷﺪه ﻛﻪ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب( ‪ A‬ﻧﻤﻲﺗﻮاﻧﺪ دروﻏﮕﻮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭼﻮن ﺑﻴﺶ از ‪ 6‬ﻧﻔﺮ را ﻧﻤﻲﺗﻮاﻧﺪ دﻳﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪ B .‬ﻧﻴﺰ ﻧﻤﻲﺗﻮاﻧﺪ‬
‫دروﻏﮕﻮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭼﻮن اﮔﺮ ‪ 6‬ﻧﻔﺮ را دﻳﺪه ﺑﺎﺷﺪ ‪ G‬ﻧﻴﺰ دروﻏﮕﻮ ﻣﻲﺷﻮد‪ C .‬ﻧﻴﺰ ﻧﻤﻲﺗﻮاﻧﺪ دروﻏﮕﻮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﭼﻮن اﮔﺮ دروﻏﮕﻮ ﺑﺎﺷﺪ ﻳﺎ ‪ 5‬ﻧﻔﺮ را دﻳﺪه اﺳﺖ ﻳﺎ ‪ 6‬ﻧﻔﺮ‪ 6 .‬ﻧﻔﺮ ﻛﻪ اﻣﻜﺎن ﻧﺪارد ﭼﻮن‬
‫ﺑﺎز ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮع ﻓﺮد ﻣﻲرﺳﻴﻢ‪ 5 .‬ﻧﻔﺮ ﻧﻴﺰ اﻣﻜﺎن ﻧﺪارد زﻳﺮا ‪ F‬ﻳﺎ ‪ E‬ﺳﻪ ﻧﻔﺮ را دﻳﺪهاﻧﺪ و ﻳﻜﻲ‬
‫از آنﻫﺎ ﻧﻴﺰ دروﻏﮕﻮ ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ﺗﻨﺎﻗﺾ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ‪ C‬ﻧﻴﺰ راﺳﺘﮕﻮﺳﺖ‪) .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ‬
‫ﺳﻌﻲ ﻛﻨﻴﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ‪ D‬ﻧﻴﺰ راﺳﺘﮕﻮﺳﺖ( ‪ E‬ﻳﺎ ‪ G‬ﻫﺮ دو ﻣﻲﺗﻮاﻧﻨﺪ دروﻏﮕﻮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪) .‬ﭼﺮا؟ ﺑﻪ‬
‫ﻋﻨﻮان راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ ﺳﻌﻲ ﻛﻨﻴﺪ ﮔﺮاﻓﻲ رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ در آنﻫﺎ ﺗﻨﻬﺎ ‪ E‬و ﻳﺎ ﺗﻨﻬﺎ ‪ G‬دروﻏﮕﻮﺳﺖ(‬
‫ﭘﺎﺳﺦ ﺳﻮال ﺑﻴﺴﺘﻢ‪:‬‬
‫ﺑﺎ ﺑﺮرﺳﻲ ﻓﺮضﻫﺎي ﻣﺴﺌﻠﻪ و ﻗﻀﻴﻪي ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪ رﺳﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﺎ‬
‫ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺜﻠﺚﻫﺎي ﻗﺎﺋﻢاﻟﺰاوﻳﻪي ‪ EBC‬و ‪ EBD‬و ‪ DBX‬و ‪ CBX‬ﺗﺸﻜﻴﻞ داد ﻛﻪ در ﻣﺠﻤﻮع‬
‫ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻟﻮزي ‪ EDXC‬را ﻣﻲدﻫﻨﺪ‪ .‬اﻣﺎ اﺑﺘﺪا ﻧﻤﻲﺗﻮان ﮔﻔﺖ ﻛﻪ دﻣﺎﻏﻪ در ‪ 100‬ﻛﻴﻠﻮﻣﺘﺮي‬
‫ﺷﻤﺎل ‪ E‬ﻗﺮار دارد ﻳﺎ ﺟﻨﻮب آن‪ .‬ﻛﻪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ ﺳﻮال ﮔﻔﺘﻪ ﻓﺎﺻﻠﻪي ‪ F‬از ‪ E‬ﻛﻤﺘﺮ از ‪F‬‬
‫از ‪ X‬اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ دﻣﺎﻏﻪ ‪ 100‬ﻛﻴﻠﻮﻣﺘﺮ ﺷﻤﺎل ‪ E‬ﻗﺮار دارد‪ ،‬ﭘﺲ ‪ X‬دﻗﻴﻘﺎ ‪ 900‬ﻛﻴﻠﻮﻣﺘﺮ ﺟﻨﻮب‬
‫دﻣﺎﻏﻪ ﻗﺮار دارد‪.‬‬