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Fact Sheet
• Function definitions
4
rect(t) =
4
Λ(t) =
(
(
• CTFT pairs
1 for |t| < 1/2
0 otherwise
CT F T
sinc(t) ⇔ rect(ω/(2π))
CT F T
rect(t) ⇔ sinc(ω/(2π))
1 − |t| for |t| < 1
0
otherwise
For a > 0
sin(πt)
sinc(t) =
πt
4
1
1
CT F T
tn−1 e−at u(t) ⇔
(n − 1)!
(jω + a)n
• CTFS
ak
∞
X
∞
1 X
δ(t−kT ) ⇔
2πδ(ω−2πk/T )
T k−∞
k−∞
1 Z T /2
x(t)e−j2πkt/T dt
=
T −T /2
∞
X
x(t) =
ak ej2πkt/T
CT F T
• DFT
k=−∞
Xk =
• CTFT
X(ω) =
x(t) =
Z
∞
x(t)e−jωt dt
−∞
1
2π
Z
∞
−∞
x(n) =
−1
1 NX
x(n)e−j2πkn/N
N n=0
N
−1
X
Xk ej2πkn/N
k=0
X(ω)ejωt dω
• DTFT
• CTFT Properties
X(ω) =
CT F T
x(−t) ⇔ X(−ω)
∞
X
n=−∞
1 Zπ
X(ω)ejωn dω
x(n) =
2π −π
CT F T
x(t − t0 ) ⇔ X(ω)e−jωt0
CT F T 1
x(at) ⇔
X(ω/a)
|a|
• DTFT pairs
CT F T
X(t) ⇔ 2πx(−ω)
DT F T
an u(n) ⇔
CT F T
x(t)ejω0 t ⇔ X(ω − ω0 )
CT F T 1
X(ω) ∗ Y (ω)
x(t)y(t) ⇔
2π
y(n) = x(nT )
∞
1 X
X
Y (ω) =
T k=−∞
CT F T
dx(t) CT F T
⇔ jωX(ω)
dt
Z ∞
1 Z∞
2
|X(ω)|2 dω
|x(t)| dt =
2π −∞
−∞
s(t) =
CT F S
∞
X
∞
X
S(ω) = Y (ωT )
2πak δ(ω − 2πk/T )
k=−∞
2
ω − 2πk
T
y(k)δ(t − kT )
k=−∞
If x(t) ⇔ ak then
CT F T
1
1 − ae−jω
• Sampling and Reconstruction
x(t) ∗ y(t) ⇔ X(ω)Y (ω)
x(t) ⇔
x(n)e−jωn
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