‫تاسوِ تعالی‬
‫زاًطگاُ صٌعتی ضزیف – زاًطکسُ هٌْسسی کاهپیَتز‬
‫امتحان پایان ترم ساختمانهای گسسته‬
‫گروه ‪ – 2‬مدرس‪ :‬علی شریفی‬
‫زمان‪ 2.5:‬ساعت‬
‫‪ 1‬تیر ‪1387‬‬
‫زاًطجَیاى عشیش‪ :‬ذَاّطوٌس است اس‪ 12‬سَال سیز تِ زلرَاُ تِ‪ 10‬سَال پاسد زّیس‪ .‬تارم ّز سَال ‪ً 2‬وزُ هیثاضس‪.‬‬
‫زر صَرت پاسد زازى تِ تیص اس ‪ 10‬سَال‪ ،‬تٌْا ‪ 10‬هَرز اٍل تصحیح هیگززز‪.‬‬
‫سَال ‪) 1‬‬
‫‪ ، Flavius Josephus‬هَرخ یَْزي قزى اٍل هیالزي سًسگی ذَز را هسیَى استعساز ریاضی اش است‪ :‬زر جٌگ تیي رٍهیاى ٍ یَْزیاى‪،‬‬
‫‪ 40 ٍ Josephus‬سزتاس ضَرضی زر یک غار زر هحاصزُ رٍهیْا اسیز هیطًَس‪ .‬آًْا هزگ را تِ زستگیز ضسى تزجیح هیسٌّس ٍلی اس آًجا کِ‬
‫ذَزکطی گٌاُ هحسَب هیطَز‪ ،‬یک زایزُ تطکیل هیسٌّس ٍ تا ضزٍع اس ًفز ضوارُ ‪ ٍ 1‬تا ًَتت چزذطی زٍر زایزُ‪ّ ،‬ز فزز سًسُ کِ ًَتت اٍ‬
‫است ًفز سًسُ تعس اس ذَز رٍي زایزُ را هیکطس‪ .‬تزاي هثال اگز زر اتتسا ‪ً 5‬فز رٍي زایزُ ایستازُ تاضٌس‪ً ،‬فز اٍل ًفز ‪ 2‬را هیکطس؛ ًفز سَم ًفز‬
‫‪ 4‬را هیکطس؛ ًفز پٌجن ًفز ‪ 1‬را هیکطس ٍ ًفز سَم ًفز ‪ 5‬را هیکطس‪ .‬تٌاتزایي ًفز سَم سًسُ هیواًس‪.‬‬
‫‪ Josephus‬هکاًی زر زایزُ را اًتراب کزز کِ تِ عٌَاى آذزیي ًفز سًسُ تواًس‪ .‬اگز ًام ایي هکاى را)‪ J(n‬تٌاهین (هثال ‪:) J(5)=3‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ J(1‬تا )‪ J(16‬را تیاتیس‪.‬‬
‫‪‬‬
‫زر حالت کلی)‪ J(n‬را تیاتیس ٍ یافتِ ذَز را ثاتت کٌیس‪.‬‬
‫سَال‪) 2‬‬
‫‪‬‬
‫اگز ‪ R‬راتطْاي تاستاتی رٍي یک هجوَعِ ‪ A‬تاضس‪ ،‬ثاتت کٌیس ‪ً R2‬یش رٍي ‪ A‬تاستاتی است‪.‬‬
‫‪‬‬
‫تزاي هجوَعْْاي ‪ A,B,C‬تا راتطِ ّاي 𝐶 × 𝐵 ⊆ ‪ 𝑅1 ⊆ 𝐴 × 𝐵 , 𝑅2‬تزاتزي سیز را اثثات یا رز کٌیس‪:‬‬
‫𝑐‪(𝑅1 𝑜 𝑅2 )𝑐 = 𝑅1𝑐 𝑜 𝑅2‬‬
‫‪‬‬
‫اثثات کٌیس اگز 𝑅𝑀 هاتزیس ًطاى زٌّسُ راتطِ ‪ R‬تاضس‪،‬‬
‫سَال ‪) 3‬‬
‫ضزیة ‪ 𝑤 2 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2‬را زر تسطْاي سیز تیاتیس‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪(𝑤 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 1)10‬‬
‫‪(𝑣 + 𝑤 − 2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 + 3)12‬‬
‫]𝑛[‬
‫𝑅𝑀 هاتزیس ًطاًسٌّسُ راتطِ ‪ Rn‬است‪.‬‬
‫سَال‪) 4‬‬
‫تزاي ایجاز یک پطتِ اس تزگْْا رٍي هیش‪ ،‬رٍس اٍل تک تزگِ سیاُ رٍي هیش هیگذارین‪:‬‬
‫زر رٍسّاي تعسي ّز رٍس یک تزگِ سفیس تِ ایي پطتِ اضافِ هیطَز کِ هَقعیت آى ًسثت تِ سایز تزگْْاي پطتِ تِ ضکل یکٌَاذت تصازفی‬
‫اًتراب هیطَز‪ .‬تزاي هثال یک ضکل هوکي پطتِ پس اس ‪ 5‬رٍس هیتَاًس تِ ضکل سیز تاضس‪ .‬زر رٍس ضطن یک تزگِ سفیس تِ طَر تصازفی ٍ تا‬
‫احتوال یکساى زر یکی اس ‪ 6‬هَقعیت هطرص ضسُ تا فلص قزار هیگیزز‪.‬‬
‫اگز ‪ Bn‬تعساز تزگْْاي سفیس سیز تزگِ سیاُ زر رٍس‪ n‬ام تاضس‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ P(Bn+1 = 0‬را تز حسة )‪ P(Bn = 0‬تیاى کٌیس‪.‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ P(Bn+1 = n‬را تز حسة )‪ P(Bn = n - 1‬تیاى کٌیس‪.‬‬
‫‪‬‬
‫تا فزض ‪ P(Bn+1 = k) ، 0 <k<n‬را تزحسة )‪ P(Bn = k- 1) ٍ P(Bn = k‬تیاى کٌیس‪.‬‬
‫سَال ‪) 5‬‬
‫هی‬
‫یک تَرًوت ‪ً n‬فزُ‪ ،‬ضاهل ‪ n>1‬تاسیکي است کِ زر آى تیي ّز سٍج اس تاسیکٌاى زقیقا یک هساتقِ تزگشار هیطَز ٍ یکی اس زٍ تاسیکي تزًسُ ‪-‬‬
‫گززًس‪ .‬اثثات کٌیس کِ زر ّز تَرًوت یا یک قْزهاى ( تاسیکٌی کِ توام تاسیکٌاى زیگز را ضکست زّس) ٍجَز زارز‪ ،‬یا سِ تاسیکي ‪ C ٍ B ،A‬تِ‬
‫ًحَي کِ ‪ A‬اس ‪ B‬تززُ تاضس‪ B ،‬اس ‪ C‬تززُ تاضس ٍ ‪ C‬اس ‪ A‬تززُ تاضس‪.‬‬
‫سَال ‪) 6‬‬
‫تزاي هحاسثِ چٌس جولْاي ّا‪ ،‬رٍش ضزب تَ زر تَ (رٍش ّزًز) ٍجَز زارز‪ .‬کِ تزاي هثال تزاي هحاسثِ چٌسجولْاي‬
‫‪12𝑥 5 + 3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 7 𝑥 2 − 10𝑥 + 8‬‬
‫عثارت سیز را هحاسثِ هیکٌس‪:‬‬
‫‪12𝑥 + 3 𝑥 − 2 𝑥 + 7 𝑥 − 10 𝑥 + 8‬‬
‫تا ًَضتي ضثِ کس رٍش عازي ٍ رٍش ّزًز‪ ،‬پیچیسگی هحاسثاتی (تزحسة تعساز جوع ٍ ضزب هَرز ًیاس) ایي زٍ رٍش را هقایسِ کٌیس‪.‬‬
‫سَال ‪) 7‬‬
‫عسز رًگی گزافْاي سیز را تا استسالل تعییي کٌیس‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪K20‬‬
‫‪K12,6‬‬
‫‪Peterson‬‬
‫گزاف هسطح تِ صَرت یک زٍر ‪ 1387‬راسی ٍ یک راس زر ٍسط زٍر کِ تِ ّوِ رئَس زٍر هتصل است‪.‬‬
‫سَال ‪) 8‬‬
‫عسز فیثًَاتچی ‪ n‬ام را تا استفازُ اس تَاتع هَلس هحاسثِ کٌیس‪.‬‬
‫سَال ‪) 9‬‬
‫زر قطعِ تزًاهِ سیز زستَر ‪ print‬چٌس تار اجزا هیطَز؟ ( اس فْزست کززى تواهی جَاتْا ذَززاري کٌیس!)‬
‫‪for i:=1 to 20 do‬‬
‫‪for j:=1 to i do‬‬
‫‪for k:=1 to j do‬‬
‫))‪print((i*j)+(k*m‬‬
‫سَال ‪) 10‬‬
‫غزتال اراتَستي چیست؟ آى را تزاي اعساز طثیعی کَچکتز اس‪ 100‬تِ کار گزفتِ جَاب را هحاسثِ کٌیس‪.‬‬
‫سَال ‪) 11‬‬
‫زرستی عثارات سیز را تزرسی کٌیس‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫])‪(x)[ P( x)  Q( x)]  (x)[ P( x)]  (x)[Q( x‬‬
‫])‪(x)[ P( x)  Q( x)]  (x)[ P( x)]  (x)[Q( x‬‬
‫سَال ‪) 12‬‬
‫تاتعی تِ ستاى ‪ C‬تٌَیسیس کِ تشرگتزیي هقسَم علیِ هطتزک زٍ عسز را هحاسثِ کٌس‪.‬‬
‫هَفق ٍ پیزٍس تاضیس‬