‫باسوِ تؼالی‬
‫داًطگاُ صٌؼتی ضریف – داًطکذُ هٌْذسی کاهپیَتر‬
‫میان ترم دوم ساختمانهای گسسته‬
‫گروه ‪ – 2‬مدرس‪ :‬علی شریفی‬
‫‪ 2‬خرداد ‪1387‬‬
‫زمان‪ 2.5 :‬ساعت‬
‫داًطجَیاى ػسیس‪ :‬خَاّطوٌذ است از ‪ 12‬سَال زیر بِ دلخَاُ بِ ‪ 10‬سَال پاسخ دّیذ‪ .‬بارم ّر سَال ‪ً 2‬ورُ هیباضذ‪.‬‬
‫در صَرت پاسخ دادى بِ بیص از ‪ 10‬سَال‪ ،‬تٌْا ‪ 10‬هَرد اٍل تصحیح هیگردد‪.‬‬
‫سَال ‪)1‬‬
‫اگر ‪ً 17‬قغِ هتفاٍت با هختصات صحیح در فضای چْار بؼذی داضتِ باضین‪ ،‬ثابت کٌیذ ًقغِ ٍسظ پارُ خظ ٍاصل حذاقل یک جفت از ایي‬
‫ًقاط هختصات صحیح دارد‪.‬‬
‫سَال ‪)2‬‬
‫ثابت کٌیذ تؼذاد راّْای هثلث بٌذی ‪ n+2‬ضلؼی هحذب برابر ‪( Cn‬ػذد کاتاالى ‪ n‬ام) است‪ .)𝑛 ≥ 1 ( .‬در یک هثلث بٌذی از ایي ضکل ‪n-1‬‬
‫قغر کِ در داخل چٌذ ضلؼی یکذیگر را قغغ ًویکٌٌذ رسن هیکٌین‪ .‬برای هثال با رسن دٍ قغر غیر هتقاعغ از راسْای پٌج ضلؼی زیر‪ ،‬پٌج راُ‬
‫برای هثلث بٌذی آى یافتِ این‪.‬‬
‫تَجِ کٌیذ در یک ضکل هحذب‪ ،‬پارُ خظ ٍاصل ّر دٍ ًقغِ از هحیظ تواها در داخل ضکل قرار هیگیرد‪.‬‬
‫سَال ‪)3‬‬
‫هقذار تابغ زیر بِ ازای ّر ‪ n‬دادُ ضذُ چقذر است؟ اثبات کٌیذ‪.‬‬
‫𝑛‬
‫𝑘 ‪2𝑛−𝑘 −1 𝑘 𝐶 𝑛,‬‬
‫= 𝑛 𝑓‬
‫‪𝑘=0‬‬
‫سَال ‪)4‬‬
‫فرض کٌیذ ‪ً n‬فر در یک هْواًی حاضر باضٌذ ٍ ّر یک از آًْا هستقل از دیگراى ٍ با تَزیغ یکٌَاخت در یکی از‬
‫‪ 365‬رٍز سال بِ دًیا آهذُ‬
‫باضذ‪ .‬اگر ‪ X‬هتغیر تصادفی برابر با تؼذاد رٍزّای تَلذ هختلف باضذ‪ E(X) ،‬را بِ صَرت تابغ سادُ ای از ‪ n‬بِ دست آٍریذ‪.‬‬
‫سَال ‪)5‬‬
‫اگر )))‪ Cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y‬ثابت کٌیذ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫اگر ‪ X, Y‬هستقل باضٌذ ‪Cov(X,Y)=0‬‬
‫‪‬‬
‫اگر ‪ j ٍ i‬اػذاد حاصل از اًذاختي دٍ تاس سالن باضٌذ ٍ ‪ Y(i,j)=i+j ٍ X(i,j)=2i‬آًگاُ )‪ Cov(X,Y‬را بیابیذ‪.‬‬
‫سَال ‪)6‬‬
‫در چِ زهاى ٍاریاًس هجوَع چٌذ هتغیر تصادفی با هجوَع ٍاریاًس تک تک آًْا برابر است؟ ثابت کٌیذ‪.‬‬
‫سَال ‪)7‬‬
‫یک الگَریتن ‪ Monte Carlo‬ارائِ دّیذ کِ با گرفتي یک لیست از اػذاد بِ عَل ‪ ، n‬یک ػذد بیطتر از هیاًگیي از ایي لیست را گسارش کٌذ‪.‬‬
‫الگَریتن خَد را بِ لحاػ زهاى ٍ دقت تحلیل کٌیذ‪.‬‬
‫سَال ‪)8‬‬
‫تؼذاد کلوات ‪ n‬حرفی کِ فقظ از حرٍف ‪ C ٍ B ،A‬تطکیل ضذُ ٍ در آًْا ‪ AA‬بِ چطن ًویخَرد چقذر است؟ راُ حل خَد را ارائِ کٌیذ‪.‬‬
‫سَال ‪)9‬‬
‫𝑏‬
‫قغؼِ کذی بٌَیسیذ کِ با دریافت سِ ػذد ‪ ،c ٍ b ٍ a‬هقذار )‪ 𝑎 (mod c‬را بیابذ‪ .‬قغؼِ کذ ضوا بایذ بِ لحاػ زهاًی کاراهذ باضذ‪ .‬پیچیذگی‬
‫زهاًی آى را تحلیل کٌیذ‪.‬‬
‫سَال ‪)10‬‬
‫‪‬‬
‫چٌذ کلوِ هتفاٍت هیتَاى با استفادُ از توام حرٍف کلوِ ‪ engineer‬ساخت؟ اگر الزم باضذ تا ّر سِ حرف ‪ e‬کٌار ّن قرار گیرًذ‬
‫چغَر؟‬
‫‪‬‬
‫با فرض ‪ 0 < 𝑥1 < 5 ٍ 0 < 𝑥2 < 6 ، 7 < 𝑥3‬هؼادلِ‬
‫‪ 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 20‬دارای چٌذ جَاب صحیح است؟‬
‫سَال ‪)11‬‬
‫بِ صَرت ترکیبیاتی ثابت کٌیذ ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪2𝑛 − 1‬‬
‫‪𝑛−1‬‬
‫‪‬‬
‫‪𝑛+𝑟+1‬‬
‫‪n+k‬‬
‫=‬
‫𝑟‬
‫‪k‬‬
‫𝑛=‬
‫‪n‬‬
‫‪k=1 k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪k=0‬‬
‫سَال ‪)12‬‬
‫اگر ‪ 120‬تاس سالن باّن اًذاختِ ضًَذ‪ ،‬پیطاهذ ‪ A‬را ‪ 6‬آهذى حذاقل ‪ 40‬تاس در ًظر هیگیرین‪ .‬یک سقف احتوال خَب برای ‪ A‬ارائِ دّیذ‪.‬‬
‫پایذار باضیذ‬