ﻣﻮﻋﺪ ﺗﺤﻮﻳﻞ :روز اﻣﺘﺤﺎن ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺳﺮي ﺷﺸﻢ ﺳﺎﺧﺘﻤﺎنﻫﺎي ﮔﺴﺴﺘﻪ ﮔﺮاف ،درﺧﺖﻫﺎ از ﺳﻮاﻻت 1اﻟﻲ ،20ﺑﻪ 7ﺳﻮال ،از ﺳﻮاﻻت 21اﻟﻲ 31ﺑﻪ 3ﺳﻮال ،از ﺳﻮاﻻت 32اﻟﻲ 38ﺑﻪ 2ﺳﻮال ،از ﺳﻮاﻻت 39اﻟﻲ 44ﺑﻪ 2ﺳﻮال و از ﺳﻮاﻻت 45اﻟﻲ 49ﻧﻴﺰ ﺑﻪ 2ﺳﻮال ﺑﻪ دﻟﺨﻮاه ﺧﻮد ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ) .ﺟﻤﻌﺎً 16ﺳﻮال( ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اوﻟﻴﻪ ،ﮔﺮافﻫﺎي ﻣﻨﺘﻈﻢ ،ﻫﻤﺒﻨﺪ ،دوﺑﺨﺸﻲ ،ﻳﻜﺮﻳﺨﺘﻲ ،ﻓﺎﺻﻠﻪ در ﮔﺮاف ،ﻗﻄﺮ ﮔﺮاف -1ﮔﺮاﻓﻲ دﻗﻴﻘﺎً دو راس درﺟﻪ ﻓﺮد دارد ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻣﺴﻴﺮي وﺟﻮد دارد ﻛﻪ از اﻳﻦ دو راس ﻣﻴﮕﺬرد. -2ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮ ﮔﺮاف ﺳﺎده ﺣﺪاﻗﻞ دو راس ﻏﻴﺮ ﺑﺮﺷﻲ دارد. -3ﻳﻚ ﮔﺮاف ﺳﺎده دارﻳﻢ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻣﻴﺘﻮان ﻃﻮري روي ﻳﺎل ﻫﺎي آن ﻳﺎ 1ﻳﺎ -1ﮔﺬاﺷﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﻫﺮ راس ﺟﻤﻊ اﻋﺪاد روي ﻳﺎل ﻫﺎي آن ﻳﺎ 1ﻳﺎ 0ﻳﺎ -1ﺑﺎﺷﺪ. -4ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ در ﻫﺮ ﮔﺮاف دﻟﺨﻮاه ﻳﺎ 3 -5اﻧﺪازه ﻛﻤﺮ و ﻗﻄﺮ -ﻣﻜﻌﺐ ) ﻳﺎ 3 ( را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ2) . . ( -6ﺗﻤﺎم ﻳﺎل ﻫﺎي ﻳﻚ ﮔﺮاف ﻛﺎﻣﻞ را ﺑﻪ دﻟﺨﻮاه ﺟﻬﺖدﻫﻲ ﻛﺮدهاﻳﻢ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ رأﺳﻲ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺑﺘﻮان ﺑﺎ ﺣﺪاﻛﺜﺮ دو ﻳﺎل از آن راس ﺑﻪ ﻫﺮ راس دﻳﮕﺮي رﺳﻴﺪ. -7ﮔﺮاف , , , را ﻗﻮﻳﺎً ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ و ﺑﺎ دو رأس ﻣﺠﺎور دﻗﻴﻘﺎً ﻫﻤﺴﺎﻳﻪ ﻣﺸﺘﺮك و ﻫﺮ دو رأس ﻏﻴﺮﻣﺠﺎور , 1, -8ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ 1 1 - 3ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﺎ 12رأس ﺑﺎﺷﺪ و ﻫﺮ دو رأس دﻗﻴﻘﺎً 6ﻫﻤﺴﺎﻳﻪ ﻣﺸﺘﺮك دارﻧﺪ، -9ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ ﺗﻌﺪاد ﻣﺴﻴﺮﻫﺎي ﺑﻪ ﻃﻮل 2در ﮔﺮاف ﺳﺎده ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ 2 -10ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺳﻮال ﻗﺒﻞ و ﺑﺎ ﻛﻤﻚ ﻧﺎﺑﺮاﺑﺮي ﺣﺴﺎﺑﻲ-ﻣﺮﺑﻌﻲ ) ﻣﺴﻴﺮﻫﺎي ﺑﻪ ﻃﻮل 2در ﮔﺮاف ﺳﺎده ) -11ﻗﻀﻴﻪ ﺗﻮران( اﮔﺮ ﮔﺮاف ﺳﺎده -12ﺑﺮاي ﻫﺮ ،ﮔﺮاﻓﻲ ﺳﺎده ﺑﺎ -13ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ در ﮔﺮاف ﺳﺎده 1 -14ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ در ﮔﺮاف ﺳﺎده ﺑﺎ رأس و 2 2 2 4 را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ∑. 1 2 2 2 1 ﻳﺎل ﺣﺪاﻗﻞ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ 1 ﻣﺜﻠﺚ )دور ﺑﻪ ﻃﻮل (3ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ،آﻧﮕﺎه رأس و ﻫﻤﺒﻨﺪ ﺑﻤﺎﻧﺪ. ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ .ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﮔﺮاف ﻛﺎﻣﻞ ) ( ﻳﻚ اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ﻫﺮ ﻋﺪدي ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﺷﺪ .ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﻤﻮاره دارﻳﻢ: ﮔﺮاﻓﻲ 6 -15ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﮔﺮاﻓﻲ 1 ﮔﺮاﻓﻲ دﻗﻴﻘﺎً ﻫﻤﺴﺎﻳﻪ ﻣﺸﺘﺮك داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ .ﺑﻪ ﻋﻨﻮان و دور 5رأﺳﻲ ) 5,2,0,1 ( 5 ﻣﺜﺎل ﮔﺮاف ﭘﺘﺮﺳﻦ 10,3,0,1 2, ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﻴﻢ ،ﻫﺮﮔﺎه رأﺳﻲ و -ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺑﻮده و ﻫﺮ 2 4 2 2 1 ( ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺗﻌﺪاد . . ﻳﺎل ﺑﺴﺎزﻳﺪ ﻛﻪ ﻣﺜﻠﺚ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ،δآنﮔﺎه ﮔﺮاف ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ. 2 1 2 ،آنﮔﺎه ﮔﺮاف ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ. 2رأﺳﻲ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻗﻮﻳﺎً ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﺎﻟﻲ در آن وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺑﺎ ﺣﺬف آن ﮔﺮاف ﻗﻮﻳﺎً -16ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﻚ ﮔﺮاف ﺧﻮدﻣﻜﻤﻞ )ﮔﺮاﻓﻲ ﻛﻪ ﻣﻜﻤﻞ آن ﺑﺎ ﺧﻮدش ﻳﻚرﻳﺨﺖ ﺑﺎﺷﺪ( ﺑﺎ رأس ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ اﮔﺮ ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪهي ﺑﺮ 4ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ ﻳﺎ ﺳﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﻳﻚ ﮔﺮاف ﺑﺎ ﻛﻤﺮ 4ﺑﺎﺷﺪ .اﮔﺮ ﻫﺮ رأس آن از درﺟﻪي ﺣﺪاﻗﻞ -17اﻟﻒ( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺣﺪاﻗﻞ 2رأس ﺑﺎﺷﺪ ،ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ دارد .ﺗﻤﺎم ﮔﺮافﻫﺎي از اﻳﻦ ﻧﻮع ﻛﻪ دﻗﻴﻘﺎً 2رأس دارﻧﺪ را ﻧﻴﺰ ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﺪ. ﻳﻚ ﮔﺮاف ﺑﺎ ﻛﻤﺮ 5ﺑﺎﺷﺪ .اﮔﺮ ﻫﺮ رأس آن از درﺟﻪي ﺣﺪاﻗﻞ ب( ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺣﺪاﻗﻞ 1 ﺑﺎﺷﺪ ،ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ 2 رأس دارد. -18ﮔﺮاف 1,2, … ,اﺳﺖ ،و دو ﺟﺎﻳﮕﺸﺖ اﻳﻨﮕﻮﻧﻪ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد :رﺋﻮس آن ﺗﻤﺎم ﺟﺎﻳﮕﺸﺖﻫﺎي …1 2 …1 2 و ﺑﻪ ﻫﻢ وﺻﻠﻨﺪ اﮔﺮ اوﻟﻲ ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺟﺎي دو ﻋﻀﻮ ﺑﻪ دوﻣﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺷﻮد )ﻣﺜﻼً 32415ﺑﻪ 32145ﻣﺘﺼﻞ اﺳﺖ؛ ﺟﺎي 4و 1را ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﺪﻫﻴﺪ( .ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺑﺮاي ﻫﺮ ، ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ. -19ﻣﻨﻈﻮر از ﻳﻚ رﺷﺘﻪﻛﻮه ،ﻣﺴﻴﺮي ﭼﻨﺪﺿﻠﻌﻲ از ﻧﻘﻄﻪي , 0 و ,0 ﻛﻮﻫﻨﻮرد آ و ب ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ از , 0 ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪي , 0 اﺳﺖ .دو ﻛﻪ ﻫﻤﻴﺸﻪ ﺑﺎﻻي ﺧﻂ 0 ﺷﺮوع ﺑﻪ ﺣﺮﻛﺖ روي رﺷﺘﻪﻛﻮه ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ .ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ آ و ب ﻣﻲﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻳﻚدﻳﮕﺮ ﺑﺮﺳﻨﺪ ،ﻃﻮري ﻛﻪ ﻫﻤﻴﺸﻪ در ﻳﻚ ارﺗﻔﺎع ﺑﺎﻗﻲ ﺑﻤﺎﻧﻨﺪ) .راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﺎ ﮔﺮاف ﻣﺪلﺳﺎزي ﻛﻨﻴﺪ و از اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﺑﻬﺮه ﺑﺒﺮﻳﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ ﮔﺮاف ﺗﻌﺪاد زوﺟﻲ رأس ﺑﺎ درﺟﻪي ﻓﺮد دارد( -20ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ. درﺧﺖﻫﺎ -21ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮ ﮔﺮاف ﻫﻤﺒﻨﺪ ﺣﺪاﻗﻞ ﻳﻚ زﻳﺮدرﺧﺖ ﻓﺮاﮔﻴﺮ دارد. -22ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻳﻚ درﺧﺖ و ﻳﻚ رأس ﺑﺮﺷﻲ اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ رأﺳﻲ از آن ﺑﺎﺷﺪ .در اﻳﻦ ﺻﻮرت degﺑﺎﺷﺪ. 1 -23در ﻳﻚ درﺧﺖ ﻣﺮﻛﺰ رأﺳﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪي آن ﺗﺎ ﺑﺎﻗﻲ رأسﻫﺎ ﻣﻴﻨﻴﻤﻢ ﺑﺎﺷﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ در ﻫﺮ درﺧﺖ ﻳﺎ ﻳﻚ ﻣﺮﻛﺰ دارﻳﻢ ﻳﺎ دو ﻣﺮﻛﺰ ﻣﺠﺎور. -24ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ -25ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ -26ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ رﻳﺨﺖ ﺑﺎ -27ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ -28ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﮔﺮاﻓﻲ ﻫﻤﺒﻨﺪ ﺑﺎ ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ رأس ﺑﺎﺷﺪ .ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ درﺧﺘﻲ ﺑﺎ ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ درﺟﻪ Δﺑﺎﺷﺪ .ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﻚ درﺧﺖ راﺳﻲ ﺑﺎﺷﺪ و ﺣﺪاﻗﻞ Δﺑﺮگ دارد. ﻳﻚ ﮔﺮاف ﺑﺎ ﻣﻴﻨﻴﻤﻢ درﺟﻪي 1 ﻳﻚ زﻳﺮﮔﺮاف ﻳﻚ ﺑﺎﺷﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ دارد. ﮔﺮاﻓﻲ ﻫﻤﺒﻨﺪ ﺑﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﺳﻪ رأس ﺑﺎﺷﺪ .اﮔﺮ ﻳﻚ درﺧﺖ ﺑﺎ ﻳﺎل ﺑﺎﺷﺪ و ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻳﺎل دارد .ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ -29ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺣﺪاﻗﻞ دو رأس دارد ﻛﻪ ﺑﺮﺷﻲ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ. ﻳﻚ درﺧﺖ ﺑﺎ ،آﻧﮕﺎه ﻳﻚ ﮔﺮاف ﺳﺎده ﺑﺎ رأس ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﺑﻴﺶ از 2 1 . ﺑﺮگ ﺑﺎﺷﺪ .ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﻳﺎل ﺑﺮﺷﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ رأس ﺑﺮﺷﻲ ﻧﻴﺰ دارد. اﺟﺘﻤﺎع ﻣﺴﻴﺮﻫﺎي /2 1, 2, … , اﺳﺖ ﻃﻮري ﻛﻪ ﺑﺮاي ﻫﺮ . -30ﻫﺮ درﺧﺖ ،ﺑﻪ وﺿﻮح دوﺑﺨﺸﻲ ﻧﻴﺰ ﻫﺴﺖ .ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻫﺮ درﺧﺖ ﺑﺮﮔﻲ در ﺑﺨﺶ ﺑﺰرﮔﺘﺮ دارد )اﮔﺮ اﻧﺪازهي دو ﺑﺨﺶ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﻮد ،در ﻫﺮ ﺑﺨﺶ ﻳﻚ ﺑﺮگ دارد(. -31 رأﺳﻲ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ .ﮔﺮاف را ﻳﻚ ﮔﺮاف ﻫﻤﺒﻨﺪ را اﻳﻨﮕﻮﻧﻪ ﻣﻲﺳﺎزﻳﻢ ﻛﻪ رﺋﻮس ﻫﺴﺘﻨﺪ و دو رأس ﺑﻪ ﻫﻢ وﺻﻠﻨﺪ اﮔﺮ دو زﻳﺮدرﺧﺖ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ در دﻗﻴﻘﺎً 2 اﻟﻒ( ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ب( ﻗﻄﺮ ﻫﻤﺎن زﻳﺮدرﺧﺖﻫﺎي ﻓﺮاﮔﻴﺮ ﻳﺎل ﻣﺸﺘﺮك ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻧﻴﺰ ﻫﻤﺒﻨﺪ اﺳﺖ. را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﺪ. ﮔﺮافﻫﺎي اوﻳﻠﺮي و ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ -32آﻳﺎ ﮔﺮاﻓﻲ اوﻳﻠﺮي وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد رأسﻫﺎي آن زوج و ﺗﻌﺪاد ﻳﺎلﻫﺎي آن ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ؟ -33ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ درﺟﻪ ﻫﻤﻪ رأسﻫﺎي ﮔﺮاف ﻳﺎلﻫﺎي 1 و 2 دو زﻳﺮ درﺧﺖ ﻓﺮاﮔﻴﺮ از ﮔﺮاف اي وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﻋﻀﻮ ﻓﺮاﮔﻴﺮ زوج ﺑﺎﺷﺪ .ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ دورﻫﺎي ﻣﺠﺰاي ﻳﺎﻟﻲ را اﻓﺮاز ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ. -34ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ 2 1, 2, … , وﺟﻮد دارﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺎﺷﺪ وﻟﻲ ﻋﻀﻮ 2 1 ﺑﺎﺷﻨﺪ و 1 ﻳﺎﻟﻲ ﺑﺎﺷﺪ از ﻧﺒﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﺷﺮﻃﻲ ﻛﻪ 1 ﻛﻪ در 1– 1 2 و 1 2 وﺟﻮد ﻧﺪارد ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﺎل 2– 2 ﻫﺮ دو زﻳﺮ درﺧﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ. -35ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ , ، ! ! 1 2 -36ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ -ﻣﻜﻌﺐ ) دور ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ دارد. ( ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ اﺳﺖ. ) -37ﻗﻀﻴﻪ اور( ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ در ﮔﺮاف رأﺳﻲ اﮔﺮ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ دو رأس و در اﻳﻦ ﮔﺮاف داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ دور ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ) .ﻧﺘﻴﺠﻪ :ﻗﻀﻴﻪ دﻳﺮاك( راﻫﻨﻤﺎﻳﻲ :ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺣﻜﻢ درﺳﺖ ﻧﺒﺎﺷﺪ ،از ﻣﻴﺎن ﺗﻤﺎم ﮔﺮافﻫﺎي را ﮔﺮاﻓﻲ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﺗﻌﺪاد ﻳﺎل را دارد و ﺑﺎ آن رأﺳﻲ ﻛﻪ در ﻓﺮض ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺻﺪق ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ و ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ، ﻛﺎر ﻛﻨﻴﺪ. -38ﺗﻌﺪاد دورﻫﺎي ﻫﻤﻴﻠﺘﻮﻧﻲ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ. ﮔﺮافﻫﺎي ﻣﺴﻄﺢ ) -39ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻓﺮﻣﻮل اوﻳﻠﺮ( اﮔﺮ ﮔﺮاﻓﻲ ﻣﺴﻄﺢ ﺑﺎ ﻣﻮﻟﻔﻪ ﻫﻤﺒﻨﺪي ﺑﺎﺷﺪ ،آنﮔﺎه -40ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ 1 ﮔﺮاﻓﻲ ﻣﺴﻄﺢ ﺑﺎﺷﺪ آنﮔﺎه 2 -41ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ ﮔﺮاﻓﻲ ﺳﺎده و ﻣﺴﻄﺢ و ﻃﻮل ﻛﻮﺗﺎﻫﺘﺮﻳﻦ دور در . ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ ،آنﮔﺎه 2 2 ﺳﭙﺲ ﻧﺘﺎﻳﺞ زﻳﺮ را اﺛﺒﺎت ﻛﻨﻴﺪ: .aاﮔﺮ ﮔﺮاﻓﻲ ﺳﺎده و ﻣﺴﻄﺢ ﺑﺎﺷﺪ ،آنﮔﺎه 6 .bاﮔﺮ ﮔﺮاﻓﻲ ﺳﺎده و ﻣﺴﻄﺢ و دوﺑﺨﺸﻲ ﺑﺎﺷﺪ ،آنﮔﺎه 4 3 -42ﻫﺮﮔﺎه ﮔﺮاﻓﻲ ﻣﺴﻄﺢ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ 5 -43ﻫﺮﮔﺎه ﮔﺮاﻓﻲ ﻣﺴﻄﺢ ﺑﺎ ﺣﺪاﻗﻞ 11رأس ﺑﺎﺷﺪ ،ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ -44ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻳﻚ ﮔﺮاف ﺳﺎده . 2 . اﺳﺖ. رأﺳﻲ و ﻣﺴﻄﺢ ﺑﺎ ﻛﻤﺮ ﻣﺴﻄﺢ ﻧﻴﺴﺖ. ﺑﺎﺷﺪ .ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﺣﺪاﻛﺜﺮ 2 2 ﻳﺎل دارد. رﻧﮓآﻣﻴﺰي -45ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪ: -46ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ اﮔﺮ ﮔﺮاف -47ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ 1 داراي زﻳﺮﮔﺮاف Δ, Δ -48اﮔﺮ دﻧﺒﺎﻟﻪي درﺟﺎت ، -49ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ زوج 2 ﻓﺮد 3 . ﺑﺎﺷﺪ ،آنﮔﺎه . 2, … , 1, ﺑﺎﺷﺪ ،ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ 1 , ﮔﺮاﻓﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ دو دور ﻓﺮد آن ،ﻳﻚ رأس ﻣﺸﺘﺮك داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ .ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ 5 ﺗﻌﺎرﻳﻒ: • = ﻛﻤﺘﺮﻳﻦ درﺟﻪ • = Δﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ درﺟﻪ • • , max min 1 = ﻛﻮﺗﺎﻫﺘﺮﻳﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﻴﺎن دو رأس و = ﻗﻄﺮ ﮔﺮاف )ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﻣﻘﺪار از ﻣﻴﺎن ﺗﻤﺎم • ﻛﻤﺮ = ﻛﻮﺗﺎﻫﺘﺮﻳﻦ دور • = ﻋﺪد رﻧﮕﻲ رأﺳﻲ • = ﻋﺪد رﻧﮕﻲ ﻳﺎﻟﻲ , ﻫﺎ( . .
© Copyright 2026 Paperzz