‫تاسوِ تعالی‬
‫داًشگاُ صٌعتی شریف – داًشکذُ هٌْذسی کاهپیَتر‬
‫میان ترم اول ساختماوهای گسسته‬
‫گروه ‪ – 2‬مدرس‪ :‬علی شریفی‬
‫‪ 29‬فروردیه ‪1387‬‬
‫زمان‪ 2 :‬ساعت‬
‫داًشجَیاى عسیس‪ :‬خَاّشوٌذ است از ‪ 12‬سَال زیر تِ دلخَاُ تِ ‪ 10‬سَال پاسخ دّیذ‪ .‬تارم ّر سَال ‪ً 2‬ورُ هیثاشذ‪.‬‬
‫در صَرت پاسخ دادى تِ تیش از ‪ 10‬سَال‪ ،‬تٌْا ‪ 10‬هَرد اٍل تصحیح هیگردد‪.‬‬
‫سَال ‪)1‬‬
‫عثارات زیر درست یا ًادرستٌذ؟ استذالل خَد را تیاى کٌیذ‪.‬‬
‫))𝑦(𝑄‬
‫)𝑦 ‪ ∀𝑥 ∃𝑦 𝑄 𝑥, 𝑦 ≡ ∃𝑦 ∀𝑥 𝑄(𝑥,‬‬
‫𝑥 𝑃( 𝑦∃ 𝑥∀ ≡ ) 𝑥 𝑄 𝑥∃( ) 𝑥 𝑃 𝑥∀( ‪‬‬
‫𝑛‪ 𝑛! ≠ 𝑂 2‬‬
‫)𝑕𝑂 𝑔𝑖𝐵(‬
‫سَال ‪)2‬‬
‫درستی یا ًادرستی عثارات زیر را ثاتت کٌیذ‪.‬‬
‫‪ ‬اگر ‪ A, B, C‬هاتریسْایی تا اًذازّْای 𝑝 × 𝑜 ‪ 𝑚 × 𝑛, 𝑛 × 𝑜,‬تاشٌذ (تِ ترتیة)‪ ،‬هجوَع تعذاد عولیات ضرب ٍ جوع الزم ترای‬
‫هحاسثِ ‪ (A × B) × C‬تا هجوَع تعذاد عولیات ضرب ٍ جوع الزم ترای هحاسثِ )‪ A × (B × C‬تراتر است‪.‬‬
‫‪ ℕ × ℚ ‬شوارا است‪.‬‬
‫سَال ‪)3‬‬
‫‪ ‬آیا هجوَعِ توام تَاتع تِ صَرت ‪ 𝑓 𝑛 : ℕ → 0,1‬شوارا است؟ ثاتت کٌیذ‪.‬‬
‫‪ ‬آیا هجوَعِ توام تَاتع تِ صَرت ‪ 𝑓 𝑛 : 0,1 → ℕ‬شوارا است؟ ثاتت کٌیذ‪.‬‬
‫سَال‪)4‬‬
‫الگَریتن ‪ Bubble Sort‬را تِ گًَْای تْثَد دّیذ کِ زهاًی کِ ًیاز تِ جاتجایی ( ‪ )Interchange‬تیشتر در آرایِ ٍرٍدی ًثاشذ‪ ،‬هتَقف شَد‪.‬‬
‫شثِ کذ )‪ (Pseudo code‬الگَریتن اصالح شذُ را تٌَیسیذ ٍ پیچیذگی زهاًی تذتریي حالت اجرا )‪(Worst Case Time Complexity‬‬
‫آًرا تراساس تعذاد هقایسْْای الزم هحاسثِ کٌیذ‪.‬‬
‫سَال ‪)5‬‬
‫ًشاى دّیذ اگر ‪ 2n-1‬اٍل تاشذ‪ n ،‬اٍل است‪.‬‬
‫سَال ‪)6‬‬
‫قضیِ تاقیواًذُ چیٌی چیست؟ آى را ثاتت کٌیذ‪.‬‬
‫سَال ‪)7‬‬
‫تا تَجِ تِ تعریف تَاتع ‪ ،g ٍ f‬هرتثِ )‪ (Order‬تَاتع زیر را هحاسثِ کٌیذ‪:‬‬
‫‪f(n) = (2n+1) log (n!) + 4n – 8‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k=1 k‬‬
‫= )‪g(n‬‬
‫‪f(n) + g(n) ‬‬
‫‪f(n) × g(n) ‬‬
‫سَال ‪)8‬‬
‫الگَریتن تازگشتی هحاسثِ تسرگتریي هقسَم علیِ هشترک دٍ عذد صحیح غیرهٌفی را تٌَیسیذ ٍ درستی آى را اثثات کٌیذ‪.‬‬
‫سَال ‪)9‬‬
‫اگر تاتع ‪ f‬رٍی اعذاد طثیعی تِ صَرت زیر تعریف شذّثاشذ‪, f(1) = 1 , f(0) = 0 :‬‬
‫)‪(n>1) → f(n) = 5f(n-1) – 6f(n-2‬‬
‫ثاتت کٌیذ ترای ّر عذد طثیعی ‪f(n) = 3n – 2n ، n‬‬
‫سَال ‪)10‬‬
‫ثاتت کٌیذ ًَاحی حاصل از ترخَرد ‪ n‬دایرُ هختلف را هیتَاى تا دٍ رًگ طَری رًگ کرد کِ ّر دٍ ًاحیِ هجاٍر (کِ تا ّن در کواى تِ طَل‬
‫تیشتر از صفر ّن هرز ّستٌذ) ّورًگ ًثاشٌذ‪ .‬دٍ ًاحیِ کِ فقط در یک ًقطِ هرزی اشتراک دارًذ هجاٍر هحسَب ًویگردًذ‪.‬‬
‫سَال ‪)11‬‬
‫ثاتت کٌیذ ترًاهِ کاهپیَتری ٍجَد ًذارد کِ تا ٍارد کردى ّر ترًاهِ کاهپیَتری ‪ّ ٍ P‬ر ٍرٍدی ‪ I‬هشخص کٌذ آیا اجرای ‪ P‬تا ٍرٍدی ‪ I‬خاتوِ‬
‫هییاتذ یا خیر‪.‬‬
‫سَال ‪)12‬‬
‫یک ساختار تازگشتی ارائِ کٌیذ کِ توام درختْای ریشِ دار دٍدٍیی را ایجاد کٌذ‪ .‬تا استفادُ از آى ثاتت کٌیذ یک درخت دٍدٍیی تا‬
‫‪ n‬ترگ‬
‫دست کن ‪ 2n-1‬راس دارد‪.‬‬
‫پایذار تاشیذ‬