‫ﻣﻮﻋﺪ ﺗﺤﻮﻳﻞ‪ :‬ﻳﻚﺷﻨﺒﻪ ‪ 15‬اردﻳﺒﻬﺸﺖ ‪1392‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺳﺮي ﺳﻮم ﺳﺎﺧﺘﻤﺎنﻫﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫راﺑﻄﻪﻫﺎ‪ ،‬راﺑﻄﻪﻫﺎي ﺗﺮﺗﻴﺐ و ﻣﺸﺒﻜﻪﻫﺎ‬
‫ﺗﻮﺟﻪ‪ :‬داﻧﺸﺠﻮﻳﺎن ﺑﺎ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﻳﻲ ﻓﺮد‪ ،‬ﺑﻪ ﺳﻮاﻻت ﻓﺮد‪ ،‬و داﻧﺸﺠﻮﻳﺎن ﺑﺎ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﻳﻲ زوج‪ ،‬ﺑﻪ‬
‫ﺳﻮاﻻت زوج ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ .1‬ﺗﻤﺮﻳﻨﺎت ‪ 10‬و ‪ 14‬از ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎي ﺗﻜﻤﻴﻠﻲ ﻓﺼﻞ ‪ 9‬ﻛﺘﺎب )ﺻﻔﺤﻪ ‪(635‬‬
‫‪ .2‬ﺗﻤﺮﻳﻨﺎت ‪ 14‬و ‪ 18‬از ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎي ﺗﻜﻤﻴﻠﻲ ﻓﺼﻞ ‪ 9‬ﻛﺘﺎب )ﺻﻔﺤﻪ ‪(635‬‬
‫‪ .3‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ ‪ R‬ﻳﻚ راﺑﻄﻪ ﺑﺎ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺗﻘﺎرﻧﻲ ﺑﺎﺷﺪ آﻧﮕﺎه ‪ Rn‬ﻧﻴﺰ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺗﻘﺎرﻧﻲ دارد‪.‬‬
‫‪ .4‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ R1‬و ‪ R2‬دو راﺑﻄﻪ ﻣﺘﻘﺎرن ﺑﺮ روي ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ‪ A‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ‪ R2 R1‬ﺧﺎﺻﻴﺖ‬
‫ﭘﺎدﺗﻘﺎرﻧﻲ دارد‪.‬‬
‫‪ .5‬اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪ Warshall‬را ﺑﺮ روي راﺑﻄﻪ زﻳﺮ اﺟﺮا ﻛﻨﻴﺪ‪ Wk .‬را در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﺪ‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .6‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ‪ Warshall‬و ﻣﻔﻬﻮم راس ﻣﻴﺎﻧﻲ ﻣﺴﻴﺮ در اﻳﻦ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ‪ ،‬ﻳﻚ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻃﺮاﺣﻲ‬
‫ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻛﻮﺗﺎهﺗﺮﻳﻦ ﻣﺴﻴﺮ ﺑﻴﻦ ﻫﺮ دو راس را در ﻳﻚ ﮔﺮاف ﺳﺎده ﺟﻬﺖدار ﺑﺪﺳﺖ آورد‪.‬‬
‫ﺗﻌﺪاد راﺑﻄﻪﻫﺎي ﻫﻢارزي ﺑﺮ روي ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي‬
‫‪ .7‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬
‫ﻣﻲداﻧﻴﻢ‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺗﻌﺪاد اﻓﺮازﻫﺎي ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p n‬‬
‫‪1‬‬
‫ﻋﻀﻮي ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻫﻤﺎنﻃﻮر ﻛﻪ‬
‫ﻋﻀﻮي اﺳﺖ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ‪:‬‬
‫‪P n‬‬
‫‪ .8‬اﻟﻒ( ﻧﻤﻮدار ﻫﺎﺳﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻘﺴﻮم ﻋﻠﻴﻪ ﻫﺎي ﺻﺤﻴﺢ ﻣﺜﺒﺖ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ‬
‫را در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ‬
‫‪ 2،4،6،8،12،16،24،30،32‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫ب( ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ‪35‬‬
‫‪ ، 2‬ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻧﻤﻮدار ﻫﺎﺳﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻘﺴﻮ ﻋﻠﻴﻪ ﻫﺎي ﺻﺤﻴﺢ ﻣﺜﺒﺖ ﻋﺪد‬
‫ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻳﻜﻲ از ﻧﻪ ﻧﻤﻮدار ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ﻫﺴﺖ‪) .‬اﻋﺪادي را ﻛﻪ در راﺳﻬﺎي ﻧﻤﻮدار ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ ﻧﺎدﻳﺪه‬
‫ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ و ﺗﻮﺟﻪ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺳﺎﺧﺘﺎر راﺳﻬﺎ و ﻳﺎﻟﻬﺎ ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﻛﻨﻴﺪ‪ (.‬ﺑﺎ ازاي ‪36‬‬
‫ﭼﻪ روي ﻣﻲ دﻫﺪ؟‬
‫پ( ﺑﻪ ازاي ‪ ، n ∈ Z +‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ )ﺗﻌﺪاد ﻣﻘﺴﻮم ﻋﻠﻴﻪ ﻫﺎي ﻣﺜﺒﺖ ‪ . τ (n) = ( n‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ‬
‫‪ m, n ∈ Z +‬و ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ‬
‫و‬
‫ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﺎي ﻣﻘﺴﻮم ﻋﻠﻴﻪ ﻫﺎي ﺻﺤﻴﺢ ﻣﺜﺒﺖ‬
‫و‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻗﺴﻤﺘﻬﺎي )اﻟﻒ( و )ب( ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﻨﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ ﻧﻤﻮدار ﻫﺎي ﻫﺎﺳﻪ‬
‫از ﻧﻈﺮﺳﺎﺧﺘﺎري‬
‫و‬
‫ﻳﻜﺴﺎن ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬آﻧﮕﺎه ‪ τ (m) = τ (n) .‬آﻳﺎ ﻋﻜﺲ اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﻧﻴﺰ درﺳﺖ اﺳﺖ؟‬
‫‪,‬‬
‫ت( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻛﻪ در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﻨﻴﻢ‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫و‬
‫‪,‬‬
‫ﻫﺮ ﻳﻚ از ﻧﻤﻮدارﻫﺎي ﻫﺎﺳﻪ ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ﻳﻚ ﻣﺸﺒﻜﻪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .9‬ﺑﻪ ازاي ‪0,1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ ،‬ﻓﺮض ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬راﺑﻄﻪ‬
‫ﻳﺎ )دو(‬
‫‪ ،‬در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ )ﻳﻚ(‬
‫را روي‬
‫ﭼﻨﻴﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫و‬
‫‪.‬‬
‫اﻟﻒ(ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ‪ R‬ﺗﺮﺗﻴﺒﻲ ﺟﺰﺋﻲ روي ‪ A‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب(ﻫﻤﻪ ﻋﻨﺼﺮﻫﺎي ﻣﻴﻨﻴﻤﺎل و ﻣﺎﻛﺴﻴﻤﺎل اﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺟﺰﺋﻲ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ .10‬ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ راﺑﻄﻪ ي ‪ R‬ﺑﺮ روي ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺎزﺗﺎﺑﻲ‪ ،‬ﻣﺘﻘﺎرن ‪ ،‬ﻧﺎ ﻣﺘﻘﺎرن ‪ ،‬ﺗﻌﺪي اﺳﺖ‬
‫‪,‬‬
‫در ﺣﺎﻟﻲ ﻛﻪ‬
‫‪(a‬‬
‫‪7 (b‬‬
‫‪(c‬‬
‫‪ .11‬ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻴﻢ اﻓﺮاز‬
‫اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ‪:‬‬
‫ﺧﺮد ﺷﺪه ي اﻓﺮاز‬
‫زﻳﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻳﻜﻲ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫اﺳﺖ‪ .‬اﮔﺮ ﻫﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ در‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﻤﺎم اﻓﺮاز ﻫﺎي ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ S‬ﺑﺎ راﺑﻄﻪ ‪ R‬ﻳﻚ ‪ lattice‬اﺳﺖ‪ ) .‬راﺑﻄﻪ‬
‫ﻫﺎي‬
‫‪ R‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ‬
‫‪,‬‬
‫‪ .12‬ﻓﺮض ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‬
‫ﺧﺮد ﺷﺪه ي‬
‫اﮔﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪(.‬‬
‫ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﺮﺗﺐ ‪ ،‬ﻃﻮل ﺑﺰرﮔﺘﺮﻳﻦ زﻧﺠﻴﺮ آن )‪2‬‬
‫ﻫﻤﻪ ﻋﻨﺼﺮﻫﺎي ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﺎل ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫‪ (n‬و‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫را در ﻧﻈﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ و راﺑﻄﻪ ‪ S‬را‬
‫اﺳﺖ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ‪:‬‬
‫‪S = (B × B ) I R‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻃﻮل ﺑﺰرﮔﺘﺮﻳﻦ زﻧﺠﻴﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﺮﺗﺐ‬
‫‪ .13‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺟﺰﺋﺎ ﻣﺮﺗﺐ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫ﻋﻀﻮ ‪ y‬از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ ، S‬ﻋﻀﻮ ‪ x‬از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ‪ S‬را ﻣﻲﭘﻮﺷﺎﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ S‬وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﻃﻮرﻳﻜﻪ‬
‫ﻣﻲﭘﻮﺷﺎﻧﺪ را ﻳﻚ راﺑﻄﻪي ﭘﻮﺷﺸﻲ از‬
‫اﻟﻒ( اﮔﺮ‬
‫‪, ,‬‬
‫ﺑﺪﺳﺖ آورﻳﺪ‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫و ﻋﻀﻮي ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ z‬در‬
‫‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ زوجﻫﺎي‬
‫‪,‬‬
‫ﻛﻪ ‪ x ،y‬را‬
‫ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ‪.‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ راﺑﻄﻪي ﭘﻮﺷﺸﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي‬
‫|‬
‫‪,‬‬
‫روي ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ﺗﻮاﻧﻲ ‪ S‬را‬
‫‪,‬‬
‫ب( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ زوج‬
‫ﻋﻀﻮي از ﻳﻚ راﺑﻄﻪي ﭘﻮﺷﺸﻲ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﺟﺰﺋﺎ ﻣﺮﺗﺐ‬
‫‪ ,‬اﺳﺖ‬
‫اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ ‪ x‬ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ از ‪ y‬ﺑﺎﺷﺪ و در ﻧﻤﻮدار ﻫﺲ اﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻳﺎﻟﻲ ﺑﻴﻦ ‪ x‬و ‪ y‬وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ج( ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﺟﺰﺋﺎ ﻣﺮﺗﺐ ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ از راﺑﻄﻪي ﭘﻮﺷﺸﻲ ﺧﻮد ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪ .١٤‬ﭼﻪ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺭﺍﺑﻄﻪ ﺭﻭ ﻳﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫‪ n‬ﻋﻀﻮ ﻭﺟﻮﺩ ﺩﺍﺭﺩ ﮐﻪ‪:‬‬
‫‪ (a‬ﻣﺘﻘﺎﺭﻥ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪ (b‬ﺑﺎﺯﺗﺒﻲ ﻭ ﻣﺘﻘﺎﺭﻥ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪ (c‬ﺑﺎﺯﺗﺎﺑﻲ ﻧﺒﺎﺷﺪ؟‬
‫‪ .۱۵‬ﻓﺮﺽ ﮐﻨﻴﺪ ﻣﺠﻤﻮﻉ‬
‫‪ F‬ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻫﻤﻪ ﺗﺎﺑﻊﻫﺎ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺑﺎ ﺩﺍﻣﻨﻪ‬
‫‪ 0,1‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺭﺍﺑﻄﻪ‬
‫ﺭﺍ ﺑﻪ ﺻﻮﺭﺕ‬
‫ﺯﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﮐﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫‪0,1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪g x ,‬‬
‫ﻧﺸﺎﻥ ﺩﻫﻴﺪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻳﮏ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺟﺰﺋﻲ ﺍﺳﺖ ﻭﻟﻲ ﻳﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﺮﺗﺐ ﮐﺎﻣﻞ ﻧﻴﺴﺖ‬
‫‪ .۱۶‬ﻳﮏ ﺭﺍﺑﻄﻪ ‪ R‬ﺭﻭ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ A‬ﺭﺍ ﺿ ‪‬ﺪ ﺑﺎﺯﺗﺒﻲ ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ ﺍﮔﺮ‬
‫ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺭﺍﺑﻄﻪﻫﺎ ﻣﻮﺟﻮﺩ ﺭﻭ ﻳﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫‪,‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﻴﺪ‬
‫‪ n‬ﻋﻀﻮ ﮐﻪ ﻧﻪ ﺑﺎﺯﺗﺎﺑﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻭ ﻧﻪ ﺿ ‪‬ﺪ ﺑﺎﺯﺗﺒﻲ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ‬
‫ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .۱۷‬ﺑﺮﺍ ﻳﮏ ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ‪ k ، n‬ﻋﺪﺩ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪﺍ ﮐﻪ‬
‫ﻭ‬
‫‪ ،‬ﻳﮏ ﺍﻓﺮﺍﺯ ‪ n‬ﺑﻪ ‪ k‬ﻋﺪﺩ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﻲﺷﻮﺩ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﻴﺪ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺍﻓﺮﺍﺯﻫﺎ‬
‫‪ n‬ﺑﻪ ‪ k‬ﻋﺪﺩ‬
‫ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺍﺳﺖ ﺑﻪ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺍﻓﺮﺍﺯﻫﺎﻳﻲ ﺍﺯ ‪ ) n‬ﺑﻪ ﻫﺮ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﻋﺪﺩ ( ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪﺍ ﮐﻪ ﺑﺰﺭﮔﺘﺮﻳﻦ ﻋﺪﺩ ﺩﺭ ﺍﻓﺮﺍﺯ ﺑﺮﺍﺑﺮ ‪k‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ .۱۸‬ﺍﻟﻒ( ﻓﺮﺽ ﮐﻨﻴﺪ ﺁﻥ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺍﻓﺮﺍﺯﻫﺎﻳﻲ ﺍﺯ ‪ n‬ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ ﻫﺮ ﻋﺪﺩ ﺣﺪﺍﮐﺜﺮ ﻳﮏ ﺑﺮ ﻇﺎﻫﺮ ﺷﺪﻩﺍﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻮﻟﺪ ﺁﻥ ﺭﺍ ﺑﻪ ﺩﺳﺖ ﺁﻭﺭﻳﺪ‪.‬‬
‫ﺏ( ﻓﺮﺽ ﮐﻨﻴﺪ ﺁﻥ ﺑﺮﺍﺑﺮ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺍﻓﺮﺍﺯﻫﺎﻳﻲ ﺍﺯ ‪ n‬ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺩﺭ ﺁﻥ ﻫﺮ ﻋﺪﺩ ﺣﺪﺍﮐﺜﺮ ﺩﻭ ﺑﺮ ﻇﺎﻫﺮ ﺷﺪﻩﺍﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻮﻟﺪ ﺁﻥ ﺭﺍ ﺑﻪ ﺩﺳﺖ ﺁﻭﺭﻳﺪ‬
‫‪ .۱۹‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫‪ A‬ﻭ ﺭﺍﺑﻄﻪ‬
‫‪ R‬ﺭﺍ ﺭﻭ ﺁﻥ ﺩﺭ ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﺍﮔﺮ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺍﻋﻀﺎ‬
‫‪ n ، A‬ﺑﺎﺷﺪ ﻭ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺍﻋﻀﺎ‬
‫‪ r ،R‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﻴﺪ ﻋﺪﺩ |‪ |r-n‬ﺯﻭﺝ ﺍﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .۲۰‬ﺩﺭﺳﺘﻲ ﻫﺮ ﻳﮏ ﺍﺯ ﮔﺰﺍﺭﻩﻫﺎ ﺯﻳﺮ ﺭﺍ ﺑﺮﺭﺳﻲ ﮐﻨﻴﺪ‪ .‬ﮔﺰﺍﺭﻩﻫﺎ ﻫﻤﻴﺸﻪ ﺩﺭﺳﺖ ﻭ ﻫﻤﻴﺸﻪ ﻧﺎﺩﺭﺳﺖ ﺭﺍ ﺍﺛﺒﺎﺕ‬
‫ﮐﻨﻴﺪ‪ ،‬ﻭ ﺑﺮﺍ ﮔﺰﺍﺭﻩﻫﺎﻳﻲ ﮐﻪ ﺑﻌﻀﻲ ﻭﻗﺖﻫﺎ ﺩﺭﺳﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻣﺜﺎﻝ ﻧﻘﺾ ﺍﺭﺍﺋﻪ ﺩﻫﻴﺪ‪.‬‬
‫ﺍﻟﻒ( ﻫﺮ ﻣﺸﺒﮑﻪ ﻳﮏ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﮐﺎﻣﻞ ﺍﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺏ( ﻫﺮ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﮐﺎﻣﻞ ﻳﮏ ﻣﺸﺒﮑﻪ ﺍﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .۲۱‬ﻓﺮﺽ ﮐﻨﻴﺪ ‪ L‬ﻳﮏ ﻣﺸﺒﮑﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﻃﻮﺭ ﮐﻪ ﺑﻪ ﺍﺯﺍ ﻫﺮ ﺳﻪ ﻋﻀﻮ ‪ y ، x‬ﻭ ‪ z‬ﺍﺯ ‪ L‬ﺭﺍﺑﻄﻪ ﺯﻳﺮ ﺑﺮﻗﺮﺍﺭ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫ﺑﺮﻗﺮﺍﺭ ﺍﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﻴﺪ ﺗﺴﺎﻭ‬
‫‪ .۲۲‬ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺭﻭﺍﺑﻂ ﺗﺮﺍﻳﺎﻳﻲ ﺭﺍ ﺭﻭ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫‪ S‬ﺑﻪ ﺩﺳﺖ ﺁﻭﺭﻳﺪ ﻭﻗﺘﻲ ﮐﻪ‪:‬‬
‫ﺍﻟﻒ( ‪1‬‬
‫ﺏ( ‪1,2‬‬
‫‪ .۲۳‬ﺑﺮﺍ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫‪1,2,3,4‬‬
‫‪ ،‬ﺭﺍﺑﻄﻪ ﺑﺎ ﮐﻤﺘﺮﻳﻦ ﺗﻌﺪﺍﺩ ﺯﻭﺝ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ ﻃﻮﺭ ﮐﻪ‪:‬‬
‫ﺍﻟﻒ( ﻣﺘﻘﺎﺭﻥ ﻭ ﺑﺎﺯﺗﺎﺑﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﻭﻟﻲ ﺗﺮﺍﻳﺎﻳﻲ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺏ( ﺑﺎﺯﺗﺎﺑﻲ ﻭ ﺗﺮﺍﻳﺎﻳﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﻭﻟﻲ ﻣﺘﻘﺎﺭﻥ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬